新高考一輪復習蘇教版 命題熱點10　統(tǒng)計與成對數據的統(tǒng)計分析 作業(yè)

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命題熱點自測(十)統(tǒng)計與成對數據的統(tǒng)計分析

一、選擇題

1．(2021·山東濰坊三模)某學校參加志愿服務社團的學生中，高一年級有50人，高二年級有30人，高三年級有20人，現用分層隨機抽樣的方法從這100名學生中抽取學生組成一個活動小組，已知從高二年級的學生中抽取了6人，則從高三年級的學生中應抽取的人數為()

A．2 B．3

C．4 D．5

C[設高三抽取的人數為x人，則

eq\f(6,30)

＝

eq\f(x,20)

，即x＝4.故選C．]

2．為了解某班學生每周購買零食的支出情況，利用分層隨機抽樣的方法抽取了15人進行調查，調查結果如表，估算全班學生每周購買零食的支出的方差是()

人數

平均支出/元

方差

男生

9

40

6

女生

6

35

4

A．10.3 B．11.2

C．12 D．13.4

B[估算全班學生每周購買零食的支出的平均數是

eq\x\to(x)

＝

eq\f(1,15)

×(9×40＋6×35)＝38，

方差s2＝

eq\f(9,15)

×[6＋(40－38)2]＋

eq\f(6,15)

×[4＋(35－38)2]＝11.2.

故選B．]

3．(2021·山東青島高三開學考試)已知一個樣本，樣本容量為10，平均數為15，方差為3，現從樣本中去掉一個數據15，此時樣本的平均數為

eq\x\to(x)

，方差為s2，則()

A．

eq\x\to(x)

>15，s2<3 B．

eq\x\to(x)

<15，s2>3

C．

eq\x\to(x)

＝15，s2>3 D．

eq\x\to(x)

＝15，s2<3

C[設10個數據為x1，x2，...，x9,15，

所以

eq\x\to(x)

＝

eq\f(15×10－15,9)

＝15，

又因為s2＝

eq\f((\a\vs4\al\co1(x1－15))2＋(\a\vs4\al\co1(x2－15))2＋…＋(\a\vs4\al\co1(x9－15))2,9)

，

且

eq\f((\a\vs4\al\co1(x1－15))2＋(\a\vs4\al\co1(x2－15))2＋…＋(\a\vs4\al\co1(x9－15))2＋(\a\vs4\al\co1(15－15))2,10)

＝3，

所以s2＝

eq\f(30,9)

>3.故選C．]

4．已知變量x，y的關系可以用模型y＝c·ekx擬合，設

eq\o(z,\s\up8(^))

＝lny，其變換后得到一組數據如下：

x

16

17

18

19

z

50

34

41

31

由上表可得經驗回歸方程

eq\o(z,\s\up8(^))

＝－4x＋

eq\o(a,\s\up8(^))

，則c＝()

A．－4 B．e－4

C．109 D．e109

D[由表格數據知：

eq\x\to(x)

＝

eq\f(16＋17＋18＋19,4)

＝17.5，

eq\x\to(z)

＝

eq\f(50＋34＋41＋31,4)

＝39.

由

eq\o(z,\s\up8(^))

＝－4x＋

eq\o(a,\s\up8(^))

，得－4×17.5＋

eq\o(a,\s\up8(^))

＝39，則

eq\o(a,\s\up8(^))

＝109.

∴

eq\o(z,\s\up8(^))

＝－4x＋109，

由y＝c·ekx，得

eq\o(z,\s\up8(^))

＝lny＝ln(c·ekx)＝lnc＋lnekx＝lnc＋kx，

∴l(xiāng)nc＝109，即c＝e109.故選D．]

5．(2021·山東省平邑縣第一中學高三開學考試)某校1000名學生參加數學競賽，隨機抽取了20名學生的考試成績(單位：分)，成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是()

A．頻率分布直方圖中a的值為0.004

B．估計這20名學生數學考試成績的第60百分位數為80

C．估計這20名學生數學考試成績的眾數為80

D．估計總體中成績落在[60，70)內的學生人數為160

B[由10×

eq(\a\vs4\al\co1(2a＋3a＋7a＋6a＋2a))

＝1可得a＝0.005，故A錯誤；

前三個矩形的面積和為10×

eq(\a\vs4\al\co1(2a＋3a＋7a))

＝0.6，所以這20名學生數學考試成績的第60百分位數為80，故B正確；

這20名學生數學考試成績的眾數為75，故C錯誤；

總體中成績落在[60，70)內的學生人數為3a×10×1000＝150，故D錯誤．

故選B．]

6．(2021·哈爾濱模擬)下列說法：

①殘差可用來判斷模型擬合的效果；

②設有一個經驗回歸方程：

eq\o(y,\s\up6(^))

＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；

③經驗回歸直線：

eq\o(y,\s\up6(^))

＝

eq\o(b,\s\up6(^))

x＋

eq\o(a,\s\up6(^))

必過點(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)；

④在一個2×2列聯表中，由主算得χ2＝13.079，則有99%的把握確認這兩個變量間有關系．其中錯誤的個數是()

A．0B．1C．2D．3

B[對于①，殘差可用來判斷模型擬合的效果，殘差越小，擬合效果越好，∴①正確；對于②，經驗回歸方程

eq\o(y,\s\up6(^))

＝3－5x中，變量x增加一個單位時，y平均減少5個單位，∴②錯誤；對于③，經驗回歸直線

eq\o(y,\s\up6(^))

＝

eq\o(b,\s\up6(^))

x＋

eq\o(a,\s\up6(^))

必過樣本點的中心(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)，∴③正確；對于④，在2×2列聯表中，由計算得χ2＝13.079，對照臨界值得，有99.9%的把握確認這兩個變量有關系，99.9%＞99%，∴④正確．綜上，其中錯誤的命題是②，共1個．]

7．(多選)(2021·廣東羅湖區(qū)高三月考)下列說法正確的為()

A．當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，通常采用分層隨機抽樣

B．若m為數據xi(i＝1,2,3，…，2021)的中位數，則m＝x1011

C．回歸直線可能不經過樣本點的中心(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)

D．若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，且隨機變量η＝2ξ－1，則η～N(2μ－1,4σ2)

AD[A．當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，通常采用分層隨機抽樣，故正確；

B．數據xi(i＝1,2,3，…，2021)大小順序不定，故錯誤；

C．回歸直線一定經過樣本點的中心(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)，故錯誤；

D．因為隨機變量ξ～N(μ，σ2)，且隨機變量η＝2ξ－1，所以η～N(2μ－1,4σ2)，故正確．故選AD．]

8．(多選)為了增強學生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，北京市多所中小學開展了冬奧會項目科普活動．為了了解學生對冰壺這個項目的了解情況，在北京市中小學中隨機抽取了10所學校，10所學校中了解這個項目的人數如圖所示：

若從這10所學校中隨機選取2所學校進行這個項目的科普活動，記X為被選中的學校中了解冰壺的人數在30以上的學校個數，則()

A．X的取值范圍為{0,1,2,3}

B．P(X＝0)＝

eq\f(1,3)

C．P(X＝1)＝

eq\f(8,15)

D．E(X)＝

eq\f(3,5)

BC[X的取值范圍為{0,1,2}，了解冰壺的人數在30以上的學校有4所，P(X＝0)＝

eq\f(C\o\al(0,4)·C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))

＝

eq\f(1,3)

，

P(X＝1)＝

eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))

＝

eq\f(8,15)

，P(X＝2)＝

eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))

＝

eq\f(2,15)

，所以E(X)＝0×

eq\f(1,3)

＋1×

eq\f(8,15)

＋2×

eq\f(2,15)

＝

eq\f(4,5)

.故選BC．]

二、填空題

9．某工廠新舊兩條生產線的產量比為7∶3，為了解該工廠生產的一批產品的質量情況，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣方法從兩條生產線抽取樣本，并觀測樣本的質量指標值，計算得新生產線質量指標的均值為10，方差為1，舊生產線質量指標的均值為9，方差為2，由此估計，該批產品的質量指標的均值為________，方差為________．

9.71.51[依題意，該批產品的質量指標的均值為

10×

eq\f(7,10)

＋9×

eq\f(3,10)

＝

eq\f(70＋27,10)

＝9.7.

該批產品的質量指標的方差為

eq\f(7,10)

×[1＋(10－9.7)2]＋

eq\f(3,10)

×[2＋(9－9.7)2]

＝

eq\f(7,10)

×1.09＋

eq\f(3,10)

×2.49＝1.51.]

10．(2021·福建漳州三中三模)根據下面的數據：

x

1

2

3

4

y

32

48

72

88

求得y關于x的經驗回歸方程為y＝19.2x＋12，則這組數據相對于所求的經驗回歸方程的4個殘差的方差為________．(注：殘差是指實際觀察值與估計值之間的差．)

3.2[把x＝1,2,3,4依次代入經驗回歸方程

y＝19.2x＋12，所得估計值依次為：y1＝31.2，y2＝50.4，y3＝69.6，y4＝88.8，

對應的殘差依次為：0.8，－2.4,2.4，－0.8，它們的平均數為0，

所以4個殘差的方差為

s2＝

eq\f(0.82＋－2.42＋2.42＋－0.82,4)

＝3.2.]

11．(2021·江蘇如皋高三開學考試)習近平在黨的十九大工作報告中提出，永遠把人民對美好生活的向往作為奮斗目標．在這一號召的引領下，全國人民積極工作，健康生活，當前“日行萬步”正成為健康生活的代名詞．某學校工會積極組織該校教職工參與“日行萬步”活動，并隨機抽取了該校100名教職工，統(tǒng)計他們的日行步數，按步數分組，得到如下餅圖：

各段日行步數人數比例

若從日行步數超過10千步的教職工中隨機抽取兩人，則這兩人的日行步數恰好一人在10～12千步，另一人在12～14千步的概率是________；設抽出的這兩名教職工中日行步數超過12千步的人數為隨機變量X，則E(X)＝________.

eq\f(1,2)

eq\f(3,4)

[由已知10～12千步的人數為10%×100＝10,12～14千步的人數為6%×100＝6，

因此任取2人，一人在10～12千步，另一人在12～14千步的概率是P＝

eq\f(10×6,C\o\al(2,16))

＝

eq\f(1,2)

.

X的可能取值為0,1,2，

P(X＝0)＝

eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,16))

＝

eq\f(3,8)

，P(X＝1)＝

eq\f(1,2)

，P(X＝2)＝

eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,16))

＝

eq\f(1,8)

，

所以E(X)＝1×

eq\f(1,2)

＋2×

eq\f(1,8)

＝

eq\f(3,4)

.]

三、解答題

12．(2021·重慶市清華中學校高三月考)目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球發(fā)生，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關信息，數據經過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(用頻率作為概率)．潛伏期不高于平均數的患者，稱為“短潛伏者”，潛伏期高于平均數的患者，稱為“長潛伏者”．

(1)求這500名患者潛伏期的平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)，并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數；

(2)為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否高于平均數為標準進行分層隨機抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯表，請將列聯表補充完整，并根據列聯表，依據小概率值α＝0.025的獨立性檢驗，能否推斷潛伏期長短與患者年齡有關．

年齡

潛伏情況

合計

短潛伏者

長潛伏者

60歲及以上

90

60歲及以下

140

合計

300

(3)研究發(fā)現，有5種藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現在要通過逐一試驗直到把這2種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗花費的費用是500元，設所需要的試驗費用為X，求X的分布列與數學期望X.

附表及公式：

χ2＝

eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)

，

α

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

xα

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

.

[解](1)平均數

eq\x\to(x)

＝(0.02×1＋0.08×3＋0.15×5＋0.18×7＋0.03×9＋0.03×11＋0.01×13)×2＝6，

這500名患者中“長潛伏者”的頻率為(0.18＋0.03＋0.03＋0.01)×2＝0.5，

所以“長潛伏者”的人數為500×0.5＝250人．

(2)由題意補充后的列聯表如下，

年齡

潛伏情況

合計

短潛伏者

長潛伏者

60歲及以上

90

70

160

60歲及以下

60

80

140

合計

150

150

300

零假設H0:潛伏期長短與患者年齡無關，則

χ2＝

eq\f(300×90×80－60×702,150×150×160×140)

＝

eq\f(75,14)

≈5.357>5.024＝x0.025.

所以依據小概率值α＝0.025的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為潛伏期長短與患者年齡有關．

(3)由題意知，所需要的試驗費用X所有可能的取值為1000,1500,2000，

P(X＝1000)＝

eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))

＝

eq\f(1,10)

，

P(X＝1500)＝

eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)＋A\o\al(3,3),A\o\al(3,5))

＝

eq\f(3,10)

，

P(X＝2000)＝

eq\f(C\o\al(1,2)A\o\al(1,3)A\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))

＝

eq\f(3,5)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PX＝2000＝\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(3,5))＝\f(36,60)＝\f(3,5)))

，

所以X的分布列為

X

1000

1500

2000

P

eq\f(1,10)

eq\f(3,10)

eq\f(3,5)

數學期望E(X)＝1000×

eq\f(1,10)

＋1500×

eq\f(3,10)

＋2000×

eq\f(3,5)

＝1750.

13．(2021·重慶市第十一中學校高三月考)某創(chuàng)業(yè)者計劃在南山旅游景區(qū)附近租賃一套農房發(fā)展成特色“農家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近五家“農家樂”跟蹤調查了100天，這五家“農家樂”的收費標準互不相同，得到的統(tǒng)計數據如下表，x為收費標準(單位：元/日)，t為入住天數(單位：天)，以入住天數的頻率作為各自的“入住率”，收費標準x與入住率y的散點圖如圖．

x/(元/日)

100

150

200

300

450

t/天

90

65

45

30

20

(1)若從以上五家“農家樂”中隨機抽取兩家深入調查，記ξ為“入住率“超過0.6的農家樂的個數，求ξ的分布列；

(2)令z＝lnx，由散點圖判斷

eq\o(y,\s\up8(^))

＝

eq\o(b,\s\up8(^))

x＋

eq\o(a,\s\up8(^))

與

eq\o(y,\s\up8(^))

＝

eq\o(b,\s\up8(^))

z＋

eq\o(a,\s\up8(^))

哪個更合適于此模型(給出判斷即可，不必說明理由)？并根據你的判斷結果求經驗回歸方程；(

eq\o(a,\s\up8(^))

，

eq\o(b,\s\up8(^))

的結果精確到0.1)

(3)根據第(2)問所求的經驗回歸方程，試估計收費標準為多少時，100天銷售額L最大？(100天銷售額L＝100×入住率×收費標準x)

參考數據：

eq\o(b,\s\up8(^))

＝

eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)

，

eq\o(a,\s\up8(^))

＝

eq\x\to(y)

－

eq\o(b,\s\up8(^))

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(x)

＝240，

eq\i\su(i＝1,5,x)

iyi＝457.5，

eq\i\su(i＝1,5,x)

eq\o\al(2,i)

＝365000，

eq\o(z,\s\up8(－))

≈5.35，

eq\i\su(i＝1,5,z)

iyi≈12.72，

eq\i\su(i＝1,5,z)

eq\o\al(2,i)

≈144.24，

eq\x\to(z)

2≈28.57，e5≈148，e5.4≈221.

[解](1)ξ的所有可能取值為0,1,2，

則P(ξ＝0)＝

eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))

＝

eq\f(3,10)

，

P(ξ＝1)＝

eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))

＝

eq\f(6,10)

＝

eq\f(3