（新高考）高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考前預(yù)測(cè)13《計(jì)數(shù)原理及二項(xiàng)式定理》（解析版）

預(yù)測(cè)13計(jì)數(shù)原理及二項(xiàng)式定理概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題☆☆☆☆填空題☆☆考向預(yù)測(cè)1、排列組合問題往往以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計(jì)數(shù)原理，往往是排列組合小綜合題．2、考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）3、考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；4、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.1、排列組合問題往往以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計(jì)數(shù)原理，往往是排列組合小綜合題．2、考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）3、考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；4、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.1、排列組合問題往往以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計(jì)數(shù)原理，往往是排列組合小綜合題．2、二項(xiàng)展開式定理的問題是高考命題熱點(diǎn)之一.關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.排列、組合1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，…，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__種不同的方法．2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1×m2×…×mn__種不同的方法．3.排列與排列數(shù)(1)排列：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的__一個(gè)排列__．(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的__排列數(shù)__，用符號(hào)__Aeq\o\al(m,n)__表示．(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)(n，m∈N*，并且m≤n)Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，規(guī)定0?。?．4.組合與組合數(shù)(1)組合：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的__一個(gè)組合__．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的__組合數(shù)__，用符號(hào)__Ceq\o\al(m,n)__表示．(3)組合數(shù)公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，并且m≤n)．(4)組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)．性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)．性質(zhì)3：mCeq\o\al(m,n)＝n·Ceq\o\al(m－1,n－1)．二、二項(xiàng)式定理1·二項(xiàng)式定理的展開式公式：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理．在上式中右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk．2.二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1．(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪_排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n)．一、楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)“楊輝三角”有如下規(guī)律：左右兩邊斜行都是1，其余各數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)字之和．(2)對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開式中與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)．(3)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減?。?dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．(4)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(5)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＝2n－1．二、排列、組合的方法技巧1、特殊位置、特殊元素優(yōu)先安排2、插空法3、捆綁法1．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】SKIPIF1<0的展開式中x3y3的系數(shù)為A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】SKIPIF1<0展開式的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）所以SKIPIF1<0的各項(xiàng)與SKIPIF1<0展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，該項(xiàng)中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，該項(xiàng)中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0故選：C.2．【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【解析】首先從SKIPIF1<0名同學(xué)中選SKIPIF1<0名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有SKIPIF1<0；然后從其余SKIPIF1<0名同學(xué)中選SKIPIF1<0名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有SKIPIF1<0；最后剩下的SKIPIF1<0名同學(xué)去丙場(chǎng)館.故不同的安排方法共有SKIPIF1<0種.故選：C．3．【2020年高考北京】在SKIPIF1<0的展開式中，SKIPIF1<0的系數(shù)為A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．10【答案】C【解析】SKIPIF1<0展開式的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的系數(shù)為：SKIPIF1<0.故選：C.4．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為SKIPIF1<0，故選A．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù)．5．【2020年高考全國(guó)II卷理數(shù)】4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<04名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，SKIPIF1<0先取2名同學(xué)看作一組，選法有：SKIPIF1<0.現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：SKIPIF1<0，根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法SKIPIF1<0種，故答案為：SKIPIF1<0.6．【2020年高考全國(guó)III卷理數(shù)】SKIPIF1<0的展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.7．【2020年高考天津】在SKIPIF1<0的展開式中，SKIPIF1<0的系數(shù)是_________．【答案】10【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【2020年高考浙江】二項(xiàng)展開式SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______，SKIPIF1<0________．【答案】80；122【解析】SKIPIF1<0的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.故答案為：80；122.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.9．【2019年高考浙江卷理數(shù)】在二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是__________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是__________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】由題意，SKIPIF1<0的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為SKIPIF1<0；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0共5個(gè)項(xiàng)．故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．10．【2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有__________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】16【解析】根據(jù)題意，沒有女生入選有SKIPIF1<0種選法，從6名學(xué)生中任意選3人有SKIPIF1<0種選法，故至少有1位女生入選，則不同的選法共有SKIPIF1<0種，故答案為：16．11．【2018年高考浙江卷】從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成__________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(用數(shù)字作答)【答案】1260【解析】若不取0，則排列數(shù)為SKIPIF1<0；若取0，則排列數(shù)為SKIPIF1<0，因此一共可以組成SKIPIF1<0SKIPIF1<0個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．故答案為：1260．12．【2018年高考浙江卷】二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式的常數(shù)項(xiàng)是__________．【答案】7【解析】二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故所求的常數(shù)項(xiàng)為SKIPIF1<0．故答案為：7．13．【2018年高考天津卷理數(shù)】在SKIPIF1<0的展開式中，SKIPIF1<0的系數(shù)為__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的系數(shù)為：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．14．【2019年高考江蘇卷理數(shù)】設(shè)SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．（1）求n的值；（2）設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．解法一：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．解法二：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0．單選題1、（2021·連云港·一模）3．2月18日至28日在張家口舉辦國(guó)際雪聯(lián)自由式滑雪和單板滑雪世界錦標(biāo)賽，現(xiàn)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案的種數(shù)為A．12B．24C．36D．48【答案】CQUOTE【解析】C21C21A33＝24A22A32＝12種，12+24=36C.2、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（）A．-112 B．28 C．56 D．112【答案】D【解析】由SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0．故選：D.3、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）SKIPIF1<0的展開式的中間項(xiàng)為（）A．-40 B．SKIPIF1<0 C．40 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0則中間項(xiàng)為SKIPIF1<0.故選：B.4、（江蘇省鹽城市2020-2021學(xué)年高三模擬）若二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（）A．60 B．120C．160 D．240【答案】D【解析】二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0要使展開式中含SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以系數(shù)為：SKIPIF1<0故選：D5、（江蘇省連云港市2021屆高三調(diào)研）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（）.A．16 B．18 C．20 D．24【答案】C【解析】SKIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項(xiàng)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，故選：C.多選題6、（2021·江蘇省濱海中學(xué)高三月考）為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周.則（）A．某學(xué)生從中選3門，共有30種選法B．課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法C．課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法D．課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法【答案】CD【解析】6門中選3門共有種，故A錯(cuò)誤；課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有種排法，故B錯(cuò)誤；課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有種排法，故C正確；課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有種排法，故D正確．故選：CD7、（湖北省襄陽(yáng)市2020-2021學(xué)年高三聯(lián)考）若SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，A對(duì)，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B對(duì)，C錯(cuò)，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，D對(duì)，故選：ABD.8、（2021·江蘇常州市·高三期末）若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為C．展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和為D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，令，可得，即，即，①令，得，即，②由于的展開式中，所以，③所以①-②-③得：，而，所以，解得：，故A正確；對(duì)于B，由于，則，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，則的所有項(xiàng)系數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，由于，則，等式兩邊求導(dǎo)得：，令，則，故D正確.故選：ACD.9、（2021·揚(yáng)州·一模）9.在SKIPIF1<0的展開式中，下列說法正確的有()A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0C．系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)和第5項(xiàng)D．存在常數(shù)項(xiàng)【答案】AB【解析】：的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即，27=128，所以A對(duì)；求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，令x=1，系數(shù)和為0.所以B對(duì)；求展開式系數(shù)最大項(xiàng)：如求()的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為，且第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用從而解出k來，即得．，由于中不含每一項(xiàng)系數(shù)，為1和-1，則系數(shù)最大值與有關(guān)，4項(xiàng)和第5項(xiàng)一負(fù)一正，所以C是錯(cuò)的；二次項(xiàng)次數(shù)是奇次，所以不可能出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，D是錯(cuò)的。填空題10、（山東省2020-2021學(xué)年高三調(diào)研）若SKIPIF1<0的展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則該常數(shù)項(xiàng)為______（用數(shù)字表示）．【答案】35【解析】