專題08 圓錐曲線中的最值的問題（原卷版）

專題08圓錐曲線中的最值的問題一、題型選講題型一與線段有關(guān)的最值問題與線段有關(guān)的最值問題關(guān)鍵是建立關(guān)于線段的目標(biāo)函數(shù)，然后運用基本不等式或者函數(shù)有關(guān)的問題，運用基本不等式或者函數(shù)求解。線段的長度可以通過兩點間的距離或者利用相交弦長公式進行求解。例1、(2019宿遷期末）如圖所示，橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，右準(zhǔn)線方程為x＝4，過點P(0，4)作關(guān)于y軸對稱的兩條直線l1，l2，且l1與橢圓交于不同兩點A，B，l2與橢圓交于不同兩點D，C.(1)求橢圓M的方程；(2)證明：直線AC與直線BD交于點Q(0，1)；(3)求線段AC長的取值范圍．例2、（2016南京、鹽城一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點M(x0，y0)是橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1上的一點，從原點O向圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作兩條切線分別與橢圓C交于點P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為k1，k2.(1)若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點，求圓M的方程；(2)若r＝eq\f(2\r(5),5).①求證：k1k2＝－eq\f(1,4)；②求OP·OQ的最大值．題型二與面積有關(guān)的最值問題與面積有關(guān)的最值問題通常建立起面積的目標(biāo)函數(shù)，可以通過公式求解。然后通過基本不等式或者求導(dǎo)研究函數(shù)的最值問題。例3、(2019無錫期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，且過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))，點P在第四象限，A為左頂點，B為上頂點，PA交y軸于點C，PB交x軸于點D.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求△PCD面積的最大值．題型三與向量有關(guān)的最值問題與向量有關(guān)的最值問題關(guān)鍵就是表示出點坐標(biāo)，通過數(shù)量積轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后運用基本不等式或者求導(dǎo)研究最值。例4、(2018蘇州暑假測試）如圖，已知橢圓O：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦點為F，點B，C分別是橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y＝－2上的一個動點(與y軸的交點除外)，直線PC交橢圓于另一個點M.(1)當(dāng)直線PM經(jīng)過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積；(2)①記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1?k2為定值；②求eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))的取值范圍．題型四與坐標(biāo)或參數(shù)有關(guān)的最值問題與坐標(biāo)或參數(shù)有關(guān)的最值問題關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)，然后運用基本不等式或者求導(dǎo)或者通過簡單的函數(shù)問題進行求解。例5、(2019泰州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點為A，點B是橢圓C上異于左、右頂點的任一點，P是AB的中點，過點B且與AB垂直的直線與直線OP交于點Q.已知橢圓C的離心率為eq\f(1,2)，點A到右準(zhǔn)線的距離為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為x0，求x0的取值范圍．例6、(2019揚州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，左、右頂點分別為A，B，線段AB的長為4.P在橢圓M上且位于第一象限，過點A，B分別作l1⊥PA，l2⊥PB，直線l1，l2交于點C.(1)若點C的橫坐標(biāo)為－1，求點P的坐標(biāo)；(2)若直線l1與橢圓M的另一交點為Q，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))，求λ的取值范圍．二、達標(biāo)訓(xùn)練1、(2018無錫期末）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的焦點重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，P為右支上任意一點，則eq\f(PFeq\o\al(2,1),PF2)的最小值為________．2、(2017鎮(zhèn)江期末）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，且點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l交橢圓C于P，Q兩點，線段PQ的中點為H，O為坐標(biāo)原點，且OH＝1，求△POQ面積的最大值．3、(2017蘇北四市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且右焦點F到左準(zhǔn)線的距離為6eq\r(2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點，P為橢圓C上位于x軸上方的點，直線PA交y軸于點M，過點F作MF的垂線，交y軸于點N.①當(dāng)直線PA的斜率為eq\f(1,2)時，求△FMN的外接圓的方程；②設(shè)直線AN交橢圓C于另一點Q，求△APQ的面積的最大值．4、(2016南通、揚州、泰州、淮安三調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，長軸長為4，過橢圓的左頂點A作直線l，分別交橢圓和圓x2＋y2＝a2于相異兩點P，Q.(1)若直線l的斜率為eq\f(1,2)，求eq\f(AP,AQ)的值；(2)若eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→))，求實數(shù)λ的取值范圍．5、(2016蘇州暑假測試）如圖，已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F，上頂點為A，P為橢圓C1上任一點，MN是圓C2：x2＋(y－3)2＝1的一條直徑，在y軸上截距為3－eq\r(2)的直線l與AF平行且與圓C2相切．(1)求橢圓C1的離心率；(2)若橢圓C1的短軸長為8，求eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最大值．6、(2016蘇北四市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(1,2)，左頂點為A(－4,0)，過點A作斜率為k