最優(yōu)估計之線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波課件

最優(yōu)估計1最優(yōu)估計1第8章線性連續(xù)系統(tǒng)

卡爾曼濾波

離散系統(tǒng)取極限的推導方法卡爾曼濾波方程新息推導法線性連續(xù)系統(tǒng)濾波器的一般形式濾波的穩(wěn)定性及誤差分析2第8章線性連續(xù)系統(tǒng)

卡爾曼濾波離散系統(tǒng)取極限的推導方法2研究連續(xù)系統(tǒng)的必要性：實際的物理系統(tǒng)往往是連續(xù)的，故離散系統(tǒng)的描述不能完全代替連續(xù)時間系統(tǒng)。線性連續(xù)系統(tǒng)模型：(8.1.1)問題：3研究連續(xù)系統(tǒng)的必要性：實際的物理系統(tǒng)往往是連續(xù)的，故離散系統(tǒng)8.1離散系統(tǒng)取極限的推導方法推導方法思想：當采樣稠密或采樣間隔趨于零時，取離散系統(tǒng)的極限，將離散系統(tǒng)的結(jié)果轉(zhuǎn)化為連續(xù)系統(tǒng)的公式。步驟1：建立(8.1.1)的等效離散線性系統(tǒng)數(shù)學描述步驟2：求等效離散模型的卡爾曼濾波方程

步驟3：對離散卡爾曼濾波公式取極限

推導方法步驟：48.1離散系統(tǒng)取極限的推導方法推導方法思想：當采樣稠密或采步驟1：建立(8.1.1)的等效離散線性系統(tǒng)數(shù)學描述由5.3知，等效模型：5步驟1：建立(8.1.1)的等效離散線性系統(tǒng)數(shù)學描述由5.利用離散線性系統(tǒng)卡爾曼濾波方程(132頁)及下列等效關(guān)系：得等效離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波方程：步驟2：求等效離散模型的卡爾曼濾波方程

6利用離散線性系統(tǒng)卡爾曼濾波方程(132頁)及下列等效關(guān)系：得(8.1.3)(8.1.4)(8.1.5)(8.1.6)7(8.1.3)(8.1.4)(8.1.5)(8.1.6)7步驟3：對離散卡爾曼濾波公式取極限

---(8.1.8)最優(yōu)濾波方程線性連續(xù)系統(tǒng)的卡爾曼濾波方程，是一個一階微分方程。8步驟3：對離散卡爾曼濾波公-----------增益矩陣9-----------增益矩陣9-----------估計誤差方差黎卡提微分方程：10-----------估計誤差方差黎卡提微分方程：10線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波求解公式注：連續(xù)系統(tǒng)的卡爾曼濾波估計問題歸結(jié)為求解微分方程問題；矩陣黎卡提微分方程很難求解。濾波增益方程：濾波誤差方差矩陣黎卡提方程：最優(yōu)濾波方程：11線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波求解公式注：連續(xù)系統(tǒng)的卡爾曼濾波估計問線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波方程12線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波方程12兩點說明：13兩點說明：13++++14++++14++15++158.2卡爾曼濾波方程新息推導法新息的性質(zhì)：新息是一個與測量噪聲有相同統(tǒng)計值的白噪聲過程。系統(tǒng)模型：新息：168.2卡爾曼濾波方程新息推導法新息的性質(zhì)：新息是一個與測量推導過程步驟1：構(gòu)造估計量的函數(shù)形式估計與測量的正交性17推導過程步驟1：構(gòu)造估計量的函數(shù)形式估計與測量的正交性17步驟2：對上述函數(shù)關(guān)于時間求導18步驟2：對上述函數(shù)關(guān)于時間求導18步驟3：確定增益陣K(t)19步驟3：確定增益陣K(t)19步驟4：求P(t)的導數(shù)與極限推導法的結(jié)果一致。20步驟4：求P(t)的導數(shù)與極限推導法的結(jié)果一致。20連續(xù)線性定常系統(tǒng)的卡爾曼濾波若系統(tǒng)模型中的各參數(shù)為常數(shù)，即當估計過程達到穩(wěn)態(tài)時，黎卡提微分方程中的與時間無關(guān)，其微分為零，則濾波方程為：21連續(xù)線性定常系統(tǒng)的卡爾曼濾波若系統(tǒng)模型中的各參數(shù)為常數(shù)，即當例二階系統(tǒng)狀態(tài)及觀測方程：噪聲及初值：求卡爾曼濾波方程及增益、方差矩陣方程。解由已知：22例二階系統(tǒng)狀態(tài)及觀測方程：噪聲及初值：求卡爾曼濾波方程及增益由濾波公式，得：23由濾波公式，得：23將上式展開，有：解此非線性聯(lián)立微分方程組，求得方差P(t)后，得增益矩陣：和濾波方程：24將上式展開，有：解此非線性聯(lián)立微分方程組，求得方差P(t)8.3線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波器的一般形式系統(tǒng)模型：w(t)和v(t)均為零均值白噪聲過程，且建立與式(8.3.1)~(8.3.2)等效的線性離散系統(tǒng)的數(shù)學模型：

--------(8.3.1)--------(8.3.2)建立與式(8.3.1)~(8.3.2)等效的線性離散系統(tǒng)的數(shù)學模型：

含控制項，過程噪聲和觀測噪聲相關(guān)。258.3線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波器的一般形式系統(tǒng)模型：w(t)

是零均值分段常值白噪聲過程，其協(xié)方差陣分別為：式中：26

將下列代換關(guān)系：

帶入離散卡爾曼濾波公式(6.3.4a)~(6.3.4e)，得：

27將下列代換關(guān)系：帶入離散卡爾曼濾波公式(6.3.4a)~((8.3.8a)(8.3.8b)(8.3.8c)(8.3.8d)(8.3.8e)(8.3.8f)28(8.3.8a)(8.3.8b)(8.3.8c)(8.3.8(8.3.8d)(8.3.9)(8.3.10)(8.3.11)(8.3.8d)(8.3.8a)(8.3.6)、(8.3.8b)→

(8.3.8a)(8.3.6)、(8.3.8b)→

29(8.3.8d)(8.3.9)(8.3.10)(8.3.11(8.3.8e)(8.3.6)、(8.3.8c)→(8.3.15)(8.3.9)(8.3.11)(8.3.8f)30(8.3.8e)(8.3.6)、(8.3.8c)→(8.線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波的一般形式：(8.3.16a)(8.3.16b)(8.3.16c)31線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波的一般形式：(8.3.16a)(8.38.4濾波的穩(wěn)定性及誤差分析8.4.1濾波器的穩(wěn)定性研究濾波的穩(wěn)定性，只需研究濾波方程對應齊方程的穩(wěn)定性。328.4濾波的穩(wěn)定性及誤差分析8.4.1濾波器的穩(wěn)定性研究濾連續(xù)線性系統(tǒng)的能控能觀性：33連續(xù)線性系統(tǒng)的能控能觀性：33濾波穩(wěn)定性定理穩(wěn)定性定理表明，當測量時間足夠長，濾波系統(tǒng)的最優(yōu)濾波值最終與初始狀態(tài)如何選取無關(guān)?？梢宰C明，濾波估計誤差的方差也將最終與初始誤差方差陣的選取無關(guān)，而趨于穩(wěn)態(tài)值。濾波增益矩陣也具有這種漸進特性。

34濾波穩(wěn)定性定理穩(wěn)定性定理表明，當測量時間足夠長，濾波系統(tǒng)的例系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程如下：

判斷濾波系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

35例系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程如下：判斷濾波系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3則可控性矩陣：狀態(tài)一致完全可控36則可控性矩陣：狀態(tài)一致完全可控36則可觀性矩陣：狀態(tài)一致完全可觀37則可觀性矩陣：狀態(tài)一致完全可觀378.4.2濾波器估計誤差分析當數(shù)學模型不準確、噪聲統(tǒng)計特性不準確、初始狀態(tài)估計有差異，或者只有其中一種因素存在時，卡爾曼濾波器只是次優(yōu)的。結(jié)論1結(jié)論2若系統(tǒng)是一致完全能控制和一致完全能觀測時，有一致的上界。

388.4.2濾波器估計誤差分析當數(shù)學模型不準確、噪聲統(tǒng)計特性最優(yōu)估計39最優(yōu)估計1第8章線性連續(xù)系統(tǒng)

卡爾曼濾波

離散系統(tǒng)取極限的推導方法卡爾曼濾波方程新息推導法線性連續(xù)系統(tǒng)濾波器的一般形式濾波的穩(wěn)定性及誤差分析40第8章線性連續(xù)系統(tǒng)

卡爾曼濾波離散系統(tǒng)取極限的推導方法2研究連續(xù)系統(tǒng)的必要性：實際的物理系統(tǒng)往往是連續(xù)的，故離散系統(tǒng)的描述不能完全代替連續(xù)時間系統(tǒng)。線性連續(xù)系統(tǒng)模型：(8.1.1)問題：41研究連續(xù)系統(tǒng)的必要性：實際的物理系統(tǒng)往往是連續(xù)的，故離散系統(tǒng)8.1離散系統(tǒng)取極限的推導方法推導方法思想：當采樣稠密或采樣間隔趨于零時，取離散系統(tǒng)的極限，將離散系統(tǒng)的結(jié)果轉(zhuǎn)化為連續(xù)系統(tǒng)的公式。步驟1：建立(8.1.1)的等效離散線性系統(tǒng)數(shù)學描述步驟2：求等效離散模型的卡爾曼濾波方程

步驟3：對離散卡爾曼濾波公式取極限

推導方法步驟：428.1離散系統(tǒng)取極限的推導方法推導方法思想：當采樣稠密或采步驟1：建立(8.1.1)的等效離散線性系統(tǒng)數(shù)學描述由5.3知，等效模型：43步驟1：建立(8.1.1)的等效離散線性系統(tǒng)數(shù)學描述由5.利用離散線性系統(tǒng)卡爾曼濾波方程(132頁)及下列等效關(guān)系：得等效離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波方程：步驟2：求等效離散模型的卡爾曼濾波方程

44利用離散線性系統(tǒng)卡爾曼濾波方程(132頁)及下列等效關(guān)系：得(8.1.3)(8.1.4)(8.1.5)(8.1.6)45(8.1.3)(8.1.4)(8.1.5)(8.1.6)7步驟3：對離散卡爾曼濾波公式取極限

---(8.1.8)最優(yōu)濾波方程線性連續(xù)系統(tǒng)的卡爾曼濾波方程，是一個一階微分方程。46步驟3：對離散卡爾曼濾波公-----------增益矩陣47-----------增益矩陣9-----------估計誤差方差黎卡提微分方程：48-----------估計誤差方差黎卡提微分方程：10線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波求解公式注：連續(xù)系統(tǒng)的卡爾曼濾波估計問題歸結(jié)為求解微分方程問題；矩陣黎卡提微分方程很難求解。濾波增益方程：濾波誤差方差矩陣黎卡提方程：最優(yōu)濾波方程：49線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波求解公式注：連續(xù)系統(tǒng)的卡爾曼濾波估計問線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波方程50線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波方程12兩點說明：51兩點說明：13++++52++++14++53++158.2卡爾曼濾波方程新息推導法新息的性質(zhì)：新息是一個與測量噪聲有相同統(tǒng)計值的白噪聲過程。系統(tǒng)模型：新息：548.2卡爾曼濾波方程新息推導法新息的性質(zhì)：新息是一個與測量推導過程步驟1：構(gòu)造估計量的函數(shù)形式估計與測量的正交性55推導過程步驟1：構(gòu)造估計量的函數(shù)形式估計與測量的正交性17步驟2：對上述函數(shù)關(guān)于時間求導56步驟2：對上述函數(shù)關(guān)于時間求導18步驟3：確定增益陣K(t)57步驟3：確定增益陣K(t)19步驟4：求P(t)的導數(shù)與極限推導法的結(jié)果一致。58步驟4：求P(t)的導數(shù)與極限推導法的結(jié)果一致。20連續(xù)線性定常系統(tǒng)的卡爾曼濾波若系統(tǒng)模型中的各參數(shù)為常數(shù)，即當估計過程達到穩(wěn)態(tài)時，黎卡提微分方程中的與時間無關(guān)，其微分為零，則濾波方程為：59連續(xù)線性定常系統(tǒng)的卡爾曼濾波若系統(tǒng)模型中的各參數(shù)為常數(shù)，即當例二階系統(tǒng)狀態(tài)及觀測方程：噪聲及初值：求卡爾曼濾波方程及增益、方差矩陣方程。解由已知：60例二階系統(tǒng)狀態(tài)及觀測方程：噪聲及初值：求卡爾曼濾波方程及增益由濾波公式，得：61由濾波公式，得：23將上式展開，有：解此非線性聯(lián)立微分方程組，求得方差P(t)后，得增益矩陣：和濾波方程：62將上式展開，有：解此非線性聯(lián)立微分方程組，求得方差P(t)8.3線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波器的一般形式系統(tǒng)模型：w(t)和v(t)均為零均值白噪聲過程，且建立與式(8.3.1)~(8.3.2)等效的線性離散系統(tǒng)的數(shù)學模型：

--------(8.3.1)--------(8.3.2)建立與式(8.3.1)~(8.3.2)等效的線性離散系統(tǒng)的數(shù)學模型：

含控制項，過程噪聲和觀測噪聲相關(guān)。638.3線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波器的一般形式系統(tǒng)模型：w(t)

是零均值分段常值白噪聲過程，其協(xié)方差陣分別為：式中：64

將下列代換關(guān)系：

帶入離散卡爾曼濾波公式(6.3.4a)~(6.3.4e)，得：

65將下列代換關(guān)系：帶入離散卡爾曼濾波公式(6.3.4a)~((8.3.8a)(8.3.8b)(8.3.8c)(8.3.8d)(8.3.8e)(8.3.8f)66(8.3.8a)(8.3.8b)(8.3.8c)(8.3.8(8.3.8d)(8.3.9)(8.3.10)(8.3.11)(8.3.8d)(8.3.8a)(8.3.6)、(8.3.8b)→

(8.3.8a)(8.3.6)、(8.3.8b)→

67(8.3.8d)(8.3.9)(8.3.10)(8.3.11(8.3.8e)(8.3.6)、(8.3.8c)→(8.3.15)(8.3.9)(8.3.11)(8.3.8f)68(8.3.8e)(8.3.6)、(8.3.8c)→(8.線性連續(xù)系統(tǒng)卡爾曼濾波的一般形式：(8.