概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式(考試版專用)

第1章隨機(jī)事件及其概率（1）排列從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù)。組合公式從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù)。加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方（2）加法法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。和乘法原理乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。（3）一些重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對立事件（至少有一個）常見排列順序問題（4）隨機(jī)如果一個試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這試驗(yàn)和隨機(jī)種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。事件試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。在一個試驗(yàn)下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。（5）基本基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。事件、樣本一個事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大空間和事件寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件①關(guān)系：的關(guān)系與運(yùn)如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)算生）：如果同時有，，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)∩(BC)(AB)∩C=(AC)(BC)德摩根率：，設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1°0≤P(A)≤1，（7）概率2°P(Ω)=1的公理化定義3°對于兩兩互不相容的事件，，…有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。1°，2°。（8）古典設(shè)任一事件，它是由組成的，則有概型P(A)==若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同（9）幾何此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對任一事件時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱A，概型。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。（10）加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時，P(A+B)=P(A)+P(B)公式P(A-B)=P(A)-P(AB)（11）減法當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)公式當(dāng)A=Ω時，P()=1-P(B)定義設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為為事件A發(fā)生條（12）條件概率。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法乘法公式：公式更一般地，對事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有…………。①兩個事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足的。，則稱事件、是相互獨(dú)立，則有若事件、相互獨(dú)立，且若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互（14）獨(dú)立獨(dú)立。性必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。②多個事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對于n個事件類似。設(shè)事件1°滿足兩兩互不相容，，（15）全概2°，公式則有。設(shè)事件，，…，及滿足1°，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，2°，，則（16）貝葉斯公式，i=1，2，…n。，，…，），通常叫先驗(yàn)概率。此公式即為貝葉斯公式。，（，（，，…，），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。我們作了次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。（17）伯努利概型這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用第二章隨機(jī)變量及其分布（1）離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k1,2,…)且取各個值的概率，隨機(jī)變量的即事件(X=X)的概率為kP(X=xk)=pk，k=1,2,…，分布律則稱上式為離散型隨機(jī)變量的形式給出：的概率分布或分布律。有時也用分布列。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）（2）連續(xù)型設(shè)，是隨機(jī)變量，（2）的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)。，對任意實(shí)數(shù)隨機(jī)變量的，有分布密度，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1°。2°。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)積分元在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與變量的關(guān)系（4）分布函設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（–∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°2°；是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有；；3°4°5°，，即是右連續(xù)的；。對于離散型隨機(jī)變量，；對于連續(xù)型隨機(jī)變量，（5）八大分0-1分布。P(X=1)=p,P(X=0)=q布二項(xiàng)分布泊松分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為發(fā)生的概率為。事件。發(fā)生的次數(shù)，，其中則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時，，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，，，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。，其中p≥0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即a≤x≤b其他，在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。則稱隨機(jī)變量分布函數(shù)為a≤x≤b0，x<a，1，x>b。當(dāng)a≤x1<x2≤b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布,0,,其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為,x<0。記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，，第三章二維隨機(jī)變量及其分布（1）聯(lián)合分離散型布如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示：YXy1y2………yj………x1x2p11p21p12p22p1jp2jxipi1……這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1）f(x,y)≥0;（2）（2）二維隨機(jī)變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)布函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分離散型布X的邊緣分布為Y的邊緣分布為；。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分離散型布在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨(dú)立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布＝0隨機(jī)變量的若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：函數(shù)h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1D1O1x圖3.1y1O2x圖3.2ydcOabx圖3.3（9）二維正設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為態(tài)分布其中是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）～N（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。布。（10）函數(shù)Z=X+Y分布根據(jù)定義計(jì)算：對于連續(xù)型，fZ(z)＝兩個獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn)若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布，記為W～，其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)離散型連續(xù)型字特征期望期望就是平均值設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求絕對收斂）（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=E[X-E(X)]2，標(biāo)準(zhǔn)差，矩①對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即①對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即νk=E(Xk)=②對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記,k=1,2,….νk=E(Xk)=k=1,2,….為，即②對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=，k=1,2,….=k=1,2,….切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（1）E(C)=C（2）期望的性質(zhì)（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布二項(xiàng)分布泊松分布pnp幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n02nt分布(n>2)（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)期望字特征函數(shù)的期望方差＝＝協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號相對應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時可簡記為）。||≤1，當(dāng)||=1時，稱X與Y完全相關(guān)：（6）(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).協(xié)方差的性質(zhì)（獨(dú)立和7）（i）若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則不相關(guān)（ii）若（X，Y）～N（；反之不真。），則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),則對于任意的正數(shù)ε，有特殊情形：若X1，X2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=μ，則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)ε，有伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xn）=μ，則對于任意的正數(shù)ε有（2）中心極限定列維－林德伯格定理理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實(shí)數(shù)x，有此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量實(shí)數(shù)x,有為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對于任意（3）二項(xiàng)定理（4）泊松定理若當(dāng)，則超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。若當(dāng)，則第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個體樣本總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，表示n個隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)為總體的一個樣本，稱（）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩，，，,其中（2）正態(tài)總體下的四大分正態(tài)分布布，為二階中心矩。設(shè)本函數(shù)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣t分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)的一個樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)為來自正態(tài)總體其中表示自由度為n-1的分布。F分布設(shè)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體的一個樣本，而的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)與獨(dú)立。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為，則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。分別為的最為若設(shè)為的極大似然估計(jì)。的極大似然估計(jì)，為單調(diào)函數(shù)，則（2）估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)無偏性為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E（）=，則稱為的無偏估計(jì)量。E（）=E（X），E（S2）=D（X）有效性一致性設(shè)和是未知參數(shù)有效。的兩個無偏估計(jì)量。若，則稱設(shè)是的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù)，都有則稱為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。若為的無偏估計(jì)，且則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。（3）區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計(jì)量與，使得區(qū)間以的概率包含這個待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望