微積分跌日俄名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

利用直接積分法求出不定積分是很有限.一.湊微分法例計(jì)算分析:此不定積分被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù),在積分表中查不到.§4.2換元積分法為了求出更多函數(shù)不定積分,下面建立一些有效地積分法.這是因?yàn)楸环e函數(shù)cos2x變量是“2x”,與積分變量“x”不一樣.但假如能把被積表示式改變一下,使得被積函數(shù)變量與積分變量變得相同,那么就可用公式求出此不定積分.

(u是x函數(shù))第1頁(yè)1注:這種方法實(shí)質(zhì)是當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時(shí),可采取恒等變形將原來(lái)微分dx湊成新微分d(x)(可無(wú)須換元),使原積分變成一個(gè)可直接用積分公式來(lái)計(jì)算.這種方法稱(chēng)為湊微分法.其理論依據(jù)為第2頁(yè)2定理1

證利用不定積分定義及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可.注1.定理1中,若u為自變量時(shí),當(dāng)然有當(dāng)u換為(x)時(shí),就有成立.——不定積分這一性質(zhì)稱(chēng)為積分形式不變性.注2.

湊微分法關(guān)鍵是“湊”,湊目標(biāo)是把被積函數(shù)中間變量變得與積分變量相同.即成立.第3頁(yè)3(1)依據(jù)被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)特點(diǎn)和基本積分公式形式,依據(jù)恒等變形標(biāo)準(zhǔn),把dx湊成d(x).如

(2)把被積函數(shù)中某一因子與dx湊成一個(gè)新微分d(x).如“湊微分”方法有:方法1較簡(jiǎn)單,而方法2則需一定技巧,請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必記牢以下常見(jiàn)湊微分公式！第4頁(yè)4第5頁(yè)5例1求以下各式不定積分結(jié)論1:第6頁(yè)6第7頁(yè)7例2求以下各式不定積分結(jié)論2:第8頁(yè)8同理可得例3求以下各式不定積分第9頁(yè)9結(jié)論3:第10頁(yè)10或原式同理可得第11頁(yè)11注:對(duì)于同一個(gè)不定積分,采取方法不一樣,有時(shí)得到原函數(shù)表示式就完全不一樣,但這些不一樣表示式之間僅相差一個(gè)常數(shù).如法一:法二:法三:第12頁(yè)12例4求以下各式不定積分同理可得結(jié)論4:普通地,對(duì)形如這么不定積分第13頁(yè)13當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)應(yīng)先降次后再積分；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)應(yīng)先湊微分再積分；普通地,對(duì)形如這么不定積分若n≠m，且一奇一偶時(shí)，則應(yīng)湊奇次冪三角函數(shù)；若同為偶，則化為第14頁(yè)14對(duì)形如這么不定積分應(yīng)先積化和差后再積分.第15頁(yè)15課堂練習(xí):求以下各式第16頁(yè)16第17頁(yè)17二.第二類(lèi)換元法注:用直接積分和湊微分法是不易計(jì)算此積分.但作變換從而注:這種經(jīng)過(guò)適當(dāng)選擇變量代換x=(t)將積分求出此積分后回代t.稱(chēng)此方法為換元積分法.化為積分例5第18頁(yè)18定理2設(shè)函數(shù)?(x)連續(xù),

x=(t)單調(diào)可微,且,而證實(shí)即只是在此方法中要注意兩個(gè)問(wèn)題:1.函數(shù)原函數(shù)存在.2.要求代換式x=(t)反函數(shù)存在且唯一.則第19頁(yè)19注1:換元積分法是先換元,再積分,最終回代.這與湊微分法(先湊后換元)不一樣.注2:本節(jié)利用換元積分法來(lái)求解被積函數(shù)為無(wú)理函數(shù)不定積分.換元目標(biāo)是將無(wú)理函數(shù)不定積分轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)積分.分兩類(lèi)講:1.根號(hào)里是一次式,即2.根號(hào)里是二次式,即主要講1.被積函數(shù)含有因子時(shí),可令例6求以下各式化簡(jiǎn)函數(shù)后再積分.第20頁(yè)20第21頁(yè)21第22頁(yè)22但在詳細(xì)求解時(shí)要依據(jù)被積函數(shù)所含二次根式不一樣情況作不一樣三角代換,作法以下：2.被積函數(shù)含有因子時(shí),可作三角變換,利用三角函數(shù)恒等式使二次根式有理化.第23頁(yè)23例7求以下各式第24頁(yè)24?tax如圖第25頁(yè)25?tax如圖第26頁(yè)26?tax第27頁(yè)273.倒代換——當(dāng)被積函數(shù)分母次數(shù)與分子次數(shù)之差大于1時(shí),利用倒代換可消去被積函數(shù)分母中變量因子x.例8求第28頁(yè)28例9求法一:三角代換令法二:根式代換令法三:湊微分法,原式=原式=?tx1第29頁(yè)29法四:倒代換令解由題意知?jiǎng)t例10(1)設(shè)函數(shù)?(