新人教版初中數(shù)學(xué)9年級下冊28章教案學(xué)案

28章：銳角三角函數(shù)定義：如圖在△ABC中，∠C為直角把銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA；sinA=sinAc把銳角∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦cosAcosAcb把銳角∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切記作cosA。cosAa2、三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值012223211322212003313在0A90A的增大，正弦值越來越大，而余弦值越來越小.sinA是增函數(shù)，cosA減函數(shù)。 銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)。2、同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2Acos2A1tantancot

sin；cotcos

cos；sin、互余銳角的三角函數(shù)關(guān)系 sinAcosBcos(90A)cosAsinBsin(90A)解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的兩個(gè)已知元素（其中至少有一條邊），直角三角形的可解條件及解直角三角形的基本類型斜邊c和銳AB=90°-A 1B=90°-A，b=acotA，c ，s acotsin c 2b2，由tanAa，求角A，B=90°-b1S=2直角邊a和斜b c2a2，由sinAaA，B=90°-c S=ac2第一部分：銳角三角函數(shù)的運(yùn)算例 ，則sinD,cosD,sinE,cosE2[考 ]本例主要是考查銳角三角函數(shù)的概2[參考答案

33

22

，cosE= 例：（A）都沒有變 （B）都擴(kuò)大4（C）都縮小4 （D）不能確[考點(diǎn)本例主是考查銳三角函的義和性質(zhì)，過計(jì)算以知道[參考答案].故應(yīng)選例3：已知：A為銳角，并且sinA5，則cosA的值 [考點(diǎn)]本例主要是考查銳角三角函數(shù)的定義[參考答案]cosA4：（08年密云一模）6．正方形網(wǎng)格中，∠AOBtan∠AOBＡ．

Ｂ．2AOB AOB1 Ｄ．2[參考答案]D刻光與地面的夾角最小為a,夏至這一天的正午時(shí)刻光與地面的夾角最大為(如圖1-15-23.想為自己家的窗戶設(shè)計(jì)一個(gè)直角三角形遮陽篷BCD.要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光,又能最大限制地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).查閱了有關(guān)資料,獲得了所在地區(qū)∠α和∠β的相應(yīng)數(shù)據(jù):∠α=24°36′,∠β=73°30′,又得窗戶的高AB=1.65m.若同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件,(1)當(dāng)光與地面的夾角為α?xí)r,要想使光剛好全部射入室內(nèi);(2)當(dāng)光與地面的夾角為β時(shí),要想使光剛好不射入室內(nèi),請你借助下面的圖形(如圖),幫助算一算,遮陽篷BCD中,BC和CD的長各是多少?(精確到0.01m)[考點(diǎn)]本例主要是考查數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建直角三角形，再應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，使已知角得到轉(zhuǎn)化，即可求得BC、CD的長[參考答案].解:在Rt△BCD中 3[說明]求解時(shí)應(yīng)特別注意發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作3

x25xsin10的一個(gè)根，求cos的值（為銳角[考點(diǎn)]這是一道一元二次方程與三角函數(shù)相結(jié)合的綜合題，應(yīng)注意運(yùn)用分析法、綜合法，尋求解題途徑．[參考答案]cos 5例7：求下列各

450

；

sin600

4sin

cos300[考點(diǎn)]本例主要是考查特殊角的三角函數(shù)值，注意sin90°=1[參考答案]（1）3（2） （連結(jié)CE．求sinACE和tanACE[考點(diǎn)]本例主要是考查角的三角函數(shù)值的定義及在四邊形中應(yīng)用EEFACFF∵四邊形ABCD是正方形 FBAD90D90,AC平分ADDC∴CAD45，AC1

∴AEDE

12設(shè)AEDEx，則ADDC2x，AC22x，CE Rt△AEFEFAEsinCAD

x，AFEF222

x．……2222CFACAF22x 2x 2x 3 2∴sinACEEF2 tanACEEF

2x22x 3

10 41 5 2宣傳條BC，F(xiàn)處，看條幅頂B，測得仰角為30.再往條幅方20米到達(dá)點(diǎn)E處，看條幅頂端B，測得仰角為60，求宣傳條幅BC的長.(的身高不計(jì)，結(jié)果321米;可能用到的數(shù)據(jù)1.73,1.4132[考點(diǎn)]主要解直角三角形中仰角俯角的應(yīng)320=10173到燈塔的東偏南60°的方向，畫出船的航行方位圖，并求出船的航行速度．[考點(diǎn)]主要解直角三角形中方向角的應(yīng)NPBC且有PB⊥AC，ANPBCAB＝PB＝AP ＝k k BC＝PBA ＝ k 2 k22

6k32

6k632 6可知船的航行速度為v 32 第二部分：銳角三角函數(shù)的應(yīng)用例11．，設(shè)A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處，正以每小200km的速度沿北偏60°BF移動500km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影仰角為60；爬到樓頂D處測得大樓AD的高度為18米，同時(shí)測得[考 ]主 解直角三角形中仰角俯角的應(yīng)3解:BE=xRt△BDE中，∵tan30BE，∴x3

．∴DE=3x3x3x∵tan60BC，

例2（08年平谷一模）17．，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算回答：身高1.78米，她乘電梯會有碰頭嗎？ 0.45cos270.89，tan270.51[考點(diǎn)]主要解直角三角形中仰角俯角的應(yīng)解：作CDACABD則∠CAB27 1在Rt△ACD中 2

·4二、綜合問題

二樓 4m 一 例 236 1.414 1.732 2.449236[考點(diǎn)]主要解直角三角形中坡度、坡腳、坡距的應(yīng)AFABsin45

1022222BFAF 23EFAFtan60102 1063BEEFBF

6

2)10(2.4491.414)10.4（米62 62 DA418.已知：如圖5，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=120°，AD=5，CD=6，tanB=3，求：梯形ABCD的面積DAC解：過DDM⊥BC于M，過AAN⊥BC于N則∠DMC=∠ANB=90°∴四邊形ANMD3333 Rt△ABN,(535(535 3)3393

設(shè)AN=3k3 3 舉，關(guān)鍵是掌握這種處理實(shí)際問題的思路，達(dá)到舉一反三的效果，不管題目背景如何變化，但它萬變不離其宗，只要有了這種方法，任何問題都可以迎刃而解．三．適時(shí)訓(xùn)練（一）精心選一選AC=6,則sin∠ABD的值為 23

3

3

2

3，

3，

3，-

，- 每周一學(xué)校都要舉行莊嚴(yán)的升國旗儀式，讓感受到了國旗的神圣．某同學(xué)站在離的目高1.6米，則旗桿的高度約為（）A．6.9米B．8.5C．10.3D．12.0某地夏季中午，當(dāng)移到屋頂上方偏南時(shí)，光線與地面成80°，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安裝一個(gè)水平擋光板AC，（如6所示AC的寬度應(yīng)為（）

如圖,測量在山腳A處測得山頂B的仰角為45°,沿著傾角為30°的山坡前進(jìn)1到達(dá)D處,在D處測得山頂B的仰角為60°,則山的高BC大約是(精確到 366.00m;B.1482.12m;C.1295.93m;D.160°，CD（ 8（08年西城二模）.在RtABC中C

,cosB=（5 9（07年昌平一模）5.三角形在正方形網(wǎng)格中的位置，則的值是 B. C.D.10（07年昌平二模）7ABCAB12 312sinA2

cosB

0，則C 5A．D．345512.如圖,P的海拔高度,M點(diǎn)作為觀測點(diǎn),從M點(diǎn)測量山頂P的仰角(視線在水平線上方,與水平線所夾的角)為30°,在比例尺為1:50000的該地區(qū)等高線地形圖上,量得這兩點(diǎn)的圖上距離為6cm,則山頂P的海拔高度為()732m;B.1982m;C.3000m;D.3如圖2，假設(shè)赤道上一點(diǎn)D在AB上，∠ACB為直角，可以測量∠A的度數(shù)，則AB等于 cos

cos

sin

sin A

C、800 D、800

（二）細(xì)心填一填

45272 2723如圖2所示，光線與地面成60°角，一棵傾斜的大樹與地面成30°角， 約為10米，則大樹的高約 （

2≈1.41，3≈1.73）17 后想自主創(chuàng)業(yè)搞大棚蔬菜種植，需要修一個(gè)如圖3所示的育苗棚，棚寬a=3m，棚頂與地面所成的角約為30°，長b=9m，則覆蓋在頂上的塑料薄膜至少3 322（073. 2 則ΔABC三個(gè)角的大小關(guān)系 。答案：三、認(rèn)真答一答如圖,在△ABC中,ADBC邊上的高,tanB=cos∠DAC.若sinC=,BC=12,求AD的長答案.(1)證明:在Rt△ABD和Rt△ADC中,∵tanB=,cos∠DAC=,又 (1)知BD=AC=13k,∴13k+5k=12,解得k=,23．.已知,如圖,A、B、C三個(gè)村莊在一條東南的公路沿線上,AB=2km.在B村的正北方向有一個(gè)D村,測得∠DAB=45°,∠DCB=28°,今將△ACD區(qū)域進(jìn)行規(guī)劃,除其中面積為0.5km2的水塘外準(zhǔn)備把剩余的一半作為綠化用地試求綠化用地的面積.(結(jié)果精確到答案:在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°,在Rt△BCD中,∵cot∠ ,∠DCB=28°,∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28∴S△ACD=AC·BD≈5.76(km2).∴S綠地≈2.6km2.答:綠化用地的面積約為24．我市某區(qū)為提高某段海堤的防海潮能力,96m的一堤段(原海堤的橫斷面如圖中的梯形ABCD)的堤面加寬1.6m,背水坡度由原來的1:1改成1:2,已知原背水坡長AD=8.0m,求完成這一工程所需的土方,要求保留兩個(gè)有效數(shù)字.(注:坡度=坡面與水平面夾角tan∠DAH=1:1=1,,∴AH=DH=tan∠F=EG:FG=1:2,,=+1.6, F翻折梯形ABCD，使點(diǎn)C重合于點(diǎn)A，折痕分別交邊CD、BC于點(diǎn)F、E，若AD=3， ADF 1過DDM⊥BCBCM∴∵等腰梯形 2 ∴ 3 4 在△BAE中 5 100C處，測得ACB68.（1）求所測之處的河寬（sin680.93,cos680.37,tan682.48.22（1）RtBAC中ACB68ABACtan681002.48248（米BD⊥ABCOBCOB答案（1）證明:如圖,AO并延長交⊙OE,BE,COB∴ COB∵∠E=∠C, ∴∠EAB+∠BAD∴AD是⊙O的切 25∵AE=2AO=6, 5AE2∴AE2

3∵∠E=∠C=∠BAD,∴cosBAD∴ABBE

4 425 ∴AD12 55B到DCAE 在小亭子和一棵小樹的B到DCAE°B的仰角∠BAC＝60D的仰角∠DAE＝45°23 1.41 23∴∵ 1ACE的中點(diǎn) 23∴tanBACBC3

33 43 5COB求證：PD是⊙OCOB3 ，求PD的長 1∴弧CD=1∴12 PAB∵2

PCD1E2OPCD1E2O2∴PABBOD 1 即∴PD是⊙O的切 2∵AB為⊙O∴∠ACB∴PDCE，∠CED 3∴EB= 4在Rt△ABC中 =∴cosA 3∵AC=6,cosA 5∴AB=10∴BC=8∴CE=PD=2

BC 5已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AC、BC為弦，點(diǎn)P為一點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線AB對稱時(shí)（如圖①），求PC長；（2）當(dāng)點(diǎn)P為 求PC長．答案：(1)在⊙O中，如圖①∵AB是直徑，∴∠ACB＝90P與點(diǎn)CAB對稱,CD＝DP．∴由三角形面積得CDABAC6

∵AB＝10ACBC34，∴由勾股理求得AC＝6，BC＝8．∴CD＝ 4.8．∴PC＝2CD＝9.6．(2)過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，連結(jié) 2＝BE＝ ∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠BEC＝90°，tan∠P=an∠A．∴ 2626222．∴EP

ACBE

22 22 P處，測得點(diǎn)C的仰角為45，已知OA1001（即tanPAB1）O PPE⊥OBPF⊥CO于點(diǎn) 1∴PFOE為矩形Rt△AOC中3 3（米 2∵tan∠PAB=PE 3PE=OF=x∴FC=OC－OF=1003∴ 分3∴1002x100 x，x100(31)（米）.333答：電視塔 高為 米，點(diǎn) 到 距離為100(333米 5COD求證：BE為⊙OCOD12

1AB⊥BE.∴BE是⊙O的切 2（2）∵M(jìn)CD∴CM=12

=12∴3∴

=123 32∵CM⊥AB∴AMCM ∴CM2AMBM∴32AM32 4∴AB=AM+BM=6+3 5 即：⊙O的直徑的長為152633（08年大興區(qū)二模）17.如圖,電線桿AB直立于地面上，它的 恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD與地面成45角，A60，CD4m，BC(4 22)m，則電 62答 266

.32中，∠E=30°，所以AB=BEtan30°=66 323

（m）.∴電線桿AB62米34（本題滿分5分）AB是半⊙OACAB30°的角ACCD若OA2AC長 ∠ACB=90Rt△ABC

332333AC=3在B鎮(zhèn)的北偏西30方向．C鎮(zhèn)周圍20km的圓形區(qū)域內(nèi)為保護(hù)區(qū)，有關(guān)部門3 3 答案：作CDABD，由題意知：∠CAB30∠CBA∠ACB90∠DCB30．Rt△ABCBC1AB30．在Rt△DBC=15=15 1533CDBCcos3032

36.如圖，已知等邊△ABCBCAB、AC分別交于點(diǎn)DE。過D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F.（1）判斷DF與圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；FDFDE O21題圖答案：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，tanB4，∠ACB=4503過點(diǎn)A作AE⊥BC于EAF∥DC,交BC于F.在Rt△AEB中∠AEB=90, tanB= tanB4AE=4AE=4x, C AE2BE2AB2∴(4x)2(3x)2 C,Rt△AEF中,∠AEF=90由勾股定理得AF25∴DC2537（08年房山區(qū)一模）在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測一條河的寬．，（參考數(shù)值：tan595tan313sin311 DA東答案：過點(diǎn)C作CD⊥AB于D．---------1DA東設(shè)Rt△BCD中,∠CBD=45 2Rt△ACD中,∠DAC31 ∵tanDAC3 4 20∴x答：這條河的寬度約為30米 519（EBFOD如圖，△DEC內(nèi)接于⊙O，AC經(jīng)過圓心O交O于點(diǎn)BAC⊥DEF，AD、BE，若sinA1，∠EBFOD2 若OR2，試求CE答案：（1）連接OD 1∵BED30AOD60∵sinA2∴∠A=∴∠A+∠AOD=∴∠ADO=∴AD是⊙O的切線 2BC為OACDECECD 3BC是OBEC90BED30DEC60△DCE是等邊三角形 4BC∴∠EDC=∴∠EBC=在Rt△BECsinEBCCE333CEBCsin6032

5B39（08年豐臺區(qū)一模）AB點(diǎn)處有人求救，便立即派三名救生員前去營救．1A點(diǎn)直接跳入海中；2號救生員5米/2米/秒，∠BAD=45°，請你通過計(jì)算說明誰先到達(dá)營救地點(diǎn)B．B2∴2

AD200 AB

BD＝ADtan45200．在△BCD中，CD20050150BD2BC BD22220022

（秒 35025010125135（秒 20020040100140（秒 4 2135140 2 5觀察，測得銀杏樹頂部A30°、底部B45°.AB（1米）（32 1.73213024545ABDCDB 1∴CD=BD 2RtACMtan13∴AMCMtan3018333

3 AEFAC12453ACMABAMBM18AEFAC12453ACMAB28（米 541（07年昌平二模）24．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，DBCA條件不變，探索（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請?zhí)剿麝P(guān)于AF、BE的比值.AAAF 答案：（1）結(jié)論 112

BC AFE∵AFE∴BDE 3RtAEFEF2AE2AF

EF2BE2FC 6（3（1） 7∴∠3+∠5==90°，AE153AE153DFCBDE∽∴∠B=∠