18狹義相對論習(xí)題精選解析版

探18狹義相對論習(xí)題精選（解析版）一、 狹義相對論的兩條基本假設(shè)?經(jīng)典的相對性原理一速度的合成法則?光的傳播與經(jīng)典的速度合成法則存在矛盾，狹義相對論提出的兩條基本假設(shè)是：相對性原理與光速不變原理。3?“事件”概念是理解同時的相對性的基礎(chǔ)， “地面上認(rèn)為同時的兩個事件，對于沿著兩個事件發(fā)生地的連線的觀察者來說，更靠前面的那個事件發(fā)生在先”要記住這個結(jié)論。二、 時間和空間的相對性1?相對論速度變換公式:22.相對論質(zhì)量公式:3.質(zhì)能方程：E=mc2224.相對論動能：Ek二E-Eo=mc-m°c一.例題1.S系中平面上一個靜止的圓的面積為 12cm在S?系測得該圓面積為多少？已知S?系在t=t=0時與S系坐標(biāo)軸重合，以-0.8c的速度沿公共軸x-x運動。解：在s?系中觀測此圓時，與平行方向上的線度將收縮為而與垂直方向上的線度不變，仍為 2R,所以測得的面積為（橢圓面積）：

S-：abS-：ab=■:Vi 2i，—i，R=nR1—2丿\27.2cm2(式中a、b分別表示橢圓的長半軸和短半軸)2.S系中記錄到兩事件空間間隔 lx=600m，時間間隔=t=810”s，而s系中記錄1=0，求s?系相對s系的速度。解：設(shè)相對速度為v,在S系中記錄到兩事件的時空坐標(biāo)分別為 (x11t1)>(x21t2)；S系由洛侖茲變換得:中記錄到兩事件的時空坐標(biāo)分別 (x1,t1)為及(x2,t2)。由洛侖茲變換得:得:=Y|(t27)-冷(X2-xj=丫也t-爲(wèi)Ax|1 c -根據(jù)題意得:.：t'=0,.：x=600m,.：t=810JS根據(jù)題意得:vc2$-pAx!nv=—At=1.2^10m/s=0.4C3.一根米尺靜止在s系中，和ox軸成30■角,如果S系中測得該米尺與ox軸成45■角,s系相對s系的速度是多少？s系中測得米尺長度是多少?解：如圖，由題意知，在S系中米尺在ox及oy方向上的投影的長度為：IXIX=ICOS30ly^lsin30 其中I=1m設(shè)在S系中測得米尺長為I,則米尺在ox,oy方向上的投影的長度為:lx-1cos45ly=lsin45即 lx=ly因為尺在oy方向上的投影長度不變即： 因為尺在oy方向上的投影長度不變即： |y=l于是有sin30',cos30'sin30',cos30'=0.81C在S系中測得米尺的長度為:cos45厘竺=0.707mcos454?宇宙飛船相對于地面以速度v作勻速直線飛行，某一時該飛船頭部的宇航員向飛船尾部發(fā)出一個光訊號，經(jīng)過At（飛船上的鐘）時間后，被尾部的接收器收到，則飛船的固有長度是多少？解：飛船的固有長度就是相對于飛船靜止的觀察者測得的飛船長度。由題意知，飛船的固有長度為L=ct5.一立方體，沿其一棱的方向以速度v運動試證其體積和密度為V=V0..1-：2和5.一立方體，沿其一棱的方向以速度》h*》h*2m0/V0。式中m0、v0為靜止質(zhì)量和體積,二v/cVV二xy右x°y0Z0證明：設(shè)立方體靜止時的長、寬、高分別以 X。、y。、Z0表示；當(dāng)立方體沿其一棱方向以速度v相對于觀察者測得立方體的長、寬、高分別為:2v1—|,y=y°,z=Z0相應(yīng)的體積為:2丿質(zhì)量為 m=—于是密度：p_m_m0 1 _y2m0.1「2 V0 ,1「2 一 ￡—火箭的固有長度L,相對于地面作勻速直線運動的速度為 v!，火箭有一個人從火箭的后端向火箭前端的一個靶子發(fā)射一顆相對于火箭的速度為 v2的子彈，問在火箭上測得子彈從射出到擊中靶子的時間間隔是多少？解：由題意火箭上發(fā)射的子彈從發(fā)射到擊中靶子所前進(jìn)的距離為火箭的固有長度 L,于是子彈前進(jìn)L距離所需時間就是所求的時間間隔

—個0.8c速度運動的粒子，飛行了3m后衰變，該粒子存在了多長時間？與該粒子一起運動的組系中來測量，這粒子衰變前存在了多長了時間？解：設(shè)與粒子一起運動的坐標(biāo)系為 S?系，S系相對于S系運動速度偽0.8C。由題意知，該粒子存在的時間 過（S系中測量）就是該粒子在 S系中飛行3m所需的時間。心法兒251汽如果在S系中來測量，則粒子衰變前存在的時間■:t'（固有時間）為：.譏’—龍1-8.在8.在6000m的高層大氣中產(chǎn)生了一個具有210"6s平均壽命的介子，該介子以0.998c的速度向地球運動，它衰變前能否到達(dá)地面?

解：考慮相對論效應(yīng)，以地球為參考系，丿介子的平均壽命:的速度向地球運動，它衰變前能否到達(dá)地面?

解：考慮相對論效應(yīng)，以地球為參考系，丿介子的平均壽命:t二 二31.610St二 二31.610S其中t。=210“Sv二0.998C則」介子的平均飛行距離為:=9.46km所以J介子的飛行距離大于高度（60000m），它衰變以前能到達(dá)地面。V0=0.8c （c為真空中光速）9.一艘宇宙飛船的船身固有長度為 V0=0.8c （c為真空中光速）的速度在一觀測站的上空飛過。（1） 觀測站測得飛船的船身通過觀測站的時間間隔是多少?（2） 宇航員測得船身通過觀測站的時間間隔是多少？解：（1）觀測站測得飛船船身的長度為：--54m 則所求的時間為固有時間也亠=2.2510飛V0（2）宇航員測得船身通過觀測站的時間間隔（2）宇航員測得船身通過觀測站的時間間隔氏1=3.7510乜tt=2秒鐘；而10.在慣性系S中，有兩事件發(fā)生于同一地點且第二事件比第一事件晚發(fā)生在另一慣性系s?中，觀測第二事件比第一事件晚發(fā)生 ：t'=3秒鐘。那么在s系中發(fā)生兩事件的地點之間的距離是多少？解：令S?系與S系的相對速度為v，有.：t=?■:t.：t=?■:t2由此得V=Cr：1— 'I8=2.2410m/s那么在S系中測得兩件事之間的距離為：X=x2-x1由洛侖茲變換得：上辻C2=-6.70108m其中式中負(fù)號表示x式中負(fù)號表示x2::x111.S慣性系中觀測者記錄到兩事件的時間間隔分別是X2-X!=600m和t1t1-t2=810Js，為了使兩事件對相對于s系沿正X方向勻速運動的s系來說是同時發(fā)生的,s?系必需相對于s系以多大的速度運動？證明：設(shè)兩系的相對速度為v，根據(jù)洛侖茲變換:由題意：)=0)=012.一個粒子總能量為6103MeV，動量為3103MeV/c它的靜止能量是多少?解：由相對論的動量與能量關(guān)系式:E2解：由相對論的動量與能量關(guān)系式:E2=m°c22P2C2得:E。=m°c2=VE2—(PCf由此得E。=m°c2=5.20><103MeV13.一個電子從靜止加速導(dǎo) 0.1c的速度需要作多少功？速度從0.9c加速到0.99c又要作多少功？解：根據(jù)功能原理，要作的功根據(jù)相對論能量公式

：E=m2c2-m1c2mmo根據(jù)相對論質(zhì)量公式m1=m0,m2Vi1—v2VIc丿=0,v2=0.1C時2m°c一I

lc丿1_m0c2=4.1210」J2.5810；eV（采用經(jīng)典功能公式 W m0v2_O=4.1O10J6J,現(xiàn)當(dāng)v=0.1e時仍可近似采用經(jīng)典公式計算）v1=0.9C,v2=0.99C(2)當(dāng)=3.93102.46106eV14?設(shè)某微觀粒子的總能量是它靜止能量的

解：根據(jù)相對論的動量與能量關(guān)系：k倍，問其運動速度的大小是多少?mc2=km0c2?v kJk2-1所以:由此得2m°c | 2km°cv K2-1Kv滿足什么條件下粒子的動量等于非相對論動量的兩倍;15.（1）在速度（2）v滿足什么條件的粒子的動能等于它的靜止能量。解：（1）由題意得:m°v0=2m°v/_.c由此得22⑵根據(jù)質(zhì)能關(guān)系式： E=mc=m°cEk 有Ek22=me-m°c由題意知:Ek22=me-m°c由題意知:于是222m0cmcm0c由此得16.在參照系S中，有兩個靜止質(zhì)量都是mo的粒子A和B,分別以速度v沿同一直線相向運動，相碰后合在一起成為一個粒子，求其靜止質(zhì)量 M0？解：由動量守恒定律有：ImAvA-mBvB=Mv因為mA=mB=mAvvB=v所以v=0合成粒子是靜止的即M （M表示合成粒子的靜止質(zhì)量）由能量守恒定律得：一勻質(zhì)矩形薄板，在它靜止時測得其長為 a,寬為b，質(zhì)量為mo，由此可算出其面積密度為匹。假定該薄板沿其長度方向以接近光速的速度 v作勻速直線運動，此時再測算該矩ab形薄板的面積密度則為多少？解：當(dāng)薄板以速度v沿其長度方向勻速直線運動時，相對于板靜止的觀察者測得該板的bb，此時板的質(zhì)量則該板的面積密度為：m m則該板的面積密度為：m m0 11 moI ! ab在實驗室中觀察到宇宙射線一介子的壽命是它的固有壽命的知該介子的靜止質(zhì)量為m0)8倍，求該介子的動能。(已解：由t=t0解：由t=t0/.J-V2C2=8to得1”v2_C2=8相對論動能:22=mc—22=mc—m0c2—m°c=8m0c2-m0c2=7m0c21905年愛因斯坦提出了狹義相對論，狹義相對論的出發(fā)點是以兩條基本假設(shè)為前提的,這兩條基本假設(shè)是 D同時的絕對性與同時的相對性運動的時鐘變慢與運動的尺子縮短時間間隔的絕對性與空間距離的絕對性相對性原理與光速不變原理20?地面上A、B兩個事件同時發(fā)生。對于坐在火箭中沿兩個事件發(fā)生地點連線飛行的人來說，哪個事件先發(fā)生？解答：地面在向火箭運動，從閃光發(fā)生到兩閃光相遇，線段中點向火箭方向了一段距離，因此閃光B傳播的距離比閃光A長些，既然兩個閃光的光速相同，一定是閃光B發(fā)出的早一些。21.一列火車以速度V相對地面運動，如果地面上的人測得，某光源發(fā)出的閃光同時到達(dá)車廂的前壁和后壁，那么按照火車上人的測量， 閃光先到達(dá)前壁還是后壁？火車上的人怎樣解釋自己的結(jié)果？解答：火車上的人測得，閃光先到達(dá)前壁，由于地面上的人測得閃光同時到達(dá)前后兩壁，而在光向前后兩壁傳播的過程中， 火車要向前運動一段距離，所以光源發(fā)光的位置，一定離前

壁較近，這個個事實對車上、車下的人都是一樣的。各方向的光速又是一樣的，當(dāng)然閃光先到達(dá)前壁。在車上的人看來既然發(fā)光點離前壁較近,后\.壁較近，這個個事實對車上、車下的人都是一樣的。各方向的光速又是一樣的，當(dāng)然閃光先到達(dá)前壁。在車上的人看來既然發(fā)光點離前壁較近,后\. 1li'f,/光源22.A、B、C三個完全相同的時鐘,A放在地面上，BC分別放在兩個火箭上,以VB和Vc朝同一方向飛行，Vb:::Vc,D地面上的觀察者認(rèn)為哪個時鐘走得最慢？哪個走得最快?解答：地面上的觀察者認(rèn)為 C鐘走得最慢，因為它相對于觀察者的速度最大，根據(jù)公式At 可知，相對于觀察者的速度V越大，其上時間進(jìn)程越慢，地面鐘v=o,它記1-（v）2錄的時間間隔最大，即地面鐘走得最快。3 _123.飛船以v=910ms（32400km/h）的速率相對地面飛行。飛船上的鐘走了 5秒,問用地面上的鐘測量經(jīng)過了幾秒?解:./910解:./9103.(3108二5.000000002s以8km/s以8km/s的速度運行的人造衛(wèi)星上，一只完好的手表走過了過這1min"實際”上花了多少時間？1min,地面上的人認(rèn)為它走答:(8103310答:(81033108)2min=(13.610J0)min（08江蘇卷）慣性系S中有一邊長為I的正方形（如圖A所示），從相對S系沿x方向以接近光速勻速飛行器上測得該正方形的圖象是 ▲.（C）觀察者測得火箭的長一支靜止時長30m的火箭以3km/s的速度從觀察者身旁掠過，觀察者測得火箭的長度應(yīng)為多少？火箭上的人測得的長度是多少？如果火箭的速度為光速的二分之一呢?解答：在火箭上測量認(rèn)為火箭是靜止的，測得的長度仍為 「=30m在兩種情況下，地面觀察者測得的長度分別為ze（：）2=30;-（3加心0心io11）m|2=|0、1-(v)2=30.1-(0.5c)2m26mk倍?則粒子運動時的質(zhì)量等于其Vc Vck倍?則粒子運動時的質(zhì)量等于其（08海南卷）設(shè)宇宙射線粒子的能量是其靜止能量的靜止質(zhì)量的倍,粒子運動速度是光速的(k,Jk靜止質(zhì)量的倍,粒子運動速度是光速的(k,Jk2_1)k-m°得m°得m得 1_(V)2 m0c■1-1<:)2"28.兩個電子相向運動，每個電子對于實驗室的速度都是28.兩個電子相向運動，每個電子對于實驗室的速度都是里C,它們的相對速度是多少？在5C和電子的靜質(zhì)量C和電子的靜質(zhì)量m不必代入數(shù)值.解：設(shè)在實驗室中觀察，甲電子向右運動，乙電子向左運動、若以乙電子為“靜止”TOC\o"1-5"\h\z'參考系，即O系，實驗室（記為O系）就以上C的速度向右運動，即O系相對于O系的速5' '4度為v二一C（圖-4）.甲電子相對于O系的速度為u=—C.這樣，甲電子相對于乙電子的\o"CurrentDocument"5速度就是在O系中觀測到的甲電子的速度u，根據(jù)相對論的速度合成公式，這個速度是44u+vu= 「11 2c\o"CurrentDocument"二c』c

V4 4 41u+vu= 「11 2c\o"CurrentDocument"5 5m^2=km0v"c X在實驗室中觀測，每個電子的質(zhì)量是ckk2-1

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2 3上題中，在實驗室觀測，兩個電子的總動能是多少？以一個電子為參考系，兩個電子的總動能又是多少？計算時由電子運動時的能量減去靜止時的能量就得到電子的動能.解：在實驗室觀測，兩個電子的總動能為/22曰/22曰=2(me-mee)=2x(5mec322-mec)=1.3me相對于乙電子，甲電子的質(zhì)量是mme因此，以乙電子為參考系，甲電子的動能為 ：—/222Ek2=me-mee=4.56me.物理學(xué)的研究常常要利用高速粒子的相互撞擊. 通過這個習(xí)題我們看到，為使相互碰撞的粒子達(dá)到一定的相對速度， 同時加速兩束粒子，使它們迎頭相撞，這樣所需的能量要比只加速一束粒子，用它去轟擊靜止的靶所需的能量少， 因而在技術(shù)上容易實現(xiàn). 這就是為什么有時候人們使用粒子對撞機，而不用普通加速器的原因.正負(fù)電子對撞機中，電子和正電子以速度0.90正負(fù)電子對撞機中，電子和正電子以速度0.90e相向飛行，如圖（下圖）所示它們之間相對速度為多少?解取對撞機為s系，向右運動的電子為S?系，于是有UxUx八0.9e,v=0.9cUx為正電子在S系中的速率,v為S系相對s系的速率，則正負(fù)電子相對速度為u-ux—vxu-ux—vxg?！?0.994cuxv1-x1_(-0.9c)0.9cV=0.9cV=0.9c V=0.9cl ? * 設(shè)一質(zhì)子以速度v=0.80c運動。求其總能量、動能和動量。解從表16-1知道，質(zhì)子的靜能量為E解從表16-1知道，質(zhì)子的靜能量為Eo2二m°c=938MeV，所以，質(zhì)子的總能量為E二mc2mE二mc2m°c93822、1/2(1-V/c)(1-0.82)1/2MeV1563MeV質(zhì)子的動能為Ek二質(zhì)子的動能為Ek二E-m°c二1563MeV-938MeV二625MeV質(zhì)子