彈性力學(xué)第五章

第五章線彈性體的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)變能和本構(gòu)關(guān)系§

5

-

1§

5

.

2§

5

.

3§

5

.

4§

5

.

5廣義

定律各向異性彈性體各向同性彈性體余能密度第五章線彈性體的本構(gòu)關(guān)系前面已進(jìn)行了應(yīng)力分析和應(yīng)變分析，導(dǎo)出了平衡方程和幾何方程。但是，在一般情況下，僅有平衡方程和幾何方程還不能解決實(shí)際問題。例如，對(duì)兩個(gè)材料不同，但形狀相同的物體，在相同的約束和相同的外力作用下，它們的位移和變形是不同的。因此，要解決實(shí)際問題，還需要研究材料性質(zhì)。反映材料性質(zhì)的應(yīng)力、應(yīng)力變化率等和應(yīng)變、應(yīng)變率等之間的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系或本構(gòu)方程。由于材料性質(zhì)極其復(fù)雜，要找出適合于任何連續(xù)介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系是不可能的，甚至要找到適用于同一種連續(xù)介質(zhì)在任意變形情況下的本構(gòu)關(guān)系也是不可能的。事實(shí)上，在大部分連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，只研究一些理想的本構(gòu)關(guān)系。不同的理想本構(gòu)關(guān)系有不同的適用范圍。在本書中，不考慮熱效應(yīng)，且只

在小變形情況下適用的線性彈性本構(gòu)關(guān)系——廣義

定律。(5.1)§

5-1

應(yīng)變能和本構(gòu)關(guān)系下面

可以不計(jì)熱效應(yīng)的準(zhǔn)靜態(tài)變形過程。所謂準(zhǔn)靜態(tài)變形過程是指任意時(shí)刻的速度和加速度都小到可以忽略不計(jì)的過程。準(zhǔn)靜態(tài)變形過的動(dòng)能為零。設(shè)位移有一增量，與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?cè)隽繛閂

V

ijijdV

WdVV

V2ij

1

(ui,

j

u

j

,i

)(a)(5.2)s

V設(shè)ui為虛擬位移，依據(jù)虛功原理可知，外力在虛位移上所做的虛功為Ti

uids

fi

ui

dV

ijnj

uids

fi

uidVV

(ij,

jV

fi

)uidV

ij

ui,

jdVs

V

(ij

ui

),jdV

fi

uidV由式（2.74）可知其中：W

ijij單位體積中內(nèi)力所做的虛功，即應(yīng)變能密度增量。在式(5.1)的計(jì)算中，利用了平衡方程(4.12)、(4.17)及式(4.19)和關(guān)系(a)。式(5.1)表明，外力所做的功等于內(nèi)力所做的功。δ

W

是單位體積中內(nèi)力所做的功。彈性變形是一個(gè)沒有能量耗散的可逆過程。外力在準(zhǔn)靜態(tài)過所做的功全部轉(zhuǎn)化為由于變形而在彈性體內(nèi)的能量，這種能量稱為應(yīng)變能。不管按什么路徑或順序卸載，卸載后物體恢復(fù)到未變形的初始狀態(tài)，應(yīng)變能全部出來。因此，應(yīng)變能是狀態(tài)函數(shù)，單位體積中的應(yīng)變能即應(yīng)變能密度是狀態(tài)變量應(yīng)變的單值函數(shù)。因?yàn)閼?yīng)變能等于外力所做的功，所以式(5.1)的最右邊內(nèi)力所做的功就是應(yīng)變能的增量，δ

W

是應(yīng)變能密度的增量。由于應(yīng)變能密度是應(yīng)變的單值函數(shù)，故δ

W

必定是全微分，即dW

ijdijij(5.3)ij

dijW

0(5.4)從式(5.3)或(5.4)，可得(5.5)ijij

WWdV

0V(b)(5.5)ij上式稱為

(Green)公式。只要已知應(yīng)變能密度的具體函數(shù)形式，就可用Green公式求出應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系，即彈性材料的本構(gòu)關(guān)系。把無應(yīng)變的自然狀態(tài)作為加載前物體的平衡狀態(tài)，并假定這一自然狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。加載后的平衡狀態(tài)稱為變形狀態(tài)或干擾狀態(tài)。根據(jù)穩(wěn)定平衡狀態(tài)的定義可知，在準(zhǔn)靜態(tài)變形過

，從穩(wěn)定的平衡狀態(tài)到相鄰的變形狀態(tài)，外力必須做正功。從式(5.1)得ij

W由于V可以是任取的體積元，所以上式要求δ

W

＞0

。令自然狀態(tài)的應(yīng)變能為零，則變形狀態(tài)的應(yīng)變能密度必正定，即(5.6)W

0上式中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ε為零時(shí)成立?！?/p>

5

.

2

廣義

定律在應(yīng)變很小的條件下，在ε

ij

=

0

附近把應(yīng)變能密度按Taylor級(jí)數(shù)展開，并略去ε

i

j

二次以上的項(xiàng)2W

c

bijij

1

Eijkl

ij

kl(5.7)其中c

W

0ijijijij

0b

W(a)ijklij

klij

02W

E

(b)由于V可以是任取的體積元，所以上式要求δ

W

＞0

。令自然狀態(tài)的應(yīng)變能為零，則變形狀態(tài)的應(yīng)變能密度必正定，即因?yàn)槿o應(yīng)變狀態(tài)時(shí)的應(yīng)變能密度為零，則(a)式中的第一式要求

c=0。把式(5.8)代入式(5.5)，并利用式(5.8)，得2Wij

kl2W

ji

kl2Wij

lk2Wkl

ij所以，根據(jù)式(b)的定義，有(5.8)Eijkl

Ejikl

Eijlk

Eklij顯然bij是無應(yīng)變時(shí)的初應(yīng)力。按無初始應(yīng)力假定，應(yīng)取bij=0，所以式(5.9)和(5.7)可簡(jiǎn)化成2ijij

W

bij

1

(Eijklkl

Eklijkl

)

bij

Eijklkl(5.9)ij

EijklklW

1

Eijklijkl

1

ijij(5.10)(5.11)2

2式(5.11)表示應(yīng)力是應(yīng)變的線性函數(shù)，這一本構(gòu)關(guān)系稱為廣義(Hooke)定律。式(5.11)和商法則表明，Eij是一個(gè)四階張量，稱為彈性系數(shù)張量或彈性模量張量。一般的四階張量有81個(gè)獨(dú)立的分量但是，對(duì)最一般的線性彈性材料，由于有對(duì)稱性關(guān)系（5.9），四階彈E性模量張量只有21個(gè)獨(dú)立的分量。對(duì)均勻彈性體，彈性模量張量E是和空間位置r無關(guān)的常張量。但對(duì)非均質(zhì)彈性體，張量E是空間位置即矢徑r的函數(shù)。對(duì)線彈性材料，式(5.12)表明應(yīng)變能密度W是應(yīng)變?chǔ)?/p>

的二次型，而且前一節(jié)的結(jié)論要求W是ε

的正定二次型利用W的正定性，可以證明式(5.10)是可逆的，即可以用應(yīng)力來表示應(yīng)變ij

Cijkl

kl(5.12)其中Cijkl稱為柔度系數(shù)張量，它也有類似于式(5.8)所表示的對(duì)稱性如果材料在各個(gè)方向的性質(zhì)不相同，

就說這種材料是各向異性的。對(duì)

各向異性彈性體，上一節(jié)已經(jīng)證明只有21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。對(duì)工

的對(duì)稱性。下面將用到的材料而言，或多或少存在一些材料性質(zhì)幾種常見的各向異性彈性體。為敘述方便起見，把本構(gòu)關(guān)系(5.10)改寫成如下形式?！?/p>

5.3

各向異性彈性體(5.13)

C22

y

C23

z

C14

xy

C15

yz

C16

zx

C24

xy

C25

yz

C26

zx

x

C11x

C12

y

C13z

y

C21

xz

C31x

C32

y

C33

z

C34

xy

C35

yz

C36

zx

yzxy

C41

x

C42

y

C43

z

C44

xy

C45

yz

C46

zx

C51x

C52

y

C53

z

C54

xy

C55

yz

C56

zxzx

C61x

C62

y

C63

z

C64

xy

C65

yz

C66

zx其中C11=E1111,C12=E1122,C14=E1112,等。由于Eijkl=Eklij,故Cij=Cji。注意，Cij不是一個(gè)二階張量。xx

x

x

y

xy

y

y

y

zx

xyzz

z

z

xzx

(a)y

xy

y

y

z

z

yz

yz

zxzx

(1)

具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體如果存在一個(gè)平面，沿和該平面垂直的兩個(gè)方向具有相同的彈性，則該平面稱為彈性對(duì)稱面，而與其垂直的方向稱為彈性主方向。設(shè)xy平面為彈性對(duì)稱面，z軸方向就是主方向。把z軸反向即作坐標(biāo)變換x

′=x

，

y′=y，z′=－z，則在新坐標(biāo)系中的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?b)xy

41

x

42

y

43

z

44

xy

45

yz46

z

x

C

C

C

C

C

C62

y

C63z

C64

xy

C65

yz

C66

zx

x

C11x

C12

y

C13z

C14

xy

C15

yz

C16

zx

y

C21

x

C22

y

C23

z

C24

xy

C25

yz

C26

zx

C

yz

C51x

C52

y

C53

z

C54

xy

C55

yz

C56

zxzx

C61x(c)

C

C

C

C

C

C

z

31

x

32

y

33

z

34

xy

35

yz

36

zx把式(a)和(b)代入式(5.13)，得由于軸的z軸正負(fù)兩個(gè)方向的彈性相同，因此在上述坐標(biāo)變換前后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(5.13)和(c)應(yīng)該相同。故必有C15

C16

C25

C26

C35

C36

C45

C46于是，獨(dú)立的彈性常數(shù)減少到13個(gè)。式(5.13)簡(jiǎn)化成(5.14)

C14

xy

x

C11x

C12

y

C13z

y

C22

y

C32

y

C23

z

C24

xy

C33

z

C34

xy

C21x

C31xzxy

C41x

C42

y

C43

z

C44

xy

yz

C55

yz

C56

zxzx

C65

yz

C66

zx(2)

正交各向異性彈性體除了xy平面為彈性對(duì)稱面外，假定xz平面也為彈性對(duì)稱面。用和上一段類似的方法，可以證明C14

C24

C34

C56

0=(5.15)32

yxy44

xy獨(dú)立的彈性常數(shù)減少到9個(gè)。式(5.14)變成x

C11x

C12

y

C13z

y

C21x

C22

y

C31x

C=

C23z

C33

z

z

C

yz

C55

yz

zx

C

66

zx若進(jìn)一步假設(shè)yz平面也為彈性對(duì)稱面，經(jīng)過和前面相同的推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系仍然是(5.15)。這一結(jié)果表明，若三個(gè)相互垂直的平面中有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，則第三個(gè)面也必是彈性對(duì)稱面。這種彈性體稱為正交各向異性彈性體。所以，獨(dú)立的彈性常數(shù)減少到6個(gè)，式(5.15)變成(d)xy(3)

橫觀各向同性彈性體若材料性質(zhì)關(guān)于某一軸（不妨設(shè)為z軸）對(duì)稱，也就是說，在和這一軸垂直的xy平面內(nèi)的任何方向具有相同的彈性性質(zhì)，或者說，xy平面是各向同性平面，則這種彈性體就稱為橫觀各向同性彈性體。顯然，xy平面和xz平面都是對(duì)稱面，故橫觀各向同性彈性體必定是一種正交各向異性體，式(5.15)仍成立。由于x方向和y方向的性質(zhì)相同，把x軸和y軸互換，式(5.15)應(yīng)該不變。由此推得C11

C22

,

C13

C23

,

C55

C66

x

C11x

C12

y

C13z44

xy

y

C21

x

C11

y

C13z

C31x

C31

y

C33

z

z

C

yz

C55

yz

zx

C

55

zx在新坐標(biāo)系中，式(d)中的第四式仍然成立，即(e)2xy

y

1

(

)

sin

2

x

xycos

2

xy

(

y

x

)

sin

2

xy

cos

2

xy

C44

xy把式(e)代入上式，得12y(

x

)

sin

2

xy

cos

2

C44[(

y

x

)

sin

2

xy

cos

2]

y

x

2C44

(

y

x

)(f)oz'zyy'x'x利用(d)中的第四式和

的任意性，上式可化成使坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)任意角度

，如圖5.1所示。根據(jù)張量的變換關(guān)系，有式(d)中的第二式的兩邊減去第一式的兩邊，得把式(h)代入式(d)，得橫觀各向同性彈性體的本構(gòu)關(guān)系如右(g)

y

x

(C11

C12

)(

y

x

)比較(f)和(g)兩式，得到4412C

(C11

C12

)y13

z

x

C11x

C12

y

C13z21

x

11

y

C

C

C

z

C31x

C31

y

C33

z

1

(C

C

)2

11

12

xy

xy

C

yz

55

yz(5.16)zx

C55

zx由此可見，橫觀各向同性彈性體有5個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。如果沿所有方向的彈性性質(zhì)都相同，則這種材料稱為各向同性彈性材料。在數(shù)學(xué)上，如果應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的分量形式和坐標(biāo)系無關(guān)，則對(duì)應(yīng)的材料必定是各向同性的。因?yàn)閤方向和z方向的彈性相同，因此把x軸和z軸互換，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系(5.16)仍應(yīng)成立。由此可推得§

5.4

各向同性彈性體5512C13

C12

,

C33

C11,

C

(C11

C12

)(a)xy

11

12

xyx

C12

(C11

C12

)x

y

C12

(C11

C12

)

y所以對(duì)各向同性彈性材料，只

有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。式(5.16)

z

C12

(C11

C12

)z

(C

C

)可改寫成

yz

(C11

C12

)

yz

zx

(C

C

)11

12

zx或用張量表達(dá)成(5.17a)yz

zx令λ=C12，μ=(C11-C12)/2,并稱λ,μ為L(zhǎng)ame()系數(shù)。式(a)可寫成xy

2xy

yz

x

2x

y

2

yz

2z

2zx

2ij

ij

2ij(5.17b)也可把上式寫成式(5.10)的形式，即(5.17c)ij

Eijklkl其中Eijkl

ijkl

(ik

jl

il

jk

)(5.18)很容易驗(yàn)證式(5.18)所示彈性模量張量在坐標(biāo)變換時(shí)不變。事實(shí)上利用式(2.17)可得Eijk

l

Eijkl

ii

jj

k

k

ll

ii

ji

k

k

lk

(ii

jj

k

i

lj

ii

jj

kj

li

)

ijkl

(ik

jl

il

jk

)在式(5.17b)中，令i=j，并求和，可得

(3

2)

3K(5.19)其中3K

2

(5.20)體積模量從式(5.17b)和(5.19)可得偏應(yīng)力和偏應(yīng)變之間的關(guān)系式(5.17)是用應(yīng)變表示應(yīng)力的關(guān)系。利用式(5.19)，從式(5.17b)可導(dǎo)得用應(yīng)力表示應(yīng)變的關(guān)系。(5.21)Sij

2eijij

1

ij

ij2

2(3

2)(5.22)考慮只在x方向簡(jiǎn)單拉伸的情況。此時(shí)，只σ

x

有不為零。式(5.22)變成x

xy

y

z

x

yz

zx

0

x(3

2)2(3

2)(b)在實(shí)用中，簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系常寫成如下形式其中E是楊氏（Young）彈性模量，υ是泊松(Poisson)比。比較式(b)和（c），得(c)xxE

y

zxE

xy

yz

zx

0E

(3

2)

,

2(

)(5.23)或

E

,

E

(1

)(1

2

)2(1

)(5.24)從式(5.22)可得剪應(yīng)力和剪應(yīng)變之間的關(guān)系xyxy

1

(d)在實(shí)用中，經(jīng)常把式(d)寫成(e)G

xy

1

xy其中G是剪切彈性模量。從式(d)和(e)可得

G(5.25)利用式(5.24)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(5.22)可化成其展開形式為x

xyzxyxyEEyzzx

1

[

(

)]

2(1

)

x

)]

yzEy

1

[

(z

yz

1

[

z

(xE

2(1

)

EE

2(1

)

y)]

zx(5.26b)E

Eij

1

ijij(5.26a)式(5.19)和(5.20)也可寫成

1

1

2

3K

E(5.27)(5.28)K

E

3(1

2

)利用式(5.17)，各向同性體的應(yīng)變能密度可具體表示成W

1

ijij

1

2

ijij2

2x

y2z2xy2yz2zx2

1

2

(

2

2

)

2(

)(5.29)應(yīng)變能密度也可用