幾何與代數(shù)：第11周第1-2次-方程組求解-特征值特征向量

Schmidt正交化、正交矩陣見第10周課件

第四章

n維向量第5節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)行變換§4.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)一.線性方程組的相容性

回憶：ARsn,bRs,對于線性方程組Ax=b,例1[A,b]階梯形[A,b]~~(1)Ax=b有解<=>

A

與

[A,b]

的非零行數(shù)相等；(2)當A

與

[A,b]的非零行數(shù)都等于n時,Ax=b有唯一解；(3)當A

與

[A,b]的非零行數(shù)(記為r)相等且小于n時,Ax=b有無窮多解,通解中含有n–r

個自由未知量.~~~~~~~~~第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)行變換§4.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)一.線性方程組的相容性

回憶：ARsn,bRs,對于線性方程組Ax=b,例1[A,b]階梯形[A,b]~~A

的非零行數(shù)=r(A)=r(A)；

~~第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)~[A,b]的非零行數(shù)=r([A,b])=r([A,b]).~~~§4.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)一.線性方程組的相容性

定理4.13.設(shè)ARsn,bRs,則(1)Ax=b有解r([A,b])=r(A);

(2)當r([A,b])=r(A)=n時,Ax=b有唯一解;(3)當r([A,b])=r(A)<n時,Ax=b有無窮多解,且通解中含有nr(A)

個自由未知量.例1第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)注：對于矩陣方程AX=B,有以下結(jié)論。AX=B

有解<=>r(A,B)=r(A)記B=(b1b2…bt).則AX=B

有解<=>A(x1

x2…xt)=(b1b2…bt)有解<=>Axj=bj

有解，j=1,2,…,t.<=>r(A,bj)=r(A),j=1,2,…,t.<=>r(A,b1b2…bt)=r(A).(思考)第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)二.齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

另外,A=A(k)=k(A)=.A=,A=A(+)=A+A=.設(shè)ARsn,Ax=的解空間構(gòu)成Rn的一個子空間：

{Rn|A=}:=K(A)

又稱其為矩陣A的核空間(零空間).稱K(A)的基為Ax=

的基礎(chǔ)解系(fundamentalsetofsolutions).定義第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)Ax=的解集{|A

=}1,2,…,s線性無關(guān)Ax=的基礎(chǔ)解系

可以由1,2,…,s

線性表示

第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)2.Ax=的一個基礎(chǔ)解系1,2,…,s

=

k11+k22+…+kss

任意數(shù)Ax=的一般解第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)例1設(shè)矩陣A

經(jīng)過一系列初等行變換可化為10130010-200000求方程組Ax=的基礎(chǔ)解系.定理4.14.設(shè)ARsn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=

沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=

有基礎(chǔ)解系,且dimK(A)=n–r.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)求解齊次線性方程組Ax=的基礎(chǔ)解系的一般步驟：A初等行變換行階梯形秩(A)<n?簡化階梯形求得通解只有零解N

初等行變換Y求得基礎(chǔ)解系第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu),第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)例2設(shè)矩陣A

經(jīng)初等行變換化為02030110-200010求Ax=的基礎(chǔ)解系.(求核空間K(A)

的基.)三.非齊次線性方程組的一般解

1.Ax

=b

的導(dǎo)出組:Ax

=.性質(zhì)1.設(shè)1,2都是Ax

=b的解,則1–2是

Ax

=的解.性質(zhì)2.是Ax

=b的解,是Ax

=的解,則

+是Ax

=b的解.2.非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì)第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)定理4.15.*——是Ax=b的一個特解1,…,nr——Ax=

的基礎(chǔ)解系A(chǔ)x=

b的通解為x=*+

k11

+…+knrnr

.第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)Ax=b的一般解3.解非齊次線性方程組Amnx=b的一般步驟[Ab]初等行變換行階梯形秩(A)=秩([Ab])?簡化階梯形求得Ax=b的特解和Ax=的基礎(chǔ)解系無解N初等行變換Y求得Ax=b的一般解第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)例3.求方程組的一般解.第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)3211-213-24174118053初等行變換3211-20-10-411100-4309初等行變換00-19/2471/20104-1-11001-3/40-9/4四.在解析幾何中的應(yīng)用

1.兩直線的相對位置A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0L1:L2:A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0記A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3A4

B4

C4,D=D1D2D3D4.第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)1.兩直線的相對位置[A,D]=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3A4

B4

C4

D4.重合相交平行異面無窮多解唯一解無解位置關(guān)系A(chǔ)x=D秩無解r(A)=r(A,D)=2r(A)=r(A,D)=3r(A)=2,r(A,D)=3r(A)=3,r(A,D)=4第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)有其它判斷方法2.三平面的相對位置1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=03:A3x+B3y+C3z+D3=0記A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3,[A,D]=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3.D=D1D2D3.第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)重合交于一線交于一點無交點無窮多解位置關(guān)系A(chǔ)x=D秩無解r(A)=r(A,D)=1r(A)=r(A,D)=2r(A)=r(A,D)=3r(A)+1=r(A,D)2.三平面的相對位置[A,D]=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3.唯一解無窮多解第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)例4

討論下列三個平面的相對位置.1:x+y+bz=3;2

:2x+(a+1)y+(b+1)z=7;3

:(1-a)y+(2b-1)z=0.其中，a,b是參數(shù).第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)注：一般來說，第一步假定只有一個交點，此時可以得到a,b的一個范圍；在剩下的范圍內(nèi)，a,b

是一些具體的取值，我們就可以通過求解對應(yīng)的具體方程組，來判斷解的情況，從而判斷平面的位置關(guān)系.例5.證明r(ATA)=r(A).證明:設(shè)A為mn的矩陣,x為n維列向量.

注意到Ax

=(ATA)x

=

同時，由(ATA)x

=xT(ATA)x

=0(Ax)T(Ax)

=0Ax

=.

故Ax

=與(ATA)x

=

同解,

因此n–r(ATA)=n–r(A).

進而得

r(ATA)=r(A).第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)K(A)=K(ATA)(A可以是一個向量)五.其它應(yīng)用例6

設(shè)A,B分別是s×n,n×t矩陣,證明：若

AB=O,則

r(A)+r(B)

≤n.(即為推論2.8)第四章n維向量§4.5方程組解的結(jié)構(gòu)第四章n維向量§4.6最小二乘解§4.6線性方程組的最小二乘解

(Leastsquaressolution)大東股份公司股票最近十天的收市價如下表所示123456718.519.620.320.519.820.621.5假定天數(shù)x與股票價格y

服從三次關(guān)系

y=ax3+bx2+cx+d將上述數(shù)據(jù)代入假定的方程中，得到七個以a,b,c,d為未知數(shù)的方程組,其未必有解！xy·······y=ax3+bx2+cx+d第四章n維向量§4.6最小二乘解Ax=b

沒有解，即Ax-b=沒有解尋求最佳近似解x0，使得：||Ax0–b||=min||Ax–b||x∈Rn即尋找x0使得||

Ax0–b||=min||a–b||a∈R(A)b假定As×n第四章n維向量§4.6最小二乘解第四章n維向量定理4.16假設(shè)V是Rs的子空間，b

∈Rs

,

∈V,則||

-b||=min||a

–b

||當且僅當a∈V-b

與V中每個向量都正交.bV§4.6最小二乘解Ax=b

沒有解，即Ax-b=沒有解尋求最佳近似解x0，使得：||Ax0–b||=min||Ax–b||x∈Rn即尋找x0使得||

Ax0–b||=min||a–b||a∈R(A)bR(A)第四章n維向量§4.6最小二乘解即尋找x0使得||

Ax0–b||=min||a–b||a∈R(A)第四章n維向量§4.6最小二乘解即尋找x0使得

Ax0–b與R(A)中的每個向量都正交R(A)=L(1

2n)定理4.16即尋找x0使得

Ax0–b與1

2n都正交,i.e.,<i

,Ax0–b>=iT(Ax0–b)

=0,i=1,2,…,n.

即尋找x0使得||

Ax0–b||=min||a–b||a∈R(A)第四章n維向量§4.6最小二乘解第四章n維向量ATAx0=ATb.該方程一定有解x0（見習(xí)題四(B)42）稱其為Ax=b的正規(guī)方程，稱其解為Ax=b的最小二乘解.§4.6最小二乘解作業(yè)習(xí)題四(B)30(1),31;32,35;

36--40

上交時間：12月4日（周二）

第5章特征值與特征向量第1節(jié)矩陣的特征值與特征向量(eigenvalue,eigenvector)平面上的二次曲線

ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0的度量性質(zhì)可以用矩陣

的特征向量來刻畫。A=abbc第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量§5.1方陣的特征值和特征向量計算An

如果存在可逆矩陣P使得

A=PDP-1，D是對角陣，則

An=(PDP-1)n=PDP-1PDP-1...PDP-1=PDnP-1第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量P=(p1,p2,…,pn),D=diag(d1,d2,…,dn)A=PDP-1AP=PDA(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn

)d1

d2dn…=(d1p1,d2p2,…,dnpn)Api=dipi,i=1,2,…,n.第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量量子力學(xué)中,矩陣代表力學(xué)量,矩陣的特征向量代表定態(tài)波函數(shù),矩陣的特征植代表力學(xué)量的某個可能的觀測值.

特征植也可以是動力學(xué)中的頻率，穩(wěn)定分析中的極限荷載，甚至應(yīng)力分析中的主應(yīng)力.在圖像的壓縮處理中，用到的奇異值分解與矩陣的特征值緊密相連.

此外，特征值在求解ODE，分析一個系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面起著重要的作用.第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量一.特征值,特征向量的概念注：對于一個特征值，其對應(yīng)的特征向量

有無窮多個.(

kη)第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量Aη=

η

n階方陣

非零向量

特征值

特征向量

對應(yīng)給定一個A，就有一個線性變換xAx，f即f(x)=Ax.

f是Rn到Rn上的線性變換，如果滿足f(x+y)=f(x)+f(y)f(kx)=kf(x),k∈R求特征值的目的：線性變換f(η)=數(shù)乘變換0η.第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量2.幾何意義設(shè)A是2×2實矩陣，則

A

可以看作是R2

上的變換.

若存在某個非零向量使得A與平行則就是A的一個特征向量.(=>A=k

),第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量

第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量

2

00

2A=OyxA

只有一些特殊的向量才能使得A與平行:一類是x軸上的向量；另一類是y軸上的向量。這些向量構(gòu)成了A的所有特征向量.

A

Oxcossin

sincos

A=y只有一些特殊的角才能使得A與平行，所以只有一些特殊的角才能使得A有實的特征值和實的特征向量.第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量

第五章特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量Aη=

η

(EA)η=0|EA|=0

特征方程

|EA|=

a11

a12…a1n

a21

a22…a2n…………

an1

an2…ann

特征多項式

特征值

特征向量

求特征值和特征向量的一般步驟：求解特征方程|E–A|=0的根0求解(0E–A)x=

的非零解(此時方程組一定有無窮多解，只需求出它的一個基礎(chǔ)解系η1,η2

,…,ηs)k1η1+k2η2

+…+ksηs即為A對應(yīng)于特征值0的特征向量(k12+k22+…+ks2≠0)第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為1=2,2=4.解之得A的對應(yīng)于1=2的特征向量為對于1=2,(2E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值為1=2,2=4.解之得A的對應(yīng)于2=4的特征向量為對于2=4,(4E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量解:|E–A|=(–2)(–1)2.

所以A的特征值為1=2,2=3=1.

對于1=2,

求得(2E–A)x=0

的基礎(chǔ)解系:p1=(0,0,1)T.

對應(yīng)于1=2的特征向量為kp1(0kR).

對于2=3=1,

求得(E–A)x=0

的基礎(chǔ)解系:p2=(–1,–2,1)T.

對應(yīng)于2=3=1的特征向量為kp2(0kR).例2.求的特征值和特征向量.第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量解:|E–A|=(+1)(–2)2.

所以A的特征值為1=–1,2=3=2.

(–E–A)x=0的基礎(chǔ)解系:p1=(1,0,1)T.

對應(yīng)于1=–1的特征向量為kp1(0kR).

(2E–A)x=0的基礎(chǔ)解系:

p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.

對應(yīng)于2=3=2的特征向量為k2p2+k3p3

(k2,k3不同時為零).例3.求的特征值和特征向量.第5章特征值與特征向量§5.1特征值與特征向量解:|E–A|=(+6)(–3)2.

例3.求的特征值.第5章特征值