2022-2023學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.5增長(zhǎng)速度的比較4.6函數(shù)的應(yīng)用二4.7數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：生長(zhǎng)規(guī)律的描述學(xué)案新人教B版必修第二冊(cè)

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B．y＝100lnC．y＝x100 D．y＝100·2x2．某商品價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較，變化的情況是()A．減少7.84% B．增加7.84%C．減少9.5% D．不增不減3．某同學(xué)最近5年內(nèi)的學(xué)習(xí)費(fèi)用y(千元)與時(shí)間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是()A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋b D．y＝alnx＋b4．計(jì)算機(jī)的價(jià)格大約每3年下降23課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1平均變化率的大小比較[數(shù)學(xué)運(yùn)算]例1已知函數(shù)f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比較這三個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，a＋1](a>1)上的平均變化率的大小．狀元隨筆計(jì)算平均變化率，再利用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大?。椒w納不同函數(shù)平均變化率大小的比較計(jì)算不同的函數(shù)在同一個(gè)區(qū)間上的平均變化率；利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小，一般選取一個(gè)中間值進(jìn)行比較，以確定平均變化率的大?。櫽?xùn)練1若函數(shù)f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0，1]上的平均變化率分別記為m1，m2，m3，則下面結(jié)論正確的是()A．m1＝m2＝m3 B．m1>m2>m3C．m2>m1>m3 D．m1<m2<m3題型2幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異[經(jīng)典例題]例2(1)下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是()A．y＝2018x B．y＝x2018C．y＝log2018x D．y＝2018x(2)四個(gè)自變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________．狀元隨筆(1)由題意，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快．(2)觀察變量y1，y2，y3，y4的變化情況→找出增長(zhǎng)速度跟蹤訓(xùn)練2分析指數(shù)函數(shù)y＝2x與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x在區(qū)間[1，＋∞)上的增長(zhǎng)情況．狀元隨筆在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝2x和y＝log2x的圖象，從圖象上可觀察出函數(shù)的增長(zhǎng)變化情況．如圖：題型3指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型[教材P43例題2]例3按照《國(guó)務(wù)院關(guān)于印發(fā)“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案的通知》(國(guó)發(fā)〔2016〕74號(hào))的要求，到2020年，全國(guó)二氧化硫排放總量要控制在1580萬(wàn)噸以內(nèi)，要比2015年下降15%.假設(shè)“十三五”期間每一年二氧化硫排放總量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放總量最大值為f(t)萬(wàn)噸．(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全國(guó)二氧化硫排放總量要控制在多少萬(wàn)噸以內(nèi)(精確到1萬(wàn)噸)．方法歸納應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)注意的問(wèn)題(1)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用類型．常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)解決．(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)的關(guān)鍵．關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．跟蹤訓(xùn)練3某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年題型4函數(shù)模型的選擇問(wèn)題[經(jīng)典例題]例4某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？狀元隨筆本例提供了三個(gè)不同增長(zhǎng)方式的獎(jiǎng)勵(lì)模型，按要求選擇其中一個(gè)函數(shù)作為刻畫獎(jiǎng)金總數(shù)與銷售利潤(rùn)的關(guān)系．由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬(wàn)元，所以銷售人員的銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn)．于是，只需在區(qū)間[10，1000]上，尋找并驗(yàn)證所選函數(shù)是否滿足兩條要求：第一，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，即最大值不大于5；第二，獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即y≤0.25x.不妨先畫出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察函數(shù)圖象，得到初步的結(jié)論，再通過(guò)具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果．方法歸納數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于客觀實(shí)際，服務(wù)于實(shí)際問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)是人們認(rèn)識(shí)世界、改造世界的工具，其中函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來(lái)描述．面臨一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)模型是一件非常重要的事情，根據(jù)三種不同的增長(zhǎng)模型的特點(diǎn)，選擇符合自己的模型，才能產(chǎn)生更大的經(jīng)濟(jì)效益．跟蹤訓(xùn)練4某皮鞋廠今年1月份開(kāi)始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)雙，1.2萬(wàn)雙，1.3萬(wàn)雙，1.37萬(wàn)雙．由于產(chǎn)品質(zhì)量好、款式新穎，前幾個(gè)月的銷售情況良好．為了推銷員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受訂單不至于過(guò)多或過(guò)少，需要估計(jì)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量．廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程．廠里也暫時(shí)不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人．假如你是廠長(zhǎng)，就月份x，產(chǎn)量為y給出三種函數(shù)模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個(gè)月的產(chǎn)量？狀元隨筆通過(guò)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，確定系數(shù)，然后分析確定函數(shù)變化情況，最終找出與實(shí)際最接近的函數(shù)模型．4．5增長(zhǎng)速度的比較4．6函數(shù)的應(yīng)用(二)4．7數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：生長(zhǎng)規(guī)律的描述新知初探·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一2．指數(shù)函數(shù)(底數(shù)a＞1)3．對(duì)數(shù)函數(shù)(底數(shù)a＞1)隨自變量的增大越來(lái)越慢[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度快于冪函數(shù)．冪函數(shù)增長(zhǎng)速率快于對(duì)數(shù)函數(shù)．答案：A2．解析：設(shè)某商品原來(lái)價(jià)格為a，依題意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格比較，減少7.84%.答案：A3．解析：由散點(diǎn)圖和四個(gè)函數(shù)的特征可知，可選擇的模擬函數(shù)模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B4．解析：設(shè)計(jì)算機(jī)價(jià)格平均每年下降p%，由題意可得13＝(1－p%)3，∴p%＝1－1∴9年后的價(jià)格大約為y＝8100×1+＝8100×13答案：300課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】因?yàn)棣Δx＝3a+1?3aΔgΔx＝2ΔhΔx＝log3a+1?log又因?yàn)閍>1，所以2×3a>2×31＝6，log3(1＋1a)<log3(1＋11)＝log32<log因此在區(qū)間[a，a＋1]上，f(x)的平均變化率最大，h(x)的平均變化率最?。櫽?xùn)練1解析：函數(shù)f(x)＝x在[0，1]上的平均變化率為m1＝1?01?0＝1；函數(shù)g(x)＝x2在[0，1]上的平均變化率為m2＝1函數(shù)h(x)＝x3在[0，1]上的平均變化率為m3＝13所以m1＝m2＝m3.答案：A例2【解析】(1)比較冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快．(2)以爆炸式增長(zhǎng)的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開(kāi)始變化，且都是越來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y2的增長(zhǎng)速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化．【答案】(1)A(2)y2跟蹤訓(xùn)練2解析：指數(shù)函數(shù)y＝2x，當(dāng)x由x1＝1增加到x2＝3時(shí)，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x，當(dāng)x由x1＝1增加到x2＝3時(shí)，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.由此可知，在區(qū)間[1，＋∞)上，指數(shù)函數(shù)y＝2x隨著x的增長(zhǎng)函數(shù)值的增長(zhǎng)速度快，而對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的增長(zhǎng)速度緩慢．例3【解析】(1)設(shè)“十三五”期間每一年二氧化硫排放總量下降的百分比均為r，因?yàn)閒(0)表示2015年的排放總量，所以由題意可知f(t)＝f(0)(1－r)t，t＝0，1，2，3，4，5.又因?yàn)閒所以f(0)＝3160017，1－r＝0.85f(t)＝3160017×0.85(2)由(1)可知f(4)＝3160017×因此2019年全國(guó)二氧化硫排放總量要控制在1632萬(wàn)噸以內(nèi)．跟蹤訓(xùn)練3解析：設(shè)經(jīng)過(guò)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，則130(1＋12%)x>200，即1.12x>21.3?x>lg21.3lg1.12答案：B例4【解析】借助信息技術(shù)畫出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(圖1)．觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求．圖1下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷．先計(jì)算哪個(gè)模型的資金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元．對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10，1000]上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x＝20時(shí)，y＝5，因此，當(dāng)x＞20時(shí)，y＞5，所以該模型不符合要求；對(duì)于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用信息技術(shù)，可知在區(qū)間(805，806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x0＝5，由于它在區(qū)間[10，1000]上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x＞x0時(shí)，對(duì)于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x＝1000時(shí)，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求．再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技術(shù)畫出它的圖象(圖2)．圖2由圖象可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[10，1000]上單調(diào)遞減，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，y≤0.25x，說(shuō)明按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)25%.綜上所述，模型y＝log7x＋1確實(shí)能符合公司要求．跟蹤訓(xùn)練4解析：由題意，將產(chǎn)量隨時(shí)間變化的離散量分別抽象為A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)這4個(gè)數(shù)據(jù)．(1)設(shè)模擬函數(shù)為y＝ax＋b時(shí)，將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，得3a+b=1.3，2a+b=1.2，解得所以有關(guān)系式y(tǒng)＝0.1x＋1.由此可得結(jié)論為：在不增加工人和設(shè)備的條件下，產(chǎn)量會(huì)每月上升1000雙，這是不太可能的．(2)設(shè)模擬函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c時(shí)，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，得a+b+c=1，解得a=?0.05，b=0.35，c=0.7.所以有關(guān)系式y(tǒng)＝－0.05x2＋0.35結(jié)論為：由此法計(jì)算4月份的產(chǎn)量為1.3萬(wàn)雙，比實(shí)際產(chǎn)量少700雙，而且由二次函數(shù)性質(zhì)可知，產(chǎn)量自4月份開(kāi)始將每月下降(圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x＝3.5)，不合實(shí)際．(3)設(shè)模擬函數(shù)為y