2023屆高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題破-專(zhuān)題五 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用（解析版）

專(zhuān)題五導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用一、多選題1．設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，其中正確的是（）A．若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）B．若方程恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則C．若，總有恒成立，則D．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)；易知不是該方程的根，當(dāng)時(shí)，將條件等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，將條件等價(jià)于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出的范圍，即可判斷C選項(xiàng)；有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)列出不等式并求解，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，的定義域，，令，有，即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值，，且當(dāng)時(shí)，又，從而要使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，易知不是該方程的根，當(dāng)時(shí)，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為,由大致圖像可知或，故B錯(cuò)誤；。對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是，1故C正確；對(duì)于D，有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不同的正根，即方程有兩個(gè)不同的正根，由C可知，，則D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題和恒成立問(wèn)題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)注意利用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．2．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”，現(xiàn)給出如下函數(shù)，其中為“函數(shù)”的有（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析可知函數(shù)為上的增函數(shù)，然后判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，原不等式等價(jià)為恒成立，設(shè)，則，即，即函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)，則，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)為上的增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，記，則，所以，函數(shù)在上不具有單調(diào)性，不滿足條件.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設(shè)元作差變形判斷符號(hào)得出結(jié)論；（2）圖象法：如果函數(shù)是以圖象的形式給出或者函數(shù)的圖象易作出，結(jié)合圖象可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）導(dǎo)數(shù)法：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）復(fù)合函數(shù)法：先將函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，再討論這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)法“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判定.3．A．，B．，C．，，D．，，【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性，可得選項(xiàng)A的正誤；結(jié)合函數(shù)的值域可得選項(xiàng)B的正誤；結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值情況可得選項(xiàng)C,D的正誤.【詳解】由題意可知，，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以，且，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，所以，設(shè)，則，由零點(diǎn)存在定理可得使得；所以一定存在時(shí)，，也一定存在時(shí)，，即一定不是單調(diào)函數(shù)，又且圖象為連續(xù)曲線，所以，，，故C正確；因?yàn)闀r(shí)，，所以必然存在最大值，故D正確；故選：BCD.二、單選題4．設(shè)，其中，若僅存在一個(gè)整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，判斷出滿足條件的整數(shù)為1，即可得出求解.【詳解】令，，由僅存在一個(gè)整數(shù)，使得，可得僅存在一個(gè)整數(shù)，使得，，令，可得；令，可得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以滿足條件的整數(shù)為1，由可得為減函數(shù)，所以，即，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得出.5．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)后可知導(dǎo)函數(shù)為上的增函數(shù)，根據(jù)a分類(lèi)討論，求的最小值即可求解.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，（1）若時(shí)，，所以在時(shí)單調(diào)遞增，恒成立，（2）若時(shí)，，由單調(diào)遞增知，存在，使得，故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)單調(diào)遞減，所以，即在上存在使得，所以時(shí)不滿足題意.綜上，，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)a分類(lèi)討論，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求最小值，根據(jù)最值是否滿足不小1，判斷a所取范圍，屬于中檔題.6．曲線在處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【詳解】時(shí)，，故切點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，，所以切線方程為，即.故選：A7．定義在上的函數(shù)滿足，且時(shí)，.若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，求出臨界值即：函數(shù)圖像和直線相切時(shí)的值，結(jié)合的性質(zhì)以及函數(shù)對(duì)稱性，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則.即時(shí)，單調(diào)遞增.時(shí)，單調(diào)遞減.且.若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)做曲線的切線交曲線于點(diǎn)，切線方程為：切線由過(guò)點(diǎn)，則，又∵在時(shí)單調(diào)遞減.∴，切線的斜率為，∴由對(duì)稱性知：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)方程問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)求切向方程，有一定的計(jì)算量屬于中檔題.本題關(guān)鍵有：（1）函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題；（2）求范圍問(wèn)題關(guān)鍵是求臨界值；（3）掌握過(guò)某點(diǎn)求切線方程.8．關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是（）A．不是周期函數(shù)B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的值域?yàn)镈．是曲線的一條對(duì)稱軸【答案】C【分析】A.利用周期函數(shù)的定義判斷；B.利用導(dǎo)數(shù)法判斷；C.利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；D.判斷與是否相等即可.【詳解】∵，∴，則為周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；∵，∵時(shí)，，，∴，由此可得在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；令，或，∴當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)或.由此可得，函數(shù)的最值在函數(shù)的極值點(diǎn)處，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值，又因?yàn)?，，所以可得函?shù)的值域?yàn)?，故C正確；∵，，顯然地，，所以不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得．9．已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，則，∵，∴，即在上單調(diào)遞增，∴，要使當(dāng)時(shí)恒成立，則，解得.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴還需要滿足，即，綜上，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是除了考慮每段函數(shù)是單調(diào)遞增，還要考慮不等式成立這一條件.10．若函數(shù)，則滿足恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，然后利用性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為，求解函數(shù)的最大值可得選項(xiàng).【詳解】∵，∴，即為奇函數(shù)；又，即為增函數(shù)；由恒成立，可得恒成立，∴恒成立，即恒成立，設(shè)，易知為偶函數(shù)，只需求在上的最大值即可.當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；∴的最大值為；∴，即；故選：D.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)性質(zhì)求解不等式恒成立問(wèn)題的步驟：①根據(jù)函數(shù)解析式判斷奇偶性和單調(diào)性；②把函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系；③結(jié)合恒成立轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解.11．若對(duì)于任意的，都有，則的最大值為（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，易得在定義域上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，進(jìn)而可求出的最大值．【詳解】解：，，，，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是將原式變形為，從而構(gòu)造函數(shù)且在定義域上單調(diào)遞增.12．已知曲線與曲線有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此可確定圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得的范圍.【詳解】與有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程在上有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，時(shí)，，，令，可知與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；又時(shí)，；時(shí)，，可得圖象如下圖所示：則當(dāng)時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即與有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)的問(wèn)題，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知曲線在處切線的斜率為，則______．【答案】【分析】利用函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值為可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由已知條件可得，解得.故答案為：.14．若曲線與曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線，則該切線的方程為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，根據(jù)公共點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值相等求出切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為，由，（），則，，則，所以，解得，所以，，所以切線的方程為，即.故答案為：15．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______．【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率，寫(xiě)出切線方程．【詳解】由題意，，又，所以切線方程是．故答案為：．16．（2020·巴楚縣第一中學(xué)高三二模）曲線在處的切線方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】求導(dǎo)，分別求得，寫(xiě)出切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以曲線在處的切線方程為，即，故答案為：四、解答題17．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù).（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）.【分析】（1）先根據(jù)極值點(diǎn)求，再求導(dǎo)數(shù)，然后再求單調(diào)區(qū)間；（2）先變形，再運(yùn)用端點(diǎn)效應(yīng)來(lái)解決.【詳解】（1）因?yàn)?，由，得，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）令，當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立.由于，，所以（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間恒成立，符合題意.（ii）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，.①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在恒成立，符合題意②當(dāng)即時(shí)，，，若，即時(shí)，在恒小于0則在單調(diào)遞減，，不符合題意若，即時(shí)，存在使得.所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第（1）問(wèn)的關(guān)鍵是結(jié)合極值點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)本身的特點(diǎn)觀察出單調(diào)區(qū)間，第（2）問(wèn)的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)，然后函數(shù)的單調(diào)性主要還是通過(guò)分析與觀察得出.18．求證：若時(shí)，成立；（2）若函數(shù)，且關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）法一：由且、，根據(jù)的符號(hào)確定的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得極小值，即可證結(jié)論；法二：由題設(shè)，可知恒成立，只需證，利用導(dǎo)數(shù)研究極值即可證結(jié)論；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有且只有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，即令，則在有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的極值并確定符號(hào)，得到單調(diào)區(qū)間，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定區(qū)間零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得參數(shù)a的范圍.【詳解】（1）法一：由得：，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù).∴.法二：由，知：，下面只需證明，令，則，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù).∴.∴時(shí)，成立.（2）由，知：方程有且只有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程有且只有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，令，則在有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，∵，∴當(dāng)，時(shí)，，是減函數(shù)；此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，這種情況舍去.當(dāng)，有，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù).∴，∵在有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，∴極小值，即.由（1）結(jié)論，知：上，即在上恒成立，令，有且開(kāi)口向上∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，，不妨令，必有.∴使，即，又，是減函數(shù)，由零點(diǎn)存在性定理知：在時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，同理，使，，又，是增函數(shù)，由零點(diǎn)存在性定理知：在時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴在有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，進(jìn)而證明函數(shù)不等式；或由將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證即可；（2）將由不同實(shí)根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為令，在上有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)時(shí)，求參數(shù)范圍.19．討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）恒成立．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）可求得，分與兩類(lèi)討論，可得在上單調(diào)情況；（2）記函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)后可得在上單調(diào)遞增，依題意，可得即，再由，知，于是可證得結(jié)論成立．【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得到所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）記函數(shù)，則易知在上單調(diào)遞增，又由，知，在上有唯一的實(shí)數(shù)根，且，則，即（*）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合（*）式，知，所以則，即，所以有恒成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).20．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)存在極值，且這些極值的和大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論確定和的解，得單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知的范圍，函數(shù)存在極值點(diǎn)，由兩個(gè)極值點(diǎn)是某方程的解，應(yīng)用韋達(dá)定理得，計(jì)算出得出不等式，求解出的范圍．【詳解】解：（1）的定義域?yàn)椋撸?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，．由得，且．由得，由得，或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知，當(dāng)存在極值時(shí)，．即方程有兩個(gè)不相等的的正根、，∴∴．依題意，即，∴或．又．∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求極值，考查極值點(diǎn)的應(yīng)用．含有參數(shù)的函數(shù)在求單調(diào)性需要進(jìn)行分類(lèi)討論．極值點(diǎn)問(wèn)題，在極值點(diǎn)不能直接求出時(shí)，可以確定極值點(diǎn)的性質(zhì)，極值點(diǎn)是方程的解，可以利用韋達(dá)定理得出兩極值點(diǎn)的關(guān)系，代入求值．21．已知(且).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值，并求此時(shí)在上的最小值；（2）若函數(shù)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；最小值為；（2）.【分析】(1)求得函數(shù)定義域和函數(shù)導(dǎo)數(shù)，將代入函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)值為解方程求得的值，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，對(duì)分成，兩類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用不存在零點(diǎn)來(lái)求得的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，，∴在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以時(shí)取最小值為所以在的最小值為；（2）由于①當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，取，則，所以函數(shù)存在零點(diǎn)②時(shí)，，.在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以時(shí)取最小值解得綜上所述：所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．22．已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）證明有唯一的極值點(diǎn)，且．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，得為切線斜率，然后可得切線方程；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令，再求導(dǎo)，由確定的單調(diào)性，極值，以及函數(shù)值的正負(fù)，確定有唯一零點(diǎn)，且，由，再引函數(shù)（的表達(dá)式中改為得到），是減函數(shù)，證明．即可完成證明．【詳解】解：（1），，，，切線方程是：，即；（2）證明：由（1）記，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，存在唯一零點(diǎn)，故即，故在遞減，在遞增，，有唯一的極值點(diǎn)，，，顯然在單調(diào)遞減，，，所以．有唯一的極值點(diǎn)，且．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，證明與極值有關(guān)的不等式．證明的關(guān)鍵是對(duì)導(dǎo)函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，正負(fù)性，從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，即為原函數(shù)的極值點(diǎn)．求得極小值，證明方法是一方面利用是極小值證明一半的不等式，另一方面，構(gòu)造新函數(shù)利用新函數(shù)的單調(diào)性證明另一半．23．求的極值點(diǎn)；（2）若，證明：對(duì)任意，且，有.【答案】（1）函數(shù)有極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可；（2）首先根據(jù)（1）證明，再證明，即可證明，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合，得到在上為增函數(shù)，從而證明結(jié)論成立.【詳解】（1）∵，∴，由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)有極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)時(shí)，，，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故，故時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則，∵，∴，∴，∵在的任意子區(qū)間內(nèi)不恒為0，∴在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，故，故.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.24．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）構(gòu)造函數(shù)，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）由題意知定義域?yàn)椋?，，所以在處的切線方程為；（2）令，則，，，所以在上為增函數(shù)，又因?yàn)?①時(shí)，，，，，使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，與題意不符；②時(shí)，，，，，使得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，與題意不符；③時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用分類(lèi)討論法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.25．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）只需證明，令，則.設(shè)，求出函數(shù)的最小值即得證；（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出，再對(duì)分三種情況討論得解；（3）先證明再證明，即得證.【詳解】當(dāng)時(shí)，要證，只需證明.令，則.設(shè)，.當(dāng)時(shí)，，在上，為單調(diào)遞減函數(shù)，此時(shí)，所以原不等式成立.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，，不合題意；時(shí)，，若，，，，此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，所以在上有唯一的零點(diǎn).又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由（1）得，由得，取滿足且，則，所以在上有唯一的零點(diǎn)，綜上.（3）由題得因?yàn)?，所以由?）得當(dāng)時(shí)，，，所以，所以因?yàn)樗运?，所以，同理，所以，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是第（3）問(wèn)，關(guān)鍵一，是能靈活運(yùn)用第（1）問(wèn)的結(jié)論；（2）關(guān)鍵二，是能證明.26．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對(duì)于任意，證明：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求導(dǎo)，再按的正負(fù)分類(lèi)討論，分區(qū)間確定的正負(fù)情況；（2）當(dāng)時(shí)，不等式變形為二元的對(duì)數(shù)式與齊二次分式形式，故采取整體元構(gòu)造函數(shù)法，令，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)研究單調(diào)性，證明即可.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，且，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減.綜上可知：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）由，，，由于，所以.設(shè)，故：，令，則，由于，故，則在上單調(diào)遞增，故，即：所證不等式成立.【點(diǎn)睛】多變量問(wèn)題研究的核心就是要減少變量，將多變量問(wèn)題化歸于單變量問(wèn)題.根據(jù)變量間的關(guān)系消元或整體換元將多變量化歸單變量是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法.27．．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（），，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可得出切線方程；（2）由題可得，是方程的兩個(gè)不相等的正實(shí)根，可得，，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則．又，∴曲線在處的切線方程為，即．（2）（），．依題意知，是方程的兩個(gè)不相等的正實(shí)根，即，是方程的兩個(gè)不相等的正實(shí)根，，解之得．令（），則，在上單調(diào)遞增，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是得出，是方程的兩個(gè)不相等的正實(shí)根，以及.28．討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，再對(duì)分三種情況討論即、、；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，首先求得在上單調(diào)遞增，故，再對(duì)進(jìn)行兩種情況的討論，即和，從而證得結(jié)論；【詳解】（1），，.①若，則恒成立，故在上單調(diào)遞增.②若，令，得.0極大值③若，則恒成立，故在上單調(diào)遞減.綜上所述，若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，在上單調(diào)遞減.（2）令，故，所以，令，，下面證明，其中.令，，則.所以在上單調(diào)遞增，故，所以當(dāng)時(shí)，.所以，所以在上單調(diào)遞增，故.①若，即，則，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)恒成立，所以符合題意.②若，即，此時(shí)，，，且據(jù)及可得，故，所以.又的圖像在上不間斷，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，其中，與題意矛盾，所以不符題意，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，注意討論的不重不漏；根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，注意先猜后證、反證法的綜合應(yīng)用.29．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在處取極小值，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）先根據(jù)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為零求解出的可取值，然后檢驗(yàn)在不同的取值下在處是否取極小值，由此確定出的值；（1）先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“時(shí)，”，再通過(guò)換元將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“恒成立”，然后構(gòu)造函數(shù)，采用分類(lèi)討論的方法分析的最小值與的關(guān)系，由此求解出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幦O小值，所以，所以，所以或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在處取極小值，符合題意；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在處取極小值，符合題意；綜上可知：或；（2）當(dāng)時(shí)，，，又因?yàn)闀r(shí)，，所以時(shí)，，所以時(shí)，，令，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，且，所以的值域?yàn)?，所以，故?wèn)題轉(zhuǎn)化為“恒成立”，不妨設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，這與題意不符；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，所以，記，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)椋?，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開(kāi)來(lái)，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)系，求解出參數(shù)范圍；（2）分類(lèi)討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類(lèi)討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍最后取并集.30．當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，從而可求切線方程.（2）對(duì)a分類(lèi)討論判斷函數(shù)單調(diào)性，從而可得極值點(diǎn)個(gè)數(shù).（3）對(duì)a分類(lèi)討論，結(jié)合（2）問(wèn)的單調(diào)性及放縮法可求的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，.又，所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（2）因?yàn)?，所?1.當(dāng)時(shí)，有，令，得.當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：00↘極小值↗所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).2.當(dāng)時(shí)，令，得，.①當(dāng)時(shí)，.當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：000↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，.當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：000↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn).（3）1.若，由（2）可知，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以.所以符合題意.2.若，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以不恒成?所以不符合題意.綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（2）問(wèn)解題關(guān)鍵是當(dāng)時(shí)需討論兩根與的大小關(guān)系；（3）問(wèn)解題關(guān)鍵是利用（2）問(wèn)所得單調(diào)性進(jìn)行分析，知時(shí)恒成立，而時(shí)，利用放縮法得，所以不恒成立.31．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立時(shí)的最大值為，其中求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間;（2）變量分離，構(gòu)造新函數(shù)并求導(dǎo)，然后分類(lèi)討論得解.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則在時(shí)為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以在為減函數(shù)，為增函數(shù).（2）因?yàn)榈牟坏仁綄?duì)恒成立，所以，對(duì)恒成立，令，即，令，即，所以在上遞增；①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以，?dāng)，，即，所以在上遞增，所以，故；②當(dāng)即時(shí)，因?yàn)?，，即，所以在上遞減，所以，故；③當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵谏线f增，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，故在上單減，上單增，所以，所以，設(shè)，則，所以在上遞增，所以.綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立確定參數(shù)范圍常用方法：①變量分離，構(gòu)造函數(shù)；②對(duì)所構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)；③構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后仍不能判斷符號(hào)，可設(shè)其分子再得新函數(shù)，再二次求導(dǎo)討論.32．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn).【答案】（1）；（2）極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是【分析】（1）在上，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷單調(diào)性即可求得a的范圍；（2）對(duì)x分類(lèi)討論去絕對(duì)值，寫(xiě)出函數(shù)的解析式，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而根據(jù)極值點(diǎn)的定義求得極值.【詳解】（1）函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在時(shí)，單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單減，故若使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需即可.（2），則，且，故或，，單增；，，遞減；則函數(shù)在處取得極大值；在處取得極小值.綜上，極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)，可以直接判斷單調(diào)性，復(fù)雜函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，并求得極值.33．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)（其中是的導(dǎo)函數(shù)）在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出、，由已知得出對(duì)任意的恒成立，結(jié)合參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由參變量分離法可得出對(duì)任意的恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），則，，在上單調(diào)遞增，在上恒成立，在上恒成立，，故的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上恒成立，即，可得，設(shè)，則，由的導(dǎo)數(shù)為，可得時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，則，即，當(dāng)時(shí)，，則在遞增，可得，則，即的取值范圍是．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.34．已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求的范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)求出的導(dǎo)函數(shù)和它在1處的導(dǎo)數(shù)值，寫(xiě)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式求出切線方程；(2)求得，令，求得，分、和討論，通過(guò)單調(diào)性得函數(shù)的最值或極值，并結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】（1）的定義域是，由，得，，，切線斜率為0，切點(diǎn)為(1，0)，則函數(shù)在處的切線方程為；（2），令，則，①若，則在恒成立，在上單調(diào)遞增，而，即；②若，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，+∞)上單調(diào)遞增，，若，，故，從而當(dāng)時(shí)，有，有，在(0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增，故，時(shí)，令，則(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取“=”)，所以在上遞減，即a=1時(shí)，，從而時(shí)，恒成立；若，，又，，令，，在(1，+∞)上遞增，故存在，使，或時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，的解為或，在、上都單調(diào)遞增，的解為或，在、上都單調(diào)遞減，由得，不合題意，綜上：當(dāng)時(shí)，在上恒成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍：(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；(2)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，借助求導(dǎo)討論單調(diào)性及二次求導(dǎo)討論導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值或最值問(wèn)題解決.35．若，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立；（2）通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的取值范圍即可．【詳解】（1）由題意可設(shè)，有，所以在（0，1）單減，所以，即，設(shè)，，，則有，單調(diào)遞增，得，所以得證；（2）由（1）可知時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，單調(diào)遞增，則，①若，，單調(diào)遞減，則有，此時(shí)不符合題意；②若，，，所以有唯一零點(diǎn)，可記為，則，，此時(shí)單調(diào)遞減，有，則不符合題意；綜上可知，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．36．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求導(dǎo)后，對(duì)分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得結(jié)果；（2），利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值大于即可得證明不等式成立.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，令，，令，因?yàn)楹愠闪?，所以在R上單調(diào)遞增，，由零點(diǎn)存在性定理可得存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，所以，即，得證．37．討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)有最小值，求的最大值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，令，根據(jù)，分，求解；（2）求導(dǎo)，設(shè)，根據(jù)（1）知，在區(qū)間單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得到在存在唯一，使得，即，從而得到求解.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，令，則，①當(dāng)時(shí)，，，即且不恒為零，故單調(diào)遞增區(qū)間為和②當(dāng)時(shí)，，方程的兩根為：，，由于，.故.因此當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間，單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增.（2）由設(shè)，由（1）知，時(shí)，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間單調(diào)遞增，由于，，故在存在唯一，使，.又當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，故時(shí)，，又設(shè)，，故，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到．38．為單調(diào)減函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)的最大值不小于0．（1）求的值；（2）若，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由在上恒成立求得的一個(gè)范圍，再由的最大值不小于0又得的一個(gè)范圍，兩者結(jié)合可得值．（2）由（1）知，因此中一個(gè)不大于1，另一個(gè)不小于1，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)證明它在上，利用已知式可得與的不等關(guān)系，證得結(jié)論成立．【詳解】（1）因?yàn)闉閱握{(diào)減函數(shù)，所以恒成立，所以在上恒成立．由于當(dāng)時(shí)，，所以，解得．因?yàn)椋?dāng)時(shí)，的最大值為，由題意，，所以．綜上，．（2）由（1）知，，所以．因?yàn)?，為單調(diào)減函數(shù)，可設(shè)．令，．所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，．因?yàn)?，所以．因?yàn)闉閱握{(diào)減函數(shù)，所以，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，證明不等式．對(duì)于雙變量不等式，解題關(guān)鍵是通過(guò)變換建立它們的關(guān)系，或通過(guò)它們的聯(lián)系進(jìn)行消元以變量變成一元函數(shù)．本題關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，證明時(shí)，，然后根據(jù)已知等式得出不等式關(guān)系，再同函數(shù)單調(diào)性得出結(jié)論．39．求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得結(jié)論成立.（3）對(duì)分成兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，且，故切點(diǎn)為又所以在處的切線方程為，即．（2）要證，只需證明，又，故只需證明成立，也即證明成立.構(gòu)造函數(shù)．則，成立．所以在遞增，從而成立．所以在遞增，從而，即，故成立．（3）由時(shí)，恒成立，即··········（*）①當(dāng)時(shí)，（*）顯然成立；②當(dāng)時(shí)，··········（**）設(shè)，則，所以在遞增，（**）可化為，則恒成立．因?yàn)?，所以，又，從而，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】要證明不等式成立，可將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后利用導(dǎo)數(shù)證得從而證得不等式成立.40．若曲線與有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有相同的切線，則稱與相切，已知與相切．（1）若，求a的值；（2）對(duì)任意，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線與相切？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)公共點(diǎn)為，結(jié)合該點(diǎn)處兩曲線的切線斜率相等可求得．（2）設(shè)切點(diǎn)為，由，，消元后得出與的方程，與的方程，在與的方程中證明對(duì)任意，方程都有正數(shù)解后證明對(duì)于這個(gè)解經(jīng)，有即可．【詳解】（1）設(shè)公共點(diǎn)為，，，，所以，消去得，記，顯然在上是增函數(shù)，而，因此只有一個(gè)解，所以．（2）假設(shè)對(duì)任意，存在實(shí)數(shù)，使得曲線與相切，設(shè)切點(diǎn)為，，所以①，②，由②得③，①③消去得，，，①③消去得，在時(shí)，，下面證明對(duì)任意，方程有解，設(shè)，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，時(shí)，，又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，在坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，再作直線，如圖，它們?cè)诘谝幌笙揎@然有一個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)任意的，方程有正數(shù)解．綜上，任意，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線與相切【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵是把兩函數(shù)相切，轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題．即設(shè)切點(diǎn)為，相切轉(zhuǎn)化為方程組有解．通過(guò)解的分析得出參數(shù)范圍．41．討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域．【答案】（1）函數(shù)在、上均為增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求得，進(jìn)而可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由得出，由此可證得所證不等式成立；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)，可得出函數(shù)的極小值為，其中滿足，求出的取值范圍，化簡(jiǎn)得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)在、上均為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，整理可得；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的實(shí)數(shù)使得，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)?，所以?/p>