4.1 三角函數(shù)的概念與基本公式microsoft word 文檔doc-高中數(shù)學(xué)

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第四章三角函數(shù)

知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

4.1三角函數(shù)的概念與基本公式

——三角函數(shù)闡述了自然界中奇妙有趣的數(shù)量關(guān)系，是非常有用，而且益智的數(shù)學(xué)知識(shí)

一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.熟悉任意角的概念、弧度制與角度制的互化、弧度制下的有關(guān)公式;

2.掌握任意角的三角函數(shù)概念、符號(hào)、同角三角函數(shù)公式和誘導(dǎo)公式;

二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

角的定義：一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。

角按其旋轉(zhuǎn)方向可分為：正角，零角，負(fù)角。

2.角在直角坐標(biāo)系中的表示：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上.

(1)象限角:角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。

(2)象間角:角的終邊在坐標(biāo)軸上，就說(shuō)這個(gè)角不屬于任何象限，它叫象間角。

與角終邊相同的角的集合：{β|β=k360°+α,k∈Z}

終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍。

(4)正確理解：“間的角”“第一象限的角”，“銳角”，“小于的角”，這四種角的集合分別表示為：

，

，。

3．弧度制:規(guī)定

(1)等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度的角,作為弧度制的單位;

(2)任一已知角的弧度數(shù)的絕對(duì)值。

正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零。

這種以“弧度”作為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制。

比值l/r與所取圓的半徑大小無(wú)關(guān)，而僅與角的大小有關(guān)。

4．弧度與角度的換算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。

5．弧長(zhǎng)公式:;扇形的面積公式：。

6.任意角三角函數(shù)的定義:在角α的終邊上任意一點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)的距離是r（r=＞0），則sinα=，cosα=，tanα=.

三角函數(shù)兩件事:一是符號(hào),二是比值,且比值與P上在終邊上的位置無(wú)關(guān).

7.同角三角函數(shù)關(guān)系式:

sin2α+cos2α=1（平方關(guān)系）；=tanα（商數(shù)關(guān)系）；tanαcotα=1（倒數(shù)關(guān)系）.

8.誘導(dǎo)公式

α+2kπ（k∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).——函數(shù)名不變，符號(hào)看象限。

另外：sin（－α）=cosα，cos（－α）=sinα.——函數(shù)名改變。

三、雙基題目練練手

1.已知sin=，cos=－，那么α的終邊在（）

A.第一象限 B.第三或第四象限

C.第三象限 D.第四象限

2.(2005全國(guó)Ⅲ)設(shè),且,則（）

A.B.C.D.

3.角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（－8m，－6cos60°）且cosα=－，則m的值是（）

A. B.－ C.－ D.

4.已知cosα=，且－＜α＜0，則=_________.

5.已知sinβ=，sin（α+β）=1，則sin（2α+β）=_________.

6.已知sinθ=，cosθ=，若θ是第二象限角，則實(shí)數(shù)a=______

簡(jiǎn)答:1-3.DCA;4.;5.;6..

1.結(jié)合三角函數(shù)線(xiàn)知

α在第四象限.答案：D

法2:sinα=－＜0，cosα=＞0，∴α終邊在第四象限.

3.cosα==－.∴m=或m=－（舍去）答案：A

4.從cosα=中可推知sinα、cotα的值，再用誘導(dǎo)公式即可求之.

5.∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+.

∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=.

6.依題意得解得a=或a=1（舍去）.

四、經(jīng)典例題做一做

【例1】已知α是第二象限的角

指出α／2所在的象限，并用圖象表示其變化范圍；

若α還滿(mǎn)足條件|α+2|≤4，求α的取值區(qū)間;

若,求α－β的范圍.

解：依題意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k∈Z）

所以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k∈Z），若k為偶數(shù)，則α/2是第一象限的角；若k為奇數(shù)，則α/2是第三象限的角；其變化范圍如圖中的陰影部分所示（不含邊界）

因?yàn)閨α+2|≤4，所以－6≤α≤2，

即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π）∩[－6，2]，

結(jié)合數(shù)軸可知，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2。

(3)

又

◆提煉方法:理解象限角、終邊相同的角、區(qū)間角的概念，掌握α角的取值范圍與2α、α/2角的取值范圍間的相互關(guān)系。

【例2】化簡(jiǎn)（1）（）

（2）;

(3)若sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0，化簡(jiǎn)+.

解：（1）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，原式==－1；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)同理可得，原式=－1，故當(dāng)時(shí)，原式=-1。

（2）原式==3

(3)由所給條件知α是第二象限角，則是第一或第三象限角.

原式==

=

◆關(guān)鍵點(diǎn)注:（1）分清k的奇偶，決定函數(shù)值符號(hào)是關(guān)鍵；

（2）平方式降次是化簡(jiǎn)的重要手段之一。

【例3】（1）確定lg（cos6－sin6）的符號(hào)；

（2）若+=0，判斷cos（sinα）?sin（cosα）的符號(hào)。

解：（1）∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0；

∵（cos6－sin6）2=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴l(xiāng)g（cos6－sin6）＞0

（2）由題意可得=0，∴sinα?cosα＜0，故α在第二或第四象限。

若α在第二象限，則0＜sinα＜1，-1＜cosα＜0，∴cos（sinα）＞0，

sin（cosα）＜0；∴原式＜0。

若α在第四象限，則-1＜sinα＜0，0＜cosα＜1，∴cos（sinα）＞0，

sin（cosα）＞0；∴原式＞0。

◆思路方法:判斷角所在的象限是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。對(duì)于用弧度制表示的角不好判定所在象限時(shí)，可轉(zhuǎn)化成角度來(lái)表示。

【例4】時(shí)鐘上自7點(diǎn)整到分針與時(shí)針第一次重合,求分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù).如果分針長(zhǎng)11cm,求分針轉(zhuǎn)過(guò)扇形的面積.

解:設(shè)分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)的絕對(duì)值為x,則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)的絕對(duì)值為,由分針、時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的時(shí)間相等得：（分鐘）。

分針轉(zhuǎn)過(guò)扇形的面積

答：分針轉(zhuǎn)過(guò)，轉(zhuǎn)過(guò)扇形的面積為77πcm2.

【研討.欣賞】證明：(1)

(2)若sinα=msinβ,tanα=ntanβ,且α,β為銳角,則

證明(1)法一：右邊=

左邊

法二：要證等式即證

只需證即證

即顯然成立,所以原等式成立。

(2)(注意結(jié)論,應(yīng)消去β)

由①

由sinα=msinβ②

得,代入①得ncosα=mcosβ與②平方相加得(n2-1)cos2α=m2-1.

∵α是銳角,∴

◆思維點(diǎn)撥：１．證等式常用方法：從一邊推另一邊；化繁為簡(jiǎn)；左右歸一；變形論證；綜合法；比較法等.

２．常用變形技巧：切割化弦，化異為同，湊分母，“１”的代換．

五．提煉總結(jié)以為師

1.任意角、弧度制、與角度制的互化，弧長(zhǎng)、扇形面積公式；任意角的三角函數(shù)概念.

2.在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并就不同的象限正確確定三角函數(shù)值的符號(hào),求出相應(yīng)的值.

3.弦切互化、三角代換、消元是三角變換的重要方法，要注意公式的變形使用，要盡量減少開(kāi)方運(yùn)算，慎重確定符號(hào).,并注意“1”的靈活代換:

如1=sin2α+cos2α=sec2α－tan2α=csc2α－cot2α=tanα·cotα.

4.應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱(chēng)”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷，一般常用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的口訣.

5.，，三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)式子的值，求出其余兩個(gè)式子的值。

同步練習(xí)4.1三角函數(shù)的概念與基本公式

【選擇題】

1.（2004.遼寧卷）若的終邊所在象限是()

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.（2005山東）函數(shù)，若，則的所有可能值為（）

（A）1（B）（C）（D）

3.設(shè)α、β是第二象限的角，且sinα＜sinβ，則下列不等式能成立的是()

A.cosα＜cosβ B.tanα＜tanβ

C.cotα＞cotβ D.secα＜secβ

【填空題】

4.化簡(jiǎn)=_________.

5.已知sinα+cosα=，那么角α是第_______象限的角.

6.已知扇形的周長(zhǎng)為20，當(dāng)扇形的半徑r=_____時(shí)，扇形的面積最大，面積的最大值等于________；

練習(xí)簡(jiǎn)答：1-3.DBA;

3.A與D互斥，B與C等價(jià)，則只要判斷A與D對(duì)錯(cuò)即可.利用單位圓或特殊值法，易知選A.

4.==|sin4－cos4|=sin4－cos4.

5.兩邊平方得1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=－＜0.∴α是第二或第四象限角.

6.當(dāng)時(shí)面積最大，最大值為25

【解答題】

7.已知，，求的范圍。

解：設(shè)2α-β=A（α+β）+B（α-β），（A，B為待定系數(shù)），則2α-β=（A+B）α+（A-B）β。比較兩邊的系數(shù)得A=，B=；∴2α-β=（α+β）+（α-β），從而可求得－π＜2α－β＜π／6。

思維點(diǎn)撥:解決此類(lèi)問(wèn)題要用待定系數(shù)法，千萬(wàn)不能先由條件得出α、β的范圍，再求2α－β的范圍比實(shí)際范圍要大。

8.已知，求

（1）的值；

（2）的值。

解：（1）法一：由已知sinα=2cosα，∴原式=；

法二：∵，∴cosα≠0，∴原式==。

（2）==

=

提煉方法：關(guān)于的齊次式的一般處理方法。

９.(1)已知，求的值。

（2）

解：(1)由已知得，所以是方程

的兩根，

而

思維點(diǎn)撥：常用關(guān)系，則在解題中的作用。

(2)原式=

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，

則原式=

=。

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，同理可得原式=0。

1０.求證：

證明：左邊=

右邊=

所以原等式成立

１１．（1）已知，求的值。

（2）已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是關(guān)于x的方程5x2-x+m=0的根,求sin3θ+cos3θ和tanθ的值.

解：（1）條件中的表示10條不同終邊的角，這10條終邊分成5組，每組互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，余弦值的和為零.

∴f（1）+f（2）+…+f（2004）

=f（1）+f（2）+…+f（4）+f(5)+f(6)+…f(2004)

=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)

（2）由韋達(dá)定理得:①

由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ得

∴,

Sin3θ+xos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)

=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

=

又0<θ<π,sinθcosθ<0,

∴sinθ>0,cosθ<0

sinθ-cosθ=

.

【探索題】是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π）使等式sin（3π－α）=cos（－β），cos（－α）=－c