(新高考)高考數(shù)學(xué)三輪沖刺解答題核心考點(diǎn)練第11講《立體幾何中的探索性問題》（解析版）

第11講立體幾何中的探索性問題高考預(yù)測(cè)一：動(dòng)態(tài)問題1．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）若點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求證：若二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0的值．【解析】解：（Ⅰ）證明：連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，又SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4分）（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（6分）如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．則平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（8分）SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0法向量為SKIPIF1<0（10分）SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（12分）2．如圖，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【解析】解：（Ⅰ）證明：以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（Ⅱ）解：SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為：SKIPIF1<0．（Ⅲ）解：設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0時(shí)線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0．3．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且四邊形SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；（2）設(shè)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角最小時(shí)，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0即為三棱錐SKIPIF1<0的高，故SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．（2）以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，此時(shí)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角取得最小值．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量．從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由于二面角SKIPIF1<0為鈍角，SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．高考預(yù)測(cè)二：翻折問題4．如圖，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊到△SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【解析】（1）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不防設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，由此以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0．則有SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．又平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．5．圖1是由矩形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和菱形SKIPIF1<0組成的一個(gè)平面圖形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將其沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，連結(jié)SKIPIF1<0，如圖2．（1）證明：圖2中的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求圖2中的二面角SKIPIF1<0的大?。窘馕觥孔C明：（1）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0確定一個(gè)平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．解：（2）作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由已知，菱形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸正方向，建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，6，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0．6．正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，以SKIPIF1<0為折痕把SKIPIF1<0折起，使點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【解析】解：（1）由已知可得，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0．由（1）得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0．由（1）可得，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．7．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上一動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（1）當(dāng)棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【解析】解：（1）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，即：體積最大時(shí)，SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，又因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，可得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．8．如圖（1），在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到△SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0，如圖（2）．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在何處時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0體積最大，并求出最大值；（3）當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0體積最大時(shí)，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小．【解析】證明：（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．解：（2）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由（1）SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．因此當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0體積最大，最大值為SKIPIF1<0．解：（3）如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0．9．如圖（1），在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到△SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0，如圖（2）．（Ⅰ）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求證：SKIPIF1<0；（Ⅲ）線段SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．若存在，求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】SKIPIF1<0證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（3分）SKIPIF1<0證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（4分）又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（5分）所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（6分）所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（7分）又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（8分）又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（9分）SKIPIF1<0解：線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．理由如下：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（12分）因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（13分）如圖（1），因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，如圖（2），在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（14分）10．如圖1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上且異于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0（如圖2所示）．記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的體積．（1）求SKIPIF1<0的表達(dá)式；（2）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，并求出該最小值；（3）當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，試在棱SKIPIF1<0上確定一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小．【解析】解：（1）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0折起前SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起后SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值4；（3）以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，由（2）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0．高考預(yù)測(cè)三：存在性問題11．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（3）設(shè)SKIPIF1<0，是否存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）解：取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為：SKIPIF1<0．（3）解：設(shè)SKIPIF1<0，假設(shè)存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）知，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．綜上，存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．12．在如圖所示的幾何體中，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0？如果存在，確定點(diǎn)SKIPIF1<0的位置；如果不存在，說明理由．【解析】（Ⅰ）證明：取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（Ⅱ）解：以SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，如圖所示：則SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅲ）解：設(shè)SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0