高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：7.1《不等式的性質(zhì)》(含解析)

第七章不等式高考導(dǎo)航考試要求重難點擊命題展望1.不等關(guān)系了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景.2.一元二次不等式(1)會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；(2)通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；(3)會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖.3.二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題(1)會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；(2)了解二元一次不等式組的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；(3)會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.4.基本不等式：≥(a，b≥0)(1)了解基本不等式的證明過程；(2)會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.本章重點：1.用不等式的性質(zhì)比較大??；2.簡單不等式的解法；3.二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題；4.基本不等式的應(yīng)用.本章難點：1.含有參數(shù)不等式的解法；2.不等式的應(yīng)用；3.線性規(guī)劃的應(yīng)用.不等式具有應(yīng)用廣泛、知識綜合、能力復(fù)合等特點.高考考查時更多的是與函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何及實際應(yīng)用問題相互交叉和綜合，將不等式及其性質(zhì)的運用滲透到這些問題的求解過程中進行考查.線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要內(nèi)容，高考中除考查線性規(guī)劃問題的求解與應(yīng)用外，也考查線性規(guī)劃方法的遷移.知識網(wǎng)絡(luò)7.1不等式的性質(zhì)典例精析題型一比較大小【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，試比較P與Q的大小.【解析】因為a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，當a＞1時，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；當0＜a＜1時，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；綜上所述，a＞0，a≠1時，P＞Q.【點撥】作差比較法是比較兩個實數(shù)大小的重要方法之一，其解題步驟為：①作差；②變形；③判斷符號；④得出結(jié)論.【變式訓(xùn)練1】已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a＞2)，n＝x－2(x≥eq\f(1,2))，則m，n之間的大小關(guān)系為()A.m＜n B.m＞n C.m≥n D.m≤n【解析】選C.本題是不等式的綜合問題，解決的關(guān)鍵是找中間媒介傳遞.m＝a＋eq\f(1,a－2)＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤(eq\f(1,2))－2＝4.題型二確定取值范圍【例2】已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍.【解析】因為－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，兩式相加得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).又－eq\f(π,4)≤eq\f(－β,2)＜eq\f(π,4)，所以－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2)，又因為α＜β，所以eq\f(α－β,2)＜0，所以－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0，綜上－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0為所求范圍.【點撥】求含字母的數(shù)(式)的取值范圍，一定要注意題設(shè)的條件，否則易出錯，同時在變換過程中，要注意準確利用不等式的性質(zhì).【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍.【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，所以故f(3)＝－eq\f(5,3)(a－c)＋eq\f(8,3)(4a－c)∈[－1,20].題型三開放性問題【例3】已知三個不等式：①ab＞0；②eq\f(c,a)＞eq\f(d,b)；③bc＞ad.以其中兩個作條件，余下的一個作結(jié)論，則能組成多少個正確命題？【解析】能組成3個正確命題.對不等式②作等價變形:eq\f(c,a)＞eq\f(d,b)?eq\f(bc－ad,ab)＞0.(1)由ab＞0，bc＞ad?eq\f(bc－ad,ab)＞0，即①③?②；(2)由ab＞0，eq\f(bc－ad,ab)＞0?bc－ad＞0?bc＞ad，即①②?③；(3)由bc－ad＞0，eq\f(bc－ad,ab)＞0?ab＞0，即②③?①.故可組成3個正確命題.【點撥】這是一類開放性問題，要求熟練掌握不等式的相關(guān)性質(zhì)，并能對題目條件進行恰當?shù)牡葍r變形.【變式訓(xùn)練3】a、b、c、d均為實數(shù)，使不等式eq\f(a,b)＞eq\f(c,d)＞0和ad＜bc都成立的一組值(a，b，c，d)是_______________(只要寫出符合條件的一組即可).【解析】寫出一個等比式子，如eq\f(2,1)＝eq\f(4,2)＞0.此時內(nèi)項的積和外項的積相等，減小eq\f(4,2)的分子，把上式變成不等式eq\f(2,1)＞eq\f(3,2)＞0，此時不符合ad＜bc的條件，進行變換可得eq\f(2,1)＞eq\f(－3,－2)＞0，此時2×(－2)＜1×(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一組值.總結(jié)提高1.不等式中有關(guān)判斷性命題，主要依據(jù)是不等式的概念和性質(zhì).一般地，要判斷一個命題是真命題，必須嚴格證明.要判斷一個命題是假命題，只要舉出反例，或者由題設(shè)條件推出與結(jié)論相反的結(jié)果.在不等式證明和推理過程中，關(guān)鍵是要弄清每個性質(zhì)的條件與結(jié)論及其邏輯關(guān)系，要注意條件的弱化與加強，不可想當然.如在應(yīng)用ab＞0，a＞b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)這一性質(zhì)時，不可弱化為a＞b?eq\f(1,a)＜eq\f(