時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗

關(guān)于時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗1第1頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五2主要內(nèi)容確定性時間序列模型隨機時間序列概述時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗隨機時間序列分析模型協(xié)整分析和誤差修正模型第2頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五3時間序列和時間序列模型時間序列：各種社會、經(jīng)濟、自然現(xiàn)象的數(shù)量指標按照時間次序排列起來的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。一個時間序列數(shù)據(jù)可以視為它所對應(yīng)的隨機變量或隨機過程（stochasticprocess）的一個實現(xiàn)（realization）時間序列分析模型：解釋時間序列自身的變化規(guī)律和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達式確定性的時間序列模型隨機時間序列模型第3頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五4第一節(jié)、確定性時間序列模型事物變化的過程有一類是確定型過程，可以用關(guān)于時間t的函數(shù)描述的過程。例如，真空中的自由落體運動過程，電容器通過電阻的放電過程，行星的運動過程等。滑動（移動）平均模型加權(quán)滑動平均模型二次滑動平均模型指數(shù)平滑模型第4頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五5(1)滑動平均模型第5頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五6(2)加權(quán)滑動平均模型作用：消除干擾，顯示序列的趨勢性變化；并通過加權(quán)因子的選取，增加新數(shù)據(jù)的權(quán)重，使趨勢預(yù)測更準確第6頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五7(3)二次滑動平均模型對經(jīng)過一次滑動平均產(chǎn)生的序列再進行滑動平均第7頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五8(4)指數(shù)平滑模型第8頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五9（5）二次指數(shù)平滑模型在一次指數(shù)平滑模型的基礎(chǔ)上再進行指數(shù)平滑計算，即構(gòu)成二次指數(shù)平滑模型。同樣可以構(gòu)成三次指數(shù)平滑模型。第9頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五10第二節(jié)、隨機時間序列概述第10頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五11經(jīng)濟量預(yù)測的方法一、根據(jù)一定的經(jīng)濟理論，建立各種相互影響的經(jīng)濟變量之間的關(guān)系模型，根據(jù)觀測到的經(jīng)濟數(shù)據(jù)估計出模型參數(shù)，利用模型來預(yù)測有關(guān)變量的未來值。這種方法的優(yōu)點在于精確地考慮到了各經(jīng)濟變量之間的相互影響，有理論依據(jù)，但是由于抽樣信息不完備，經(jīng)濟模型和經(jīng)濟計量模型不可能真正準確地反映了經(jīng)濟現(xiàn)實，因而得到的結(jié)果不可能是相當(dāng)準確。二、利用要預(yù)測的經(jīng)濟變量的過去值來預(yù)測其未來值，而不考慮變量值產(chǎn)生的經(jīng)濟背景。這種方法假定數(shù)據(jù)是由隨機過程產(chǎn)生的，根據(jù)單一變量的觀測值建立時間序列模型進行預(yù)測。這種方法在短期預(yù)測方面是很成功的。第11頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五12隨機過程與隨機序列第12頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五13隨機過程離散型連續(xù)型平穩(wěn)的非平穩(wěn)的寬平穩(wěn)過程嚴（強）平穩(wěn)過程第13頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五14時間序列分類隨機過程的一次實現(xiàn)稱為時間序列，也用{xt

}或xt表示。

與隨機過程相對應(yīng)，時間序列分類如下：

第14頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五15從相同的時間間隔點上取自連續(xù)變化的序列（人口序列）

時間序列離散型連續(xù)型（心電圖，水位紀錄儀，溫度紀錄儀）

一定時間間隔內(nèi)的累集值（年糧食產(chǎn)量，進出口額序列）

第15頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五16隨機過程與時間序列的關(guān)系隨機過程:{x1,x2,…,xT-1,xT,}第1次觀測：{x11,x21,…,xT-11,xT1}第2次觀測：{x12,x22,…,xT-12,xT2}

第n次觀測：{x1n,x2n,…,xT-1n,xTn}第16頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五17例1某河流一年的水位值，{x1,x2,…,xT-1,xT,}，可以看作一個隨機過程。每一年的水位紀錄則是一個時間序列，{x11,x21,…,xT-11,xT1}。而在每年中同一時刻（如t=2時）的水位紀錄是不相同的。{x21,x22,…,x2n,}構(gòu)成了x2取值的樣本空間。

第17頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五18例2要記錄某市日電力消耗量，則每日的電力消耗量就是一個隨機變量，于是得到一個日電力消耗量關(guān)于天數(shù)t的函數(shù)。而這些以年為單位的函數(shù)族構(gòu)成了一個隨機過程

{xt},t=1,2,…365。因為時間以天為單位，是離散的，所以這個隨機過程是離散型隨機過程。而一年的日電力消耗量的實際觀測值序列就是一個時間序列。

第18頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五19說明自然科學(xué)領(lǐng)域中的許多時間序列常常是平穩(wěn)的。如工業(yè)生產(chǎn)中對液面、壓力、溫度的控制過程，某地的氣溫變化過程，某地100年的水文資料，單位時間內(nèi)路口通過的車輛數(shù)過程等。但經(jīng)濟領(lǐng)域中多數(shù)宏觀經(jīng)濟時間序列卻都是非平穩(wěn)的。如一個國家的年GDP序列，年投資序列，年進出口序列等。

第19頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五20隨機時間序列模型自回歸模型（AR）移動平均模型（MA）自回歸—移動平均模型（ARMA）第20頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五21時間序列模型的例子第21頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五22時間序列模型的例子第22頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五23時間序列模型的例子第23頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五24第三節(jié)、時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗一、基本概念第24頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五25回憶：經(jīng)典回歸模型的假定第25頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五26經(jīng)典線性正態(tài)假定：進一步的說明如果滿足假定1-3，回歸系數(shù)的OLS估計量是無偏的如果滿足假定1-5，回歸系數(shù)OLS估計量的方差估計是無偏的，而且OLS估計量是最優(yōu)線性無偏估計量如果滿足假定1-6，模型的t檢驗和F檢驗是有效的第26頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五27經(jīng)典線性正態(tài)假定：進一步的說明在大多數(shù)情況下，時間序列很難滿足經(jīng)典線性正態(tài)模型假定，特別是誤差項條件均值為0、無序列相關(guān)以及正態(tài)性的假定。因此，就需要用大樣本來做漸進處理。第27頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五28大樣本條件下的普通最小二乘估計假定這些假定比有限樣本下的假定弱得多第28頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五29大樣本條件下的普通最小二乘估計如果滿足假定1-3，回歸系數(shù)的OLS估計量是一致的如果滿足假定1-5，回歸系數(shù)OLS估計量是漸近正態(tài)分布的，模型的t檢驗和F檢驗是漸近有效的第29頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五30經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸分析暗含著一個重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破壞。如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則一致性條件不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。第30頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五31有趨勢的時間序列線性趨勢指數(shù)趨勢tt第31頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五32偽回歸（spuriousregression）如果時間序列是有趨勢的，那么一定是非平穩(wěn)的，從而采用OLS估計的t檢驗和F檢驗就是無效的。兩個具有相同趨勢的時間序列即便毫無關(guān)系，在回歸時也可能得到很高的顯著性和復(fù)判定系數(shù)出現(xiàn)偽回歸時，一種處理辦法是加入趨勢變量，另一種辦法是把非平穩(wěn)的序列平穩(wěn)化第32頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五33數(shù)據(jù)非平穩(wěn)的問題在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，實際的時間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟變量如消費、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。第33頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五34時間序列分析模型方法時間序列分析方法由Box-Jenkins(1976)年提出，以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計量經(jīng)濟學(xué)方法論。它適用于各種領(lǐng)域的時間序列分析。時間序列分析已組成現(xiàn)代計量經(jīng)濟學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟分析與預(yù)測當(dāng)中。第34頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五35時間序列模型不同于經(jīng)典計量模型的兩個特點⑴這種建模方法不以經(jīng)濟理論為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機制描述時間序列的變化。⑵明確考慮時間序列的非平穩(wěn)性。如果時間序列非平穩(wěn)，建立模型之前應(yīng)先通過差分把它變換成平穩(wěn)的時間序列，再考慮建模問題。第35頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五36假定某個時間序列是由某一隨機過程生成的，即假定時間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：1）均值E(Xt)=是與時間t無關(guān)的常數(shù)；2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關(guān)的常數(shù)；3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只與時期間隔k有關(guān)，與時間t無關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程（stationarystochasticprocess）。

平穩(wěn)的概念第36頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五37兩種基本的隨機過程白噪聲（whitenoise）過程隨機游走（randomwalk）過程

第37頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五38白噪聲一個具有均值為零和相同有限方差的獨立隨機變量序列et稱為白噪聲(whitenoise)。如果et服從正態(tài)分布，則稱為高斯白噪聲。由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。注：白噪聲源于物理學(xué)與電學(xué)，原指音頻和電信號在一定頻帶中的一種強度不變的干擾聲。第38頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五39由白噪聲過程產(chǎn)生的時間序列

第39頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五40日元對美元匯率的收益率序列第40頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五41隨機游走（randomwalk）“隨機游走”一詞首次出現(xiàn)于1905年自然（Nature）雜志第72卷PearsonK.和

RayleighL.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機游走問題”。文中討論尋找一個被放在野地中央的醉漢的最佳策略是從投放點開始搜索。

第41頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五42隨機游走（randomwalk）隨機時間序列由如下隨機過程生成：Xt=Xt-1+tt是一個白噪聲。該序列有相同的均值E(Xt)=E(Xt-1)，但方差與時間有關(guān)而非常數(shù)，是一非平穩(wěn)序列。第42頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五43證明假設(shè)Xt的初值為X0，則易知:X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2

……Xt=X0+1+2+…+t

由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲，因此:Var(Xt)=t2Xt的方差與時間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。第43頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五44隨機游走對X取一階差分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列{Xt}是平穩(wěn)的。如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。第44頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五45由隨機游走過程產(chǎn)生時間序列

第45頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五46日元對美元匯率（300天，1995年）第46頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五47時間序列模型的主要分類

自回歸過程移動平均過程第47頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五48自回歸過程

如果一個線性過程可表達為

xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut

,

其中i,i=1,…p是自回歸參數(shù)，ut

是白噪聲過程，則稱xt為p階自回歸過程，用AR(p)表示。xt是由它的p個滯后變量的加權(quán)和以及ut相加而成。與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問題。

第48頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五49移動平均過程如果一個線性隨機過程可用下式表達xt

=ut+1ut–1+

2ut-2+…+qut–q

=(1+

1L+

2L2+…+qLq)ut=L)ut

其中

1,2,…,q是回歸參數(shù)，ut為白噪聲過程，則上式稱為q階移動平均過程，記為MA(q)。之所以稱“移動平均”，是因為xt是由q+1個ut和ut滯后項的加權(quán)和構(gòu)造而成?！耙苿印敝竧的變化，“平均”指加權(quán)和。

第49頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五50隨機游走隨機游走過程是1階自回歸AR(1)過程的特例:Xt=Xt-1+t

||>1時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(>1)或持續(xù)下降(<-1)，因此是非平穩(wěn)的；=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩(wěn)的。只有當(dāng)-1<<1時，該隨機過程才是平穩(wěn)的。第50頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五51時間序列的平穩(wěn)性檢驗1、博克斯-皮爾斯（Box-Pierce)Q統(tǒng)計量平穩(wěn)過程的一個顯著特征是自相關(guān)函數(shù)隨時間間隔k的增大而衰減，因此，對時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)是否顯著地不為零，來檢驗序列的平穩(wěn)性。第51頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五52檢驗樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形隨機時間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）：k=k/0

k是時間序列滯后k期的協(xié)方差，0是方差實際上，對一個隨機過程只有一個實現(xiàn)（樣本），因此，只能計算樣本自相關(guān)函數(shù)（系數(shù)）（Sampleautocorrelationfunction）。第52頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五53樣本自相關(guān)函數(shù)隨著k的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。第53頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五54平穩(wěn)序列的判斷krkkr

k0011平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)非平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)迅速下降到零緩慢下降第54頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五55相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計量Bartlett曾證明:如果時間序列由白噪聲過程生成，則對所有的k>0，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值，1/n為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。第55頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五56Q-統(tǒng)計量確定樣本自相關(guān)函數(shù)rk某一數(shù)值是否足夠接近于0是非常有用的，因為它可檢驗對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)k的真值是否為0的假設(shè)?？蓹z驗對所有k>0，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)（H：1=2=…=k

），這可通過如下QLB統(tǒng)計量進行：其中：rk是殘差序列的k階自相關(guān)系數(shù)，n是觀測值的個數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù)。近似~2（p）第56頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五57Q-統(tǒng)計量H0：序列不存在p階自相關(guān)；H1：序列存在p階自相關(guān)。如果各階Q-統(tǒng)計量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時，各階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0。反之如果在某一滯后階數(shù)p，Q-統(tǒng)計量超過設(shè)定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明殘差序列存在p階自相關(guān)。第57頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五58Q-統(tǒng)計量由于Q-統(tǒng)計量的P值要根據(jù)自由度p來估算，因此，一個較大的樣本容量是保證Q-統(tǒng)計量有效的重要因素。

第58頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五59EViews軟件中的操作方法在方程工具欄選擇View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)以及對應(yīng)于高階序列相關(guān)的Ljung-BoxQ統(tǒng)計量。如果殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計量不顯著，并且有大的P值。第59頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五60第60頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五61

虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負兩倍于估計標準差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個區(qū)域內(nèi)，則在顯著水平為5%的情形下與零沒有顯著區(qū)別。本例1～3階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在3階序列相關(guān)。各階滯后的Q-統(tǒng)計量的P值都小于5%，說明在5%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。第61頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五62時間序列的平穩(wěn)性檢驗2、根據(jù)序列的時間路徑圖和樣本相關(guān)圖判斷3、單位根檢驗第62頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五63二、平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷第63頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五64平穩(wěn)性的簡單圖示判斷給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程。而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

第64頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五65第65頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五66txttxt第66頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五67

例9.1.3:

表9.1.1序列Random1是通過一隨機過程（隨機函數(shù)）生成的有19個樣本的隨機時間序列。

第67頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五第68頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五69第69頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五70序列1容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。第70頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五71序列1根據(jù)Bartlett的理論：k～N(0,1/19)，因此任一rk(k>0)的95%的置信區(qū)間都將是:可以看出:k>0時，rk的值確實落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受k(k>0)為0的假設(shè)。第71頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五72序列1從QLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后17期的計算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。因此，該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。第72頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五73序列2由一隨機游走過程Xt=Xt-1+t生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，第0項取值為0，t是由Random1表示的白噪聲。第73頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五74第74頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五75序列2圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0.48，落在了區(qū)間[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。第75頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五76例9.1.4

檢驗中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性。表9.1.21978~2000年中國支出法GDP（單位：億元）

第76頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五77第77頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五78判斷圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它的非平穩(wěn)性。從滯后21期的QLB統(tǒng)計量看：

QLB(21)=146.23>32.67=2

0.05

（21）拒絕：該時間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。

結(jié)論:1978～2000年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。第78頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五79例9.1.5

檢驗§2.5中關(guān)于人均居民消費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。

原圖樣本自相關(guān)圖第79頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五80判斷從圖形上看：人均居民消費（CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。從滯后14期的QLB統(tǒng)計量看：CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計量計算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。就此來說，運用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。不過，第三節(jié)中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是協(xié)整的。第80頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五81三、平穩(wěn)性的單位根檢驗

（unitroottest）第81頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五821、DF檢驗考慮一階自回歸模型：第82頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五831、DF檢驗第83頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五841、DF檢驗根據(jù)值的不同，可以分三種情況考慮：（1）若＜1，則當(dāng)T→∞時，→0，即對序列的沖擊將隨著時間的推移其影響逐漸減弱，此時序列是穩(wěn)定的。第84頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五851、DF檢驗（2）若＞1，則當(dāng)T→∞時，→∞，即對序列的沖擊隨著時間的推移其影響反而是逐漸增大的，很顯然，此時序列是不穩(wěn)定的。（3）若=1，則當(dāng)T→∞時，=1，即對序列的沖擊隨著時間的推移其影響是不變的，很顯然，序列也是不穩(wěn)定的。

第85頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五861、DF檢驗第86頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五87DF檢驗所以式中的參數(shù)>1或=1時，時間序列是非平穩(wěn)的;相對應(yīng)的是>0或

=0。針對Xt=+Xt-1+t

零假設(shè)H0：=0備擇假設(shè)H1：<0可通過OLS法下的t檢驗完成，但在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布，t檢驗無法使用。第87頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五88DF檢驗第88頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五89

因此，可通過OLS法估計：

Xt=+Xt-1+t并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較。第89頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五90

問題的提出：

在利用Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。前面所描述的單位根檢驗只有當(dāng)序列為AR(1)時才有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設(shè)。在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，或者時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），這樣用OLS法進行估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗無效。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗方法（augmentedDickey-Fullertest），即ADF檢驗來檢驗含有高階序列相關(guān)的序列的單位根。

2、ADF（AugmentDickey-Fuller

）檢驗第90頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五91ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：即通過在模型中增加的滯后項△Xt，以消除殘差的序列相關(guān)性。在檢驗回歸中包括常數(shù)，常數(shù)和線性趨勢，或二者都不包含。第91頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五92H0：=0，即存在一單位根H1:<0實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。何時檢驗拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型1為止。檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應(yīng)的臨界值。ADF檢驗第92頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五93不同模型使用的ADF分布臨界值表2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計量模型ststat第93頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五94續(xù)表：不同模型使用的ADF分布臨界值表2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計量模型statbt第94頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五95ADF檢驗標準1）只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認為時間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則認為時間序列是非平穩(wěn)的。模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。第95頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五96ADF檢驗注意的問題（1）必須為回歸定義合理的滯后階數(shù)。①漸進t檢驗。該種方法是首先選擇一個較大的m值，然后用t檢驗確定系數(shù)是否顯著，如果是顯著的，則選擇滯后項數(shù)為m;如果不顯著，則減少m直到對應(yīng)的系數(shù)值是顯著的。②信息準則。常用的信息準則有AIC信息準則、SC信息準則，通常采用AIC準則來確定給定時間序列模型的滯后階數(shù)。在實際應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。第96頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五97ADF檢驗注意的問題（2）可以選擇常數(shù)和線性時間趨勢，選擇哪種形式很重要，因為檢驗顯著性水平的t統(tǒng)計量在原假設(shè)下的漸進分布依賴于關(guān)于這些項的定義。①如果在檢驗回歸中含有常數(shù)，意味著所檢驗的序列的均值不為0，一個簡單易行的辦法是畫出檢驗序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個偏離0的位置隨機變動，進而決定是否在檢驗時添加常數(shù)項；第97頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五98ADF檢驗注意的問題②如果在檢驗回歸中含線性趨勢項，意味著原序列具有時間趨勢。同樣，決定是否在檢驗中添加時間趨勢項，也可以通過畫出原序列的曲線圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗序列的波動趨勢隨時間變化而變化，那么便可以添加時間趨勢項。第98頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五99例9.1.6

檢驗1978~2000年間中國支出法GDP序列的平穩(wěn)性。1）經(jīng)過嘗試，模型3取了2階滯后：通過拉格朗日乘數(shù)檢驗對隨機誤差項的自相關(guān)性進行檢驗：LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。第99頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五100ADF檢驗從的系數(shù)看，t>臨界值，接受存在單位根的零假設(shè)。時間T的t統(tǒng)計量小于ADF分布表中的臨界值，因此接受不存在趨勢項的假設(shè)。需進一步檢驗?zāi)Ｐ?

。第100頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五101

2）經(jīng)試驗，模型2中滯后項取2階：LM檢驗表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。常數(shù)項的t統(tǒng)計量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數(shù)項的零假設(shè)。需進一步檢驗?zāi)Ｐ?。第101頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五1023)經(jīng)試驗，模型1中滯后項取2階：

LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。可斷定中國支出法GDP時間序列是非平穩(wěn)的。第102頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五103例9.1.7

檢驗§2.5中關(guān)于人均居民消費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。

1)對中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來說，經(jīng)過嘗試，三個模型的適當(dāng)形式分別為：第103頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五104第104頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五105

三個模型中參數(shù)的估計值的t統(tǒng)計量均大于各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。

結(jié)論：人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。第105頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五106

2）對于人均居民消費CPC時間序列來說，三個模型的適當(dāng)形式為：第106頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五107第107頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五108

三個模型中參數(shù)CPCt-1的t統(tǒng)計量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時間序列存在單位根的假設(shè)，因此,可判斷人均居民消費序列CPC是非平穩(wěn)的。第108頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五109四、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程第109頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五1101、單整d階單整（integratedofd）序列：一個時間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，記為I(d)。一階單整（integratedof1）序列：一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，記為I(1)。

I(0)代表一平穩(wěn)時間序列。I(d)在金融、經(jīng)濟時間序列數(shù)據(jù)中是最普遍的，而I(0)則表示平穩(wěn)時間序列。第110頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五1111、單整非單整（non-integrated）：無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的時間序列。現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，只有少數(shù)經(jīng)濟指標的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;大多數(shù)指標的時間序列是非平穩(wěn)的，可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。如一些價格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。第111頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五112例9.1.8

中國支出法GDP的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國支出法GDP是1階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗?zāi)Ｐ蜑椋旱?12頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五113例9.1.9

中國人均居民消費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性。

經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是2階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗?zāi)Ｐ蜑椋?/p>

第113頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五114

同樣地，CPC也是2階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗?zāi)Ｐ蜑椋旱?14頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五115

⒉趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）：如：用中國的勞動力時間序列數(shù)據(jù)與美國GDP時間序列作回歸，會得到較高的R2，但不能認為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結(jié)果我們認為是虛假的。為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。第115頁，共127頁，2022年，5月20日，0點27分，星期五116

引入作為趨勢變量時間的做法，只有當(dāng)趨勢性變量是確定性的（deterministic）而非隨機性的（stochastic），才會是有效的。如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。

⒉趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程第116頁，共127頁，2022年，5月20日