北京理工大學隨機信號分析實驗報告

..本科實驗報告實驗名稱：隨機信號分析實驗課程名稱：隨機信號分析實驗時間：任課教師：實驗地點：實驗教師：實驗類型：□原理驗證■綜合設計□自主創(chuàng)新學生姓名：組號：學院：同組搭檔：專業(yè)：成績：實驗一隨機序列的產生及數字特征估計實驗目的1、學習和掌握隨機數的產生方法。2、實現隨機序列的數字特征估計。實驗原理1、隨機數的產生隨機數指的是各種不同分布隨機變量的抽樣序列〔樣本值序列。進行隨機信號仿真分析時,需要模擬產生各種分布的隨機數。在計算機仿真時,通常利用數學方法產生隨機數,這種隨機數稱為偽隨機數。偽隨機數是按照一定的計算公式產生的,這個公式稱為隨機數發(fā)生器。偽隨機數本質上不是隨機的,而且存在周期性,但是如果計算公式選擇適當,所產生的數據看似隨機的,與真正的隨機數具有相近的統計特性,可以作為隨機數使用。<0,1>均勻分布隨機數是最最基本、最簡單的隨機數。<0,1>均勻分布指的是在[0,1]區(qū)間上的均勻分布,即U<0,1>。實際應用中有許多現成的隨機數發(fā)生器可以用于產生<0,1>均勻分布隨機數,通常采用的方法為線性同余法,公式如下：序列為產生的<0,1>均勻分布隨機數。下面給出了上式的3組常用參數：1、,周期；2、〔IBM隨機數發(fā)生器周期；3、〔ran0周期；由均勻分布隨機數,可以利用反函數構造出任意分布的隨機數。定理1.1若隨機變量X具有連續(xù)分布函數FX<x>,而R為<0,1>均勻分布隨機變量,則有由這一定理可知,分布函數為FX<x>的隨機數可以由<0,1>均勻分布隨機數按上式進行變換得到。2、MATLAB中產生隨機序列的函數〔1<0,1>均勻分布的隨機序列函數：rand用法：x=rand<m,n>功能：產生m×n的均勻分布隨機數矩陣。〔2正態(tài)分布的隨機序列函數：randn用法：x=randn<m,n>功能：產生m×n的標準正態(tài)分布隨機數矩陣。如果要產生服從分布的隨機序列,則可以由標準正態(tài)隨機序列產生?！?其他分布的隨機序列MATLAB上還提供了其他多種分布的隨機數的產生函數,下表列出了部分函數。MATLAB中產生隨機數的一些函數3、隨機序列的數字特征估計對于遍歷過程,可以通過隨機序列的一條樣本函數來獲得該過程的統計特性。這里我們假定隨機序列X<n>為遍歷過程,樣本函數為x<n>,其中n=0,1,2,…,N-1。那么,X<n>的均值、方差和自相關函數的估計為利用MATLAB的統計分析函數可以分析隨機序列的數字特征?！?均值函數函數：mean用法：m=mean<x>功能：返回按上面第一式估計X<n>的均值,其中x為樣本序列x<n>?！?方差函數函數：var用法：sigma2=var<x>功能：返回按上面第二式估計X<n>的方差,其中x為樣本序列x<n>,這一估計為無偏估計?！?互相關函數函數：xcorr用法：c=xcorr<x,y>c=xcorr<x>c=xcorr<x,y,'opition'>c=xcorr<x,'opition'>功能：xcorr<x,y>計算X<n>與Y<n>的互相關,xcorr<x>計算X<n>的自相關。option選項可以設定為：'biased'有偏估計,即'unbiased'無偏估計,即按上面第三式估計。'coeff'm=0時的相關函數值歸一化為1。'none'不做歸一化處理。三、實驗內容1、采用線性同余法產生均勻分布隨機數1000個,計算該序列均值和方差與理論值之間的誤差大小。改變樣本個數重新計算。線性同余法的公式如下：實驗代碼：Num=input<'Num='>;N=2^31;k=2^16+3;Y=zeros<1,num>;X=zeros<1,num>;Y<1>=1;fori=2:numY<i>=mod<k*Y<i-1>,N>;endX=Y/N;a=0;b=1;m0=<a+b>/2;sigma0=<b-a>^2/12;m=mean<X>;sigma=var<X>;delta_m=abs<m-m0>;delta_sigma=abs<sigma-sigma0>;plot<X,'k'>;xlabel<'n'>;ylabel<'X<n>'>;delta_mdelta_sigmaaxistight實驗結果：Num=1000delta_=0.0110delta_sigma=0.0011Num=5000delta_m=2.6620e-04delta_sigma=0.0020實驗結果分析：樣本值越大,實際值越接近理論值,誤差越小。2、參數為的指數分布的分布函數為利用反函數法產生參數為0.5的指數分布隨機數1000個,測試其方差和相關函數。實驗代碼：R=rand<1,1000>;lambda=0.5;X=-log<1-R>/lambda;DX=var<X>;[Rm,m]=xcorr<X>;subplot<211>;plot<X,'k'>;xlabel<'n'>;ylabel<'X<n>'>;axistight;subplot<212>;plot<m,Rm,'k'>;xlabel<'m'>;ylabel<'R<m>'>;axistight;實驗結果：DX=4.1201實驗結果分析：方差的理論值應為1/<0.5^2>=4,實際值為4.1201,與其基本一致,有一定偏差。3、產生一組N<1,4>分布的高斯隨機數〔1000個樣本,估計該序列的均值、方差和相關函數。產生高斯分布的隨機數可使用函數normrnd,實驗代碼：X=normrnd<1,2,[1,1000]>;Mx=mean<X>;Dx=var<X>;[Rm,m]=xcorr<X>;subplot<211>;plot<X,'k'>;xlabel<'n'>;ylabel<'X<n>'>;axistight;subplot<212>;plot<m,Rm,'k'>;xlabel<'m'>;ylabel<'R<m>'>;axistight;MxDx實驗結果：Mx=0.9937Dx=3.8938實驗結果分析：理論上,均值為1,方差為4。實驗中的均值為0.9937,方差為3.8938。在誤差允許范圍內,理論值和實驗值基本相同。四、實驗心得體會本次隨機信號分析實驗,用于隨機序列的產生和數字特征的估計,同樣是用matlab的平臺實現。通過這次實驗,學習和掌握隨機數的產生方法、實現隨機序列的數字特征估計,并用matlab產生相應的圖形,更直觀的了解了相關的知識。本次實驗的難點在于用線性同余法產生隨機序列,在實際編程中需要用到一個FOR循環(huán),起初并不熟悉其語法特征,經過反復的修改,運行成功。實驗二隨機過程的模擬與數字特征一、實驗目的1、學習利用MATLAB模擬產生隨機過程的方法。2、熟悉和掌握特征估計的基本方法及其MATLAB實現。二、實驗原理1、正態(tài)分布白噪聲序列的產生MATLAB提供了許多產生各種分布白噪聲序列的函數,其中產生正態(tài)分布白噪聲序列的函數為randn。函數：randn用法：x=randn<m,n>功能：產生m×n的標準正態(tài)分布隨機數矩陣。如果要產生服從分布的隨機序列,則可以由標準正態(tài)隨機序列產生。如果N<0,1>,則。2、相關函數估計MATLAB提供了函數xcorr用于自相關函數的估計。函數：xcorr用法：c=xcorr<x,y>c=xcorr<x>c=xcorr<x,y,'opition'>c=xcorr<x,'opition'>功能：xcorr<x,y>計算X<n>與Y<n>的互相關,xcorr<x>計算X<n>的自相關。option選項可以設定為：'biased'有偏估計。'unbiased'無偏估計。'coeff'm=0時的相關函數值歸一化為1。'none'不做歸一化處理。3、功率譜估計MATLAB函數periodogram實現了周期圖法的功率譜估計。函數：periodogram用法：[Pxx,w]=periodogram<x>[Pxx,w]=periodogram<x,window>[Pxx,w]=periodogram<x,window,nfft>[Pxx,f]=periodogram<x,window,nfft,fs>periodogram<...>功能：實現周期圖法的功率譜估計。其中：Pxx為輸出的功率譜估計值；f為頻率向量；w為歸一化的頻率向量；window代表窗函數,這種用法對數據進行了加窗,對數據加窗是為了減少功率譜估計中因為數據截斷產生的截斷誤差,下圖列出了產生常用窗函數的MATLAB函數。nfft設定FFT算法的長度；fs表示采樣頻率；三、實驗內容1、按如下模型產生一組隨機序列其中是均值為1,方差為4的正態(tài)分布白噪聲序列。估計過程的自相關函數和功率譜。實驗代碼：y0=randn<1,500>;%產生一長度為500的隨機序列y=1+2*y0;x<1>=y<1>;n=500;fori=2:1:nx<i>=0.8*x<i-1>+y<i>;%按題目要求產生隨機序列x<n>=0.8x<n-1>+w<n>endsubplot<311>;plot<x>;title<'x<n>'>;subplot<312>;c=xcorr<x>;%用xcorr函數求x<n>的自相關函數plot<c>;title<'R<n>'>;p=periodogram<x>;%用periodogram函數求功率譜密度subplot<313>;plot<p>;title<'S<w>'>;實驗結果：上圖中分別為長度為500的樣本序列、序列的自相關函數、序列的功率譜。2、設信號為其中,為正態(tài)分布白噪聲序列,試在N=256和N=1024點時,分別產生隨機序列x<n>,畫出x<n>的波形并估計x<n>的相關函數和功率譜。實驗代碼：〔1、N=256時N=256;w=randn<1,N>;%用randn函數產生一個長度為256的正態(tài)分布白噪聲序列n=1:1:N;f1=0.05;f2=0.12;x=sin<2*pi*f1*n>+2*cos<2*pi*f2*n>+w<n>;%產生題目所給信號R=xcorr<x>;%求x<n>的自相關函數p=periodogram<x>;%求x的功率譜subplot<311>;plot<x>;title<'x<n>'>;subplot<312>;plot<R>;title<'R<n>'>;subplot<313>;plot<p>;title<'S<w>'>;實驗結果：上圖中分別為長度為256的樣本序列、序列的自相關函數、序列的功率譜?！?、N=1024時將上述第一行代碼改為N=1024；即可。實驗結果：上圖中分別為長度為1024的樣本序列、序列的自相關函數、序列的功率譜。可明顯看出,功率譜集中在兩個頻率分量處。四、實驗心得體會這次實驗學會了在MATLAB中求解并繪制隨機序列的自相關函數和功率譜密度。用MATLAB可以用具體的函數來求自相關函數和功率譜,極大的方便了學習過程。通過本次實驗,學習了利用MATLAB模擬產生隨機過程的方法并且熟悉和掌握特征估計的基本方法及其MATLAB實現。實驗三隨機過程通過線性系統的分析一、實驗目的1、理解和分析白噪聲通過線性系統后輸出的特性。2、學習和掌握隨機過程通過線性系統后的特性,驗證隨機過程的正態(tài)化問題。二、實驗原理1、白噪聲通過線性系統設連續(xù)線性系統的傳遞函數為H<>或H<s>,輸入白噪聲的功率譜密度為SX<>=N0/2,那么系統輸出的功率譜密度為SY<ω>=|H<ω>|2?N0輸出自相關函數為RY<τ>=N04π-∞∞|輸出相關系數為γy輸出相關時間為τ0=0∞輸出平均功率為EY2(τ)=N02π上述式子表明,若輸入端是具有均勻譜的白噪聲,則輸出端隨機信號的功率譜主要由系統的幅頻特性|H<ω>|決定,不再是常數。2、等效噪聲帶寬在實際中,常常用一個理想系統等效代替實際系統的H<ω>,因此引入了等效噪聲帶寬的概念,他被定義為理想系統的帶寬。等效的原則是,理想系統與實際系統在同一白噪聲的激勵下,兩個系統的輸出平均功率相等,理想系統的增益等于實際系統的最大增益。實際系統的等效噪聲帶寬為?ωe=1|H(ω)|max20或?ωe=3、線性系統輸出端隨機過程的概率分布〔1正態(tài)隨機過程通過線性系統若線性系統輸入為正態(tài)過程,則該系統輸出仍為正態(tài)過程。〔2隨機過程的正態(tài)化隨機過程的正態(tài)化指的是,非正態(tài)隨機過程通過線性系統后變換為正態(tài)過程。任意分布的白噪聲通過線性系統后輸出是服從正態(tài)分布的；寬帶噪聲通過窄帶系統,輸出近似服從正態(tài)分布。三、實驗內容1、仿真一個平均功率為1的白噪聲帶通系統,白噪聲為高斯分布,帶通系統的兩個截止頻率分別為3kHz和4kHz,估計輸出的自相關函數和功率譜密度函數?！布僭O采樣頻率為10kHz實驗代碼：Fs=10000;%抽樣頻率為10kHzx=randn<1000,1>;%產生隨機序列,模擬高斯白噪聲figure<1>;subplot<3,1,1>;plot<x>;gridon;xlabel<'t'>;subplot<3,1,2>;x_corr=xcorr<x,'unbiased'>;%計算高斯白噪聲的自相關函數plot<x_corr>;gridon;subplot<3,1,3>;[Pxx,w]=periodogram<x>;%計算功率譜密度x_Px=Pxx;plot<x_Px>;gridon;figure<2>;subplot<2,1,1>;[x_pdf,x1]=ksdensity<x>;%高斯白噪聲一維概率密度函數plot<x1,x_pdf>;gridon;subplot<2,1,2>;f=<0:999>/1000*Fs;X=fft<x>;mag=abs<X>;%隨機序列的頻譜plot<f<1:1000/2>,mag<1:1000/2>>;gridon;xlabel<'f/Hz'>;figure<3>;subplot<3,1,1>;[b,a]=ellip<10,0.5,50,[3000,4000]*2/Fs>;[H,w]=freqz<b,a>;%帶通濾波器plot<w*Fs/<2*pi>,abs<H>>;gridon;xlabel<'f/Hz'>;ylabel<'H<w>'>;subplot<3,1,2>;y=filter<b,a,x>;[y_pdf,y1]=ksdensity<y>;%濾波后的概率密度函數plot<y1,y_pdf>;gridon;y_corr=xcorr<y,'unbiased'>;%濾波后自相關函數subplot<3,1,3>;plot<y_corr>;gridon;figure<4>;Y=fft<y>;magY=abs<Y>;%隨機序列濾波后頻譜subplot<2,1,1>;plot<f<1:1000/2>,magY<1:1000/2>>;gridon;xlabel<'f/Hz'>;subplot<2,1,2>;nfft=1024;index=0:round<nfft/2-1>;ky=index.*Fs./nfft;window=boxcar<length<y_corr>>;[Pyy,fy]=periodogram<y_corr,window,nfft,Fs>;%濾波后高斯白噪聲功率譜y_Py=Pyy<index+1>;plot<ky,y_Py>;gridon;實驗結果：2、設白噪聲通過下圖所示的RC電路,分析輸出的統計特性?！?試推導系統輸出的功率譜密度、相關函數、相關時間和系統的等效噪聲帶寬?！?采用MATLAB模擬正態(tài)分布白噪聲通過上述RC電路,觀察輸入和輸出的噪聲波形以及輸出噪聲的概率密度?！?模擬產生均勻分布的白噪聲通過上述RC電路,觀察輸入和輸出的噪聲波形以及輸出噪聲的概率密度?！?改變RC電路的參數〔電路的RC值,重做〔2和〔3,與之前的結果進行比較?！?、由圖中所示電路,根據電路分析的相關知識,可推導出輸出功率譜密度為：相關函數為：相關時間為：等效噪聲帶寬為：〔2、實驗代碼：R=100;C=0.01;b=1/<R*C>;n=1:1:500;h=b*exp<-n*b>;%RC電路的沖擊響應x=randn<1,1000>;%產生正態(tài)分布的白噪聲y=conv<x,h>;[fyy1]=ksdensity<y>%求輸出噪聲的概率密度subplot<3,1,1>;plot<x>;title<'x<n>'>;subplot<3,1,2>;plot<y>;title<'y<n>'>;subplot<3,1,3>;plot<fy>;title<'fy'>;實驗結果：〔3、實驗代碼：R=100;C=0.01;b=1/<R*C>;n=1:1:500;h=b*exp<-n*b>;x=rand<1,1000>;%均勻分布的白噪聲y=conv<x,h>;[fyy1]=ksdensity<y>;subplot<3,1,1>;plot<x>;title<'x<n>'>;subplot<3,1,2>;plot<y>;title<'y<n>'>;subplot<3,1,3>;plot<fy>;title<'fy'>;實驗結果：〔4、a、改變R、C值為：R=200,C=0.01;實驗結果：正態(tài)分布均勻分布......b、改變R、C的值為：R=10,C=0.01;實驗結果：正態(tài)分布均勻分布實驗結果分析：顯然,系統相關時間與系統帶寬成反比。從輸入及輸出波形可以看出,正態(tài)隨機過程通過一個線性系統后,輸出仍為正態(tài)分布。而對于任意分布的白噪聲,通過一個線性系統后,輸出也服從正態(tài)分布。四、實驗心得體會本次實驗是關于隨機信號通過線性系統的,可以看出,白噪聲通過線性系統后,輸出服從正態(tài)分布,從實踐上驗證了課本的理論,通過本次實驗,理解和分析白噪聲通過線性系統后輸出的特性,并且學習和掌握隨機過程通過線性系統后的特性,驗證隨機過程的正態(tài)化問題。實驗四窄帶隨機過程的產生及其性能測試一、實驗目的1、基于隨機過程的萊斯表達式產生窄帶隨機過程。2、掌握窄帶隨機過程的特性,包括均值〔數學期望、方差、相關函數及功率譜密度等。二、實驗原理1.窄帶隨機過程的萊斯表達式任何一個實平穩(wěn)窄帶隨機過程X<t>都可以表示為上式稱為萊斯表達式,根據上式可以模擬產生窄帶隨機過程,具體過程下圖所示。2.窄帶隨機過程包絡與相位的概率密度包絡的概率密度為fA相位的概率密度為fφφ3.窄帶隨機過程包絡平方的概率密度包絡平方的概率密度為fU三、實驗內容1、按上圖所示結構框圖,基于隨機過程的萊斯表達式,用MATLAB產生一滿足條件的窄帶隨機過程。實驗代碼：n=1:1:1000;h=exp<-n>;c1=randn<1,1000>;a=conv<c1,h>;c2=randn<1,1000>;%產生兩個正態(tài)分布的高斯白噪聲b=conv<c2,h>;%通過低通濾波器fc=10000;x=zeros<1,1000>;fori=1:1000%卷積結果相加,得到窄帶隨機過程x<i>=a<i>*cos<2*pi*fc*i>-b<i>*sin<2*pi*fc*i>;endplot<x>;title<'窄帶隨機過程'>;實驗結果：2、畫出該隨機過程的若干次實現,觀察其形狀。實驗結果：3、編寫MATLAB程序計算該隨機過程的均值函數、自相關函數、功率譜、包絡、包絡平方及相位的一維