初三數(shù)學三角形知識點總結歸納

三角形的定義三角形是多邊形中邊數(shù)最少的一種。它的定義是：由不在同一條直線上的三條線段首尾按序相接構成的圖形叫做三角形。三條線段不在同一條直線上的條件，假如三條線段在同一條直線上，我們以為三角形就不存在。此外三條線段一定首尾按序相接，這說明三角形這個圖形必定是關閉的。三角形中有三條邊，三個角，三個極點。三角形中的主要線段三角形中的主要線段有：三角形的角均分線、中線和高線。這三條線段一定在理解和掌握它的定義的基礎上，經(jīng)過作圖加以嫻熟掌握。并且對這三條線段一定明確三點：1）三角形的角均分線、中線、高線均是線段，不是直線，也不是射線。2）三角形的角均分線、中線、高線都有三條，角均分線、中線，都在三角形內部。而三角形的高線在當△ABC是銳角三角形時，三條高都是在三角形內部，鈍角三角形的高線中有兩個垂足落在邊的延伸線上，這兩條高在三角形的外面，直角三角形中有兩條高恰巧是它的兩條直角邊。（3）在畫三角形的三條角均分線、中線、高時可發(fā)現(xiàn)它們都交于一點。在此后我們能夠給出詳細證明。此后我們把三角形三條角均分線的交點叫做三角形的心里，三條中線的交點叫做三角形的重心，三條高的交點叫做三角形的垂心。三角形的按邊分類三角形的三條邊，有的各不相等，有的有兩條邊相等，有的三條邊都相等。所以三角形按的相等關系分類以下：等邊三角形是等腰三角形的一種特例。判斷三條邊可否構成三角形的依照ABC的三邊長分別是a、b、c，依據(jù)公義“連結兩點的全部線中，線段最短”。可知：③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a定理：三角形隨意兩邊的和大于第三邊。由②、③得b―a＜c，且b―a＞―c故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。進而獲得推論：三角形隨意兩邊的差小于第三邊。上述定理和推論其實是一個問題的兩種表達方法，定理包括了推論，推論也能夠取代定理。此外，定理和推論是判斷三條線段可否構成三角形的依照。如：三條線段的長分別是5、4、3便能構成三角形，而三條線段的長度分別是5、3、1，就不可以構成三角形。判斷三條邊可否構成三角形對于某一條邊來說，如一邊a，只需知足|b-c|＜a＜b+c，則可構成三角形。這是因為|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便知足隨意兩邊之和大于第三邊的條件。反過來，只需a、b、c三條線段知足能構成三角形的條件，則必定有|b-c|＜a＜b+c。在特別狀況下，假如已知線段三角形。同時假如已知線段

a最大，只需知足b+c>a便可判斷a、b、c三條線段能夠構成a最小，只需知足|b-c|＜a，就能判斷三條線段a、b、c構成三角形。證明三角形的內角和定理除了課本上給出的證明方法外還有多種證法，這里再介紹兩種證法的思路：方法1如圖，過極點A作DE‖BC，運用平行線的性質，可得∠B＝∠2，∠C＝∠1，進而證得三角形的內角和等于平角∠DAE。方法2如圖，在△ABC的邊BC上任取一點D，過D作DE‖AB，DF‖AC，分別交AC、AB于E、F，再運用平行線的性質可證得△ABC的內角和等于平角∠BDC。三角形按角分類依據(jù)三角形的內角和定理可知，三角形的任一個內角都小于180°，其內角可能都是銳角，也可能有一個直角或一個鈍角。三角形按角可分類以下：依據(jù)三角形的內角和定理可有以下推論：推論1直角三角形的兩個銳角互余。推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。同時我們還很簡單獲得以下幾條結論：（1）一個三角形最多有一個直角或鈍角。（2）一個三角形起碼有兩個內角是銳角。（3）一個三角形起碼有一個角等于或小于60°（不然，若三個內角都大于60°；則這個三角形的內角和大于180°，這與定理矛盾）。(4)三角形有六個外角，此中兩兩是對頂角相等，所以三角形的三個外角和等于360°。全等三角形的性質全等三角形的兩個基天性質1）全等三角形的對應邊相等。2）全等三角形的對應角相等。確定兩個全等三角形的對應邊和對應角如何依據(jù)已知條件正確快速地找出兩個全等三角形的對應邊和對應角？其方法主要可歸納為：1）若兩個角相等，這兩個角就是對應角，對應角的對邊是對應邊。2）若兩條邊相等，這兩條邊就是對應邊，對應邊的對角是對應角。3）兩個對應角所夾的邊是對應邊。4）兩個對應邊所夾的角是對應角。由全等三角形的定義判斷三角形全等由全等三角形的定義知，要判斷兩個三角形全等，需要知道三條邊，三個角對應相等，但在應用中，利用定義判斷兩個三角形全等倒是十分麻煩的，因此需要找到能完整確定一個三角形的條件，以便用較少的條件，簡易的方法來判斷兩個三角形的全等。判斷兩個三角形全等的邊、角、邊公義內容：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（即SAS）。這個判斷方法是以公義形式給出的，我們能夠經(jīng)過實踐操作去考證它，但考證不等于證明，這點要劃分開來。公義中的題設條件是三個元素：邊、角、邊，意指兩條邊和這兩條邊所夾的角對應相等。不可以理解成兩邊和此中一個角相等。不然，這兩個三角形就不必定全等。比如在△ABC和△A′B′中C′，如右圖，AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=A′C′可是△，ABC不全等于△A′B′。C′又如，右圖，在△ABC和△A′B′中C′，AB＝A′B，′∠B=∠B′，AC＝A′C，′但△ABC和△A′B′C′不全等。原由就在于兩邊和一角對應相等不是公義中所要求的兩邊和這兩條邊的夾角對應相等的條件。說明：從以上兩例能夠看出，SAS≠SSA。判斷兩個三角形全等的第二個公義內容：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（即ASA）。這個公義也應當經(jīng)過繪圖和實驗去進一步理解它。公義重申了兩角和這兩角的夾邊對應相等，這里實質上包括了一個次序關系。千萬不可以理解成為在此中一個三角形中是兩角和其夾邊，而在另一個三角形中倒是兩角和此中一角的對邊。如右圖，在△ABC和△A′B′中C′，A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C，′但這兩個三角形明顯不全等。原由就是沒有注意公義中“對應”二字。公義一中的邊、角、邊，其次序是不可以改變的，即SAS不可以改為SSA或ASS。而ASA公義卻能改變其次序，可改變成AAS或SAA，但兩個三角形之間的“對應”二字不可以變。同時這個公義反應出有兩個角對應相等，實質上是在兩個三角形中有三個角對應相等，故在應用過程中只須注意有一條對應邊相等就行了。由公義二可知，有一個銳角與一條邊對應相等的兩個直角三角形全等判斷兩個三角形全等的邊、邊、邊公義公義：三條邊對應相等的兩個三角形全等（即邊、邊、邊公義）。邊、邊、邊公義在判斷兩個三角形全等時，其對應邊就是相等的兩條邊。這個公義告訴我們，只需一個三角形的三邊長度確定了，則這個三角形的形狀就完整確定了。這就是三角形的穩(wěn)固性。判斷兩個三角形全等經(jīng)過以上三個公義的學習，能夠知道，在判斷兩個三角形全等時，無需依據(jù)定義去判斷兩個三角形的三角和三邊對應相等，而只需要此中三對條件。三個角和三條邊這六個條件中任取三個條件進行組合。不過有以下狀況：（1）三邊對應相等。（2）兩邊和一角對應相等。（3）一邊和兩角對應相等。（4）三角對應相等。HL公義我們知道，知足邊、邊、角對應相等的兩個三角形不必定全等?？墒牵瑢τ趦蓚€直角三角形來說，這個結論卻必定建立。斜邊、直角邊公義：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡寫為HL）。這個公義的題設實質上也是三個元素對應相等，其自己包括了一個直角相等。這種邊、邊、角對應相等的兩個三角形全等建立的核心是有一個角是直角的條件。因為直角三角形是一種特別的三角形，所以過去學過的四種判斷方法對于直角三角形照舊合用。角均分線的性質定理和逆定理性質定理：在角均分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的均分線上。點在角均分線上點到這個角的兩邊距離相等。用符號語言表示角均分線的性質定理和逆定理性質定理：∵P在∠AOB的均分線上PD⊥OA，PE⊥OB∴PD＝PE逆定理：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB∴點P在∠AOB的均分線上。角均分線定義假如一條射線把一個角分紅兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的均分線。角的均分線是到角兩邊距離相等的全部點的會合。三角形角均分線性質三角形三條均分線交于一點，并且交點到三邊距離相等?；タ姑}在兩個命題中，假如第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互抗命題，假如把此中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的抗命題。原命題和抗命題的真假性每個命題都有抗命題，但原命題是真命題，而它的抗命題不必定是真命題，原命題和抗命題的真假性一般有四種狀況：真、假；真、真；假、假；假、真?；ツ娑ɡ砑偃缫粋€定理的抗命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，此中一個叫做另一個的逆定理。每個命題都有抗命題，但不是全部的定理都有逆定理尺規(guī)作圖限制用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)的作圖方法叫尺規(guī)作圖?；咀鲌D最基本最常有的尺規(guī)作圖稱之為基本作圖，主要有以下幾種：1）作一個角等于已知角；2）均分已知角；3）過一點作已知直線的垂線；4）作已知線段的垂直均分線；5）過直線外一點作已知直線的平行線。相關觀點有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形。三邊都相等的三角形稱為等邊三角形，又稱為正三角形。有一個直角的等腰三角形稱為等腰直角三角形。等邊三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。等腰三角形的相關觀點等腰三角形中，相等的兩邊稱為腰，另一邊稱為底邊，兩腰的夾角稱為頂角，底邊上的兩個角稱為底角。等腰三角形的主要性質兩底角相等。如圖，ABC中AB＝AC，取BC中點D，連結AD，簡單證明：ABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。如圖，ABC中為等邊三角形，那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，由CA＝CB，得∠A＝∠B，于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°如圖，ABC中AB＝AC，且AD均分∠BAC，那么由ABD≌ACD，可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，但∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，進而AD⊥BC，由此又可獲得此外兩個重要推論。兩個重要推論等腰三角形頂角的均分線垂直且均分底邊；等邊三角形各內角相等，且都等于60°。等腰三角形性質及其推論的另一種闡述方法三角形中，相等的邊所對的角相等。等腰三角形頂角的均分線、底邊上的中線和高三線合而為一。等腰三角形的判斷定理及其兩個推論的核心都可歸納為等角平等邊。它們都是證明兩條線段相等的重要方法。推論3在直角三角形中，假如一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。簡單證明：這個推論的抗命題也是正確的。即：在直角三角形中，假如一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。運用利用等腰三角形的判斷定理和性質定理簡單證明結論：“在一個三角形內，假如兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角也較大；反過來，在一個三角形中，假如兩個角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大?！睂ΨQ軸及中心線段的垂直均分線把線段分為相等的兩部分。線段的中點就是它的中心，此后要學習“線段是對于中點對稱的中心圖形”。線段是以它的中垂線為對稱軸的圖形。三線合一的定理的逆定理以下圖，線段中垂線的性質定理的幾何語言為：，于是能夠用來判斷等腰三角形，其定理實質上是三線合必定理的逆定理?！熬嚯x”不一樣，“心”也不一樣“線段垂直均分線的性質定理與逆定理中的“距離”是指“兩點間的距離”，而角均分線的性質定理與逆定理中的“距離”是指“點到直線的距離”。三角形三條角均分線訂交于一點，這點到三邊的距離相等(這點稱為三角形的心里)。三角形三邊的垂直均分線訂交于一點，這點到三個極點的距離相等(這點稱為三角形的外心)。重要的軌跡圖(A）所示。到角的兩邊OA、OB的距離相等的點P1、P2，P3構成一條射線OP，即點的會合。如圖(B)所示，到線段AB的兩頭點的距離相等的全部點P1、P2、P3構成一條直線P1P2，所以這條直線能夠當作動點形成的“軌跡”。第十三節(jié)軸線稱和軸對稱圖形軸對稱把一個圖形沿著某一條直線折疊，假如它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形叫做對于這條直線對稱，也稱軸對稱。依據(jù)定義，兩個圖形和假如對于直線l軸對稱，則：1）和這兩個圖形的大小及形狀完整同樣。2）把此中一個圖形沿l翻折后，和應完整重合，自然兩個圖形中的相關對應點也應重合。事實上，直線l是兩個軸對稱圖形中對應點連線的垂直均分線。所以簡單獲得以下性質：性質1對于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。性質2假如兩個圖形對于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直均分線。性質3兩個圖形對于某直線對稱，假如它們的對應線段或延伸線訂交，那么交點必在對稱軸上。不難看出，假如兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直均分，那么這兩個圖形對于這條直線對稱。軸對稱圖形假如一個圖形沿著一條直線翻折，直線兩旁的部分能夠相互重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。軸對稱和軸對稱圖形的差別和聯(lián)系差別①軸對稱是指兩個圖形對于某條直線對稱，而軸對稱圖形是一個圖形對于某條直線對稱。②軸對稱的對應點分別在兩個圖形上，而軸對稱圖形中的對應點都在這一個圖形上。③軸對稱中的對稱軸可能在兩個圖形的外邊，而軸對稱圖形中的對稱軸必定過這個圖形。聯(lián)系①都是沿著某一條直線翻折后兩邊能夠完整重合。②假如把軸對稱的兩個圖形當作是一個整體，那么這個整體反應出的圖形即是一個軸對稱圖形；反過來，假如把一個軸對稱圖形中對于對稱軸的兩邊部分當作是兩個圖形，那么這兩部分對應的兩個圖形則對于這條對稱軸而成軸對稱。第十四節(jié)勾股定理直角三角形直角三角形中，兩銳角互余，夾直角的兩邊叫直角邊，直角的對邊叫斜邊，斜邊最長。等腰直角三角形等腰直角三角形是直角三角形中的特例。也是等腰三角形中的特例。等腰直角三角形的兩個底角都等于45°，頂角等于90°，相等的兩條直角邊是腰。勾股定理直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即，這就是勾股定理。判斷直角三角形假如ABC的三邊長為a、b、c，且知足，那么ABC是直角三角形，此中∠C＝90°。第十五節(jié)勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判斷定理。即：在△ABC中，若a2＋b2＝c2，則△ABC為Rt△。如何判斷一個三角形是不是直角三角形第一求出最大邊（如c）?？甲Cc2與a2＋b2能否擁有相等關系。若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C＝90°的直角三角形。若c2≠a2＋b2，則△ABC不是直角三角形。**********************攻關秘技****方法1：證明“文字表達的幾何命題”的方法這種題目證明起來較一般幾何題要難，但仍是有必定的思路和方法，一般先對題目進行整體剖析，剖析內容大概分為以下四點，而后逐漸解決。1）剖析命題的題設和結論；2）聯(lián)合題設和結論畫出圖形；3）綜合題設結論和圖形寫出已知、求證；4）進行證題剖析。方法2：等腰三角形的邊角求值法在解等腰三角形的邊角求值題時，應試慮到各樣可能的狀況，還要清除不可以構成三角形的情況。特別在解決線段或角的和差倍半關系時，常利用合成法或分解法，借助增添協(xié)助線來達成。方法3：判斷一個三角形是直角三角形的方法判斷一個直角三角形可利用勾股定理的逆定理、線段的垂直均分線性質或直角三角形的定義等，這些方法都要求掌握并能靈巧運用。方法4：作圖題幾何作圖題的每一步都一定有根有據(jù)，所以就要求我們掌握好已學過的公義、定理等。要掌握好尺規(guī)作圖，還要多畫多練。知識點：全等三角形的判斷與性質方法：剖析法能力：剖析與解決問題的能力難度：中等知識點：全等三角形；角均分線方法：合成法；分解法能力：剖析與解決問題的能力；邏輯推理能力難度：中等偏難知識點：等腰直角三角形的性質；線段的垂直均分線性質；勾股定理方法：綜合法能力：剖析與解決問題的能力難度：中等偏難知識點：線段的性質方法：數(shù)形聯(lián)合法能力：空間想象能力；剖析與解決問題的能力難度：中等偏難專題1：一題多問、一題多圖和多題一解提升剖析問題和解決問題能力的方法是多種多樣的，而仔細的設計課本中例題、習題的變式，發(fā)掘其潛能也是方法之一。課本中的例題、習題為中考命題供給了豐富的源泉，它們具有豐富的內涵，在由知識轉變成能力上擁有示范性和啟迪性，在解題思路和方法上擁有典型性和代表性。假如我們不以獲得解答為知足，而是在解完以后，深入此中作進一步的發(fā)掘和多方向探究，不單可獲得一系列的新命題，也可從“題?！敝薪饷摮鰜恚_到事半功倍的成效。并且經(jīng)過不一樣角度、不一樣方向去思慮問題，探究不一樣的解答方案，進而拓寬了思路，培育了思想的靈巧性和應變能力。專題2：利用擴、剖、串、改提升解題能力學習幾何時，感覺例題勤學易懂，但對略加變化拓寬引申的問題一籌莫展，原由是把例題的學習當作是孤立的學一道題，學完就了事，以致解題時缺少應變能力，但假如平常能重視對題目的擴大、解剖、串連和改編，就能較好地解決這一問題。1．擴大：將原題條件拓展，使結論更為豐富充分。2．解剖：剖析原題，將較復雜的圖形肢解為若干個基本圖形，使問題化隱為顯。3．串連：由例題的形式（條件、結論等），聯(lián)想與它相像、鄰近、相反的問題。4．改編：改變原題的條件形式，探究結論能否建立？專題3：剖析、綜合、協(xié)助線我們研究不等式的相關問題時，會發(fā)現(xiàn)好多奇妙的方法，還會不停學習掌握類比的數(shù)學思想，形數(shù)聯(lián)合的思想，從未知向已知轉變的化歸思想，經(jīng)過研究這些不停變化的問題，全面掌握不等式及不等式組的解法，進而提升我們剖析問題、解決問題的能力。專題4：不等式的若干應用在平面幾何里，證題思路主要有：（1）剖析法，即從結論下手，逐漸逆推，直至達到已知事實后為止。（2）綜合法，先從已知條件下手，運用已學過的公式、定理、性質等推出證明的結論。（3）兩頭湊，就是將綜合法和剖析法有機地聯(lián)合起來思慮：一方面“從已知推可知”，從已知看能夠推出哪些結論；另一方面“由未知看需知”，從所求結論逆推看需要什么條件，一旦可知與需知交流，證題思路即有了。增添協(xié)助線是證明幾何題的重要手段，也是學習中的難點之一。專題5：幾何證題的基本方法有兩種：一種是從條件出發(fā)，經(jīng)過一系列已確定的命題逐漸向前推演，直抵達到證題目的，簡言之，這是由因導果的方法，我們稱之為直接證法或綜合法，綜合法證題的程序以下：欲證AB，因