《算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》教學(xué)活動(dòng)大綱

~~一、課程目標(biāo)

《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)大綱(288,161、課程性質(zhì)數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，它是一系列后繼課程如微分方程，微分幾何，2、教學(xué)方法:課堂講授和練習(xí)結(jié)合為主3、課程學(xué)習(xí)目標(biāo)和基本要求通過(guò)教學(xué)與練習(xí)，要求學(xué)生掌握微積分的基本概念，基本理論,基本思想方法和基本運(yùn)算，并獲得運(yùn)用這些知識(shí)的能力。4、課程學(xué)時(shí)：本課程的安排三學(xué)期授課，分為數(shù)學(xué)分析 (上)、(中)、(下)，總學(xué)時(shí)為90+108+90，學(xué)分為5+6+55、課程類型：專業(yè)基礎(chǔ)課二．教學(xué)內(nèi)容1、 集合與映射：集合、子集、余集，集合的并、交、差，集合運(yùn)算的交換律、結(jié)合律分配律，笛卡兒乘積，映射、滿射、單射、雙射、逆映射，像與逆像，映射的復(fù)合映射的限制與延拓，一元函數(shù)，函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合以及反函數(shù)，函數(shù)的圖象，初等函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性與凸性。2、極限與連續(xù)：數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的唯一性，收斂數(shù)列的有界性，極限的四則運(yùn)算，極限的不等式，單調(diào)有界原理，數(shù)e，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量，函數(shù)極限的定義，與數(shù)列極限性質(zhì)相平行的函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，單側(cè)極限與無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限，復(fù)合函數(shù)的極限，兩個(gè)重要的極限，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的階，函數(shù)的連續(xù)與間斷，單側(cè)連續(xù)，函數(shù)連續(xù)的局部性質(zhì)，連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。間斷點(diǎn)的分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)連續(xù)的整體性質(zhì)。一致連續(xù)的概念和cantuo定理.3、導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，參數(shù)方程所表示的函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，單側(cè)導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，Leibniz公式。線性函數(shù)與微分，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分的四則運(yùn)算，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的微分，一階微分形式的不變性，高階微分。4Taylor公式，Taylor公式的Peano余項(xiàng)及Lagrange余項(xiàng)。某些初等函數(shù)的Taylor凸性，拐點(diǎn)的判定，漸近線，函數(shù)的作圖，曲率，曲率半徑，曲率圓。5、不定積分：原函數(shù)與不定積分，基本積分公式，運(yùn)算法則。不定積分的換元法與分部積分法，有理函數(shù)的積分，三角函數(shù)有理式的積分，某些可有理化的函數(shù)的積分。6、 黎曼積分積分，達(dá)布上、下和與上、下積分可積的充要條件可積與函數(shù)運(yùn)算，重要的可積函數(shù)類積分的線性性、可加性與正性，第一積分中值定理，變動(dòng)上限積分所定義的函數(shù)的連續(xù)性與可微性。黎曼積分的計(jì)算公式，換元法與分部積分法積分的近似計(jì)算。定積分的元素法與應(yīng)用：面積、體積、弧長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)面的面積、重心、壓力、功。7、實(shí)數(shù)理論與連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)：上、下確界，確界原理，單調(diào)有界原理，閉區(qū)間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理，實(shí)數(shù)系的公理體系。有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理，最值定理，介值定理。反函數(shù)連續(xù)性定理，一致連續(xù)性定理。8、 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：數(shù)列的上、下極限，部分和極限。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散，級(jí)數(shù)收斂的必要條件，收斂級(jí)數(shù)的線性運(yùn)算與結(jié)合律，柯西收斂原理。單調(diào)有界原理，正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法：比較判別法，柯西根值法，達(dá)郎貝爾比值法，積分判別法，拉伯判別法。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法：萊布尼茲判別法，阿貝爾變換與阿貝爾判別法，狄里克萊判別法。絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)，更序級(jí)數(shù)，黎曼定理，級(jí)數(shù)的乘法，柯西乘積9、 廣義黎曼積分兩類廣義積分的收斂與發(fā)散廣義積分與級(jí)數(shù)，積分第二中值定理比較判別法，柯西判別法，阿貝爾判別法，狄里克萊判別法，柯西積分主值。10Weierstrass11、 Fourier級(jí)數(shù)與Fourier變換：正交函數(shù)系，三角函數(shù)系的正交性系數(shù)，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)Dirichlet積分，Riemann引理，局部化定理判別法，Dirichlet--Jordan判別法，函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式Fourier變換與逆變換，反演公式變換的性質(zhì)12、 多元函數(shù)極限論：歐氏空間中的拓?fù)湫再|(zhì)：范數(shù)，鄰域，開(kāi)集，閉集，開(kāi)核，閉包有界集，緊集，連通集，區(qū)域，聚點(diǎn)，點(diǎn)列的極限，柯西收斂原理，交集定理，致密性定理，有限覆蓋定理，多元函數(shù)的極限與累次極限，函數(shù)的連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。13、多元微分學(xué)：偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，線性函數(shù)與全微分，連續(xù)可微、可偏導(dǎo)之間的關(guān)系，鏈?zhǔn)椒▌t，高階偏導(dǎo)的次序交換定理，隱函數(shù)的偏導(dǎo)計(jì)算，高階全微分，一階微分形式的不變性。方向?qū)?shù)與梯度的定義與計(jì)算，梯度。Taylor公式。14、向量值函數(shù)：向量值函數(shù)的極限與連續(xù)，向量值函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)，線性映射與全微分，坐標(biāo)函數(shù)，鏈?zhǔn)椒▌t，Jacobi陣。15、 隱函數(shù)：壓縮映射原理，正則映射，反函數(shù)定理，隱函數(shù)定理，函數(shù)行列式的性質(zhì)函數(shù)相關(guān)。16、多元微分學(xué)的應(yīng)用：曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，極值與條件極值，Lagrange乘數(shù)法。17、含參變量積分：含參量常義積分所定義的函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性，求導(dǎo)與積分,積分與積分的次序交換。含參變量廣義積分的一致收斂及其判別法，含參量廣義積分所定義的函數(shù)的性質(zhì)，尤拉積分，伽馬函數(shù)與B函數(shù)。18、 多重黎曼積分：重積分定義與性質(zhì)，達(dá)布上、下和與上、下積分，可積的充要條件可積函數(shù)類。重積分的計(jì)算：化重積分為累次積分，重積分的換元法，極坐標(biāo)，柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)。重積分的應(yīng)用：曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，引力。廣義重積分。19性質(zhì)，計(jì)算及應(yīng)用。20、向量場(chǎng)分析初步：Green公式，Gauss公式，Stokes公式，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，場(chǎng)的三度，保守場(chǎng)與管量場(chǎng)。三、學(xué)時(shí)分配序號(hào)內(nèi)容課時(shí)1集合與映射6學(xué)時(shí)2極限與連續(xù)16學(xué)時(shí)3導(dǎo)數(shù)與微分10學(xué)時(shí)4微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用14學(xué)時(shí)5不定積分8學(xué)時(shí)6黎曼積分18學(xué)時(shí)7實(shí)數(shù)理論與連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)14學(xué)時(shí)8數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)14學(xué)時(shí)9廣義黎曼積分6學(xué)時(shí)10函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)14學(xué)時(shí)11Fourier級(jí)數(shù)與Fourier變換8學(xué)時(shí)12多元函數(shù)極限論8學(xué)時(shí)13多元微分學(xué)10學(xué)時(shí)14向量值函數(shù)6學(xué)時(shí)15隱函數(shù)10學(xué)時(shí)16多元微分學(xué)的應(yīng)用9學(xué)時(shí)17含參變量積分11學(xué)時(shí)18多重黎曼積分15學(xué)時(shí)19曲線積分與曲面積分12