高考數(shù)學專題概率《互斥事件》第一課時突破解析

15.3互斥事件和獨立事件第1課時互斥事件必備知識基礎練1.已知100件產品中有5件次品,從這100件產品中任意取出3件,設E表示事件“3件產品全不是次品”,F表示事件“3件產品全是次品”,G表示事件“3件產品中至少有1件次品”,則下列結論正確的是()A.F與G互斥B.E與G互斥但不對立C.E,F,G任意兩個事件均互斥D.E與G對立答案D解析由題意得,事件E與事件F不可能同時發(fā)生,是互斥事件;事件E與事件G不可能同時發(fā)生,是互斥事件;當事件F發(fā)生時,事件G一定發(fā)生,所以事件F與事件G不是互斥事件,故A,C錯.事件E與事件G中必有一個發(fā)生,所以事件E與事件G對立,所以B錯誤,D正確.2.許洋說:“本周我至少做完三套練習題.”設許洋所說的事件為A,則A的對立事件為()A.至多做完三套練習題B.至多做完兩套練習題C.至多做完四套練習題D.至少做完兩套練習題答案B解析至少做完3套練習題包含做完3,4,5,6,…套練習題,故它的對立事件為做完0,1,2套練習題,即至多做完2套練習題.3.某產品共有三個等級,分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱產品中隨機抽取1件進行檢測,若“抽到一等品”的概率為0.65,“抽到二等品”的概率為0.3,則“抽到不合格品”的概率為()A.0.95 B.0.7C.0.35 D.0.05答案D解析設事件A為“抽到一等品”,事件B為“抽到二等品”,事件C為“抽到不合格品”,因為事件A與B是互斥事件,所以P(A+B)=0.65+0.3=0.95,P(C)=1-P(A+B)=0.05.4.某學校高一年級派甲、乙兩個班參加學校組織的拔河比賽,甲、乙兩個班取得冠軍的概率分別為13和14,則該年級在拔河比賽中取得冠軍的概率為A.712 B.112 C.512答案A解析“甲班取得冠軍”和“乙班取得冠軍”是兩個互斥事件,該校高一年級取得冠軍是這兩個互斥事件的和事件,其概率為兩個互斥事件的概率之和,即為135.從一批羽毛球產品中任取一個,質量小于4.8g的概率為0.3,質量小于4.85g的概率為0.32,那么質量在[4.8,4.85)(g)范圍內的概率是.

答案0.02解析從羽毛球產品中任取一個,A={質量小于4.8g},B={質量在[4.8,4.85)(g)范圍內},C={質量小于4.85g},P(A)=0.3,P(C)=0.32,由P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B),得P(B)=P(C)-P(A)=0.32-0.3=0.02.6.已知射手甲射擊一次,命中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率為0.5,命中8環(huán)的概率為0.2,命中7環(huán)的概率為0.1,則甲射擊一次,命中6環(huán)以下(含6環(huán))的概率為.

答案0.2解析設“命中9環(huán)以上(含9環(huán))”為事件A,“命中8環(huán)”為事件B,“命中7環(huán)”為事件C,“命中6環(huán)以下(含6環(huán))”為事件D,則D與A+B+C對立,已知P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.1,又A,B,C三個事件兩兩互斥,∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8,∴P(D)=1-0.8=0.2.7.如果事件A與B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,則事件A的概率為.

答案0.6解析依題意得P(A)+P(B)=0.8.國家射擊隊的隊員為在世界射擊錦標賽上取得優(yōu)異成績加緊備戰(zhàn),經過近期訓練,某隊員射擊一次命中7~10環(huán)的概率如下表所示:命中環(huán)數(shù)10987概率0.320.280.180.12求該射擊隊員在一次射擊中:(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率;(2)至少命中8環(huán)的概率;(3)命中不足8環(huán)的概率.解記事件“射擊一次,命中k環(huán)”為Ak(k∈N,k≤10),則事件Ak之間彼此互斥.(1)設“射擊一次,命中9環(huán)或10環(huán)”為事件A,那么當A9,A10之一發(fā)生時,事件A發(fā)生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.(2)設“射擊一次,至少命中8環(huán)”為事件B,那么當A8,A9,A10之一發(fā)生時,事件B發(fā)生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)設“射擊一次命中不足8環(huán)”為事件C,由于事件C與事件B互為對立事件,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.關鍵能力提升練9.已知事件A,B,則(A∪B)(A∪B)表示(A.必然事件B.不可能事件C.A與B恰有一個發(fā)生D.A與B不同時發(fā)生答案C解析A∪B表示事件A,B至少有1個發(fā)生,A∪B表示事件A,B至少有一個不發(fā)生,∴(A∪B)(A∪B)表示A10.若A,B為互斥事件,則()A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1答案D解析由已知中A,B為互斥事件,由互斥事件概率加法公式可得P(A)+P(B)≤1,當A,B為對立事件時,P(A)+P(B)=1.故選D.11.在一次隨機試驗中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是()A.A+B與C是互斥事件,也是對立事件B.B+C與D是互斥事件,也是對立事件C.A+C與B+D是互斥事件,但不是對立事件D.A與B+C+D是互斥事件,也是對立事件答案D解析由于A,B,C,D彼此互斥,且由P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,知A+B+C+D是一個必然事件,故其事件的關系如圖所示.由圖可知,任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件,任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件,故只有D中的說法正確.12.擲一枚骰子的試驗中,出現(xiàn)各點的概率均為16.事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”,則一次試驗中,事件A+B(B表示事件B的對立事件)發(fā)生的概率為(A.13 B.12 C.23答案C解析由題意知,B表示“大于或等于5的點數(shù)出現(xiàn)”,事件A與事件B互斥,由概率的加法計算公式可得P(A+B)=P(A)+P(B)=2613.根據(jù)多年氣象統(tǒng)計資料,某地6月1日下雨的概率為0.45,陰天的概率為0.20,則該日晴天的概率為()A.0.65 B.0.55 C.0.35 D.0.75答案C解析設事件“某地6月1日下雨”為事件A,“某地6月1日陰天”為事件B,“某地6月1日晴天”為事件C,由題意可得事件A,B,C為互斥事件,所以P(A)+P(B)+P(C)=1,因為P(A)=0.45,P(B)=0.20,所以P(C)=0.35,故選C.14.(多選)下列命題中為真命題的是()A.若事件A與事件B互為對立事件,則事件A與事件B為互斥事件B.若事件A與事件B為互斥事件,則事件A與事件B互為對立事件C.若事件A與事件B互為對立事件,則事件A∪B為必然事件D.若事件A∪B為必然事件,則事件A與事件B為互斥事件答案AC解析對于A,對立事件首先是互斥事件,故A為真命題.對于B,互斥事件不一定是對立事件,如將一枚硬幣拋擲兩次,共出現(xiàn)(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四種結果,事件M=“兩次出現(xiàn)正面”與事件N=“只有一次出現(xiàn)反面”是互斥事件,但不是對立事件,故B為假命題.對于C,事件A,B為對立事件,則在一次試驗中A,B一定有一個發(fā)生,故C為真命題.對于D,事件A∪B表示事件A,B至少有一個要發(fā)生,A,B不一定互斥,故D為假命題.15.(多選)下列結論錯誤的是()A.若A,B互為對立事件,P(A)=1,則P(B)=0B.若事件A,B,C兩兩互斥,則事件A與B∪C互斥C.若事件A與B為兩個隨機事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)D.若事件A與B互斥,則它們的對立事件也互斥答案CD解析若A,B互為對立事件,P(A)=1,則P(B)=1-P(A)=0,故A正確;若事件A,B,C兩兩互斥,則事件A,B,C不能同時發(fā)生,則事件A與B∪C也不可能同時發(fā)生,則事件A與B∪C互斥,故B正確;當A與B為互斥事件時,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),對于任意兩個事件A,B滿足P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故C錯誤;若事件A,B互斥但不對立,則它們的對立事件不互斥,故D錯誤.16.現(xiàn)有8名翻譯人員,其中A1,A2,A3通曉日語,B1,B2,B3通曉俄語,C1,C2通曉韓語,從中選出通曉日語、俄語、韓語的翻譯人員各一人組成一個翻譯小組,則B1和C1不全被選中的概率為.

答案5解析用列舉法可求出樣本點總數(shù)共18個,若N表示“B1,C1不全被選中”這一事件,則N表示“B1,C1全被選中”這一事件,由于N由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3個樣本點組成,∴P(N)=318=16,∴P(N)=1-P(N17.拋擲一個質地均勻的正方體玩具(各面分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”,事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過3”,則P(A+B)=.

答案2解析將事件A+B分成“出現(xiàn)1,2,3”和“出現(xiàn)5”這兩個事件,記“出現(xiàn)1,2,3”為事件C,“出現(xiàn)5”為事件D,則C與D兩個事件互斥,所以P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)=3618.圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率為17,從中取出2粒都是白子的概率是1235,則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是,任取出2粒恰好不同色的概率是答案17解析易知事件“從中取出2粒都是黑子”和“從中取出2粒都是白子”為互斥事件,故所求的概率為17+1235=1719.某校組織“中國詩詞”競賽,在“風險答題”的環(huán)節(jié)中,共為選手準備了A,B,C三類不同的題目,選手每答對一個A類,B類或C類的題目,將分別得到300分,200分,100分,但如果答錯,則相應要扣去300分,200分,100分.根據(jù)平時訓練數(shù)據(jù)統(tǒng)計,選手甲答對A類、B類或C類題目的頻率大約為0.6,0.75,0.85,若要每一次答題的均分更大一些,則選手甲應選擇的題目類型應為(填“A”“B”或“C”).

答案B解析選手甲選擇A類題目,得分的平均值為0.6×300+0.4×(-300)=60,選手甲選擇B類題目,得分的平均值為0.75×200+0.25×(-200)=100,選手甲選擇C類題目,得分的平均值為0.85×100+0.15×(-100)=70,故若要每一次答題的均分更大一些,則選手甲應選擇的題目類型應為B.20.在一個袋子中放入大小相同的3個白球、1個紅球,搖勻后隨機摸球.(1)摸出的球不放回袋中,求第1次或第2次摸出紅球的概率;(2)摸出的球放回袋中,連續(xù)摸2次,求第1次或第2次摸出的球都是紅球的概率.解(1)記“第1次摸到紅球”為事件A,“第2次摸到紅球”為事件B.顯然A,B為互斥事件,易知P(A)=14下面計算P(B).記3個白球分別為白1,白2,白3,則樣本空間Ω={(白1,白2),(白1,白3),(白1,紅),(白2,白1),(白2,白3),(白2,紅),(白3,白1),(白3,白2),(白3,紅),(紅,白1),(紅,白2),(紅,白3)},第二次摸到紅球有3個樣本點,所以P(B)=14,故第1次或第2次摸到紅球的概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=1(2)把第1次、第2次摸球的樣本點列舉出來,除了上題中列舉的12個以外,由于放回,又會增加4個即(白1,白1),(白2,白2),(白3,白3),(紅,紅),這樣共有16個樣本點.其中第1次摸出紅球,第2次摸出不是紅球的概率為P1=316第1次摸出不是紅球,第2次摸出是紅球的概率為P2=316兩次都是紅球的概率為P3=116.所以第1次或第2次摸出的球都是紅球的概率為P=P1+P2+P3=721.(2021青海西寧期末)在某次數(shù)學考試中,小江的成績在90分以上的概率是x,在[80,90]的概率是0.48,在[70,80)的概率是0.11,在[60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.計算:(1)x的值;(2)小江在此次數(shù)學考試中取得80分及以上的概率;(3)小江考試及格(成績不低于60分)的概率.解(1)分別記小江的成績在90分以上,[80,90],[70,80),[60,70),60分以下為事件A,B,C,D,E,它們是互斥事件,由條件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,由題意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1,∴x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.(2)小江的成績在80分及以上的概率為P(A+B),P(A+B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.(3)小江考試及格(成績不低于60分)的概率為P(E)=1-P(E)=1-0.07=0.93.學科素養(yǎng)創(chuàng)新練22.袋中有外形、質量完全相同的紅球、黑球、黃球、綠球共12個,從中任取一球,得到紅球的概率是13,得到黑球或黃球的概率是512,得到黃球或綠球的概率也是(1)試分別求得到黑球、黃球、綠球的概率;(2)從中任取一球,求得到的不是紅球或綠球的概率.解(1)從袋中任取一球,記事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為A,B,C,D,則A,B,C,D為互斥事件,則P(A)=13,P(B+C)=P(B)+P(C)=5P(C+D)=P(C)+P(D)=512P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P