(新高考)高考數(shù)學一輪復(fù)習考點練習25《弧度制及任意角的三角函數(shù)》（解析版）

考點25弧度制及任意角的三角函數(shù)【命題解讀】了解終邊相同的角的意義；了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切，熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能準確判斷三角函數(shù)值的符號【基礎(chǔ)知識回顧】1.角的概念的推廣(1)正角、負角和零角：一條射線繞頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作負角；如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個角，叫作零角．(2)象限角：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，這樣，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角．終邊落在坐標軸上的角(軸線角)不屬于任何象限．(3)終邊相同的角：與角α的終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2.弧度制①1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝__eq\f(l,r)__，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③弧度與角度的換算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝__eq\f(π,180)__rad；1rad＝__eq\f(180,π)__度．④弧長公式：__l＝|α|r__．扇形面積公式：S扇形＝__eq\f(1,2)lr__＝__eq\f(1,2)|α|r2__．3.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝eq\f(y,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠0))．(2)特殊角的三角函數(shù)值角α0°30°45°60°90°180°270°α弧度數(shù)_0__eq\f(π,6)__eq\f(π,4)__eq\f(π,3)__eq\f(π,2)__π__eq\f(3π,2)_sinα_0__eq\f(1,2)__eq\f(\r(2),2)__eq\f(\r(3),2)__1__0__－1_cosα_1__eq\f(\r(3),2)__eq\f(\r(2),2)__eq\f(1,2)__0__－1__0_tanα_0__eq\f(\r(3),3)__1__eq\r(3)__0_（2）幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．1、下列與角eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【答案】：C【解析】：與角eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確．2．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A．M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝?【答案】：B【解析】：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N，故選B.3．若α是第四象限角，則π－α是第()象限角． A.一 B.二 C.三 D.四【答案】：C【解析】：∵α是第四象限角，∴－eq\f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，故π－α是第三象限角．4．若扇形的面積為eq\f(3π,8)、半徑為1，則扇形的圓心角為()A.eq\f(3π,2) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(3π,8) D.eq\f(3π,16)【答案】：B【解析】：設(shè)扇形的圓心角為α，∵扇形的面積為eq\f(3π,8)、半徑為1，∴eq\f(3π,8)＝eq\f(1,2)α·12，∴α＝eq\f(3π,4).5、關(guān)于角度，下列說法正確的是()A．時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角度是60°B．鈍角大于銳角C．三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第一或第三象限角【答案】：BD【解析】：對于A，時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角是－60°，故錯誤；對于B，鈍角一定大于銳角，顯然正確；對于C，若三角形的內(nèi)角為90°，則是終邊在y軸正半軸上的角，故錯誤；對于D，∵角α的終邊在第二象限，∴2kπ＋eq\f(π,2)＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.當k＝2n，n∈Z時，2nπ＋eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(π,2)，n∈Z，得eq\f(α,2)是第一象限角；當k＝2n＋1，n∈Z時，(2n＋1)π＋eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)＜(2n＋1)π＋eq\f(π,2)，n∈Z，得eq\f(α,2)是第三象限角，故正確．考向一角的表示及象限角例1（1）集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ≤α≤kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()（2）若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】（1）B（2）C.【解析】（1）當k＝2n(n∈Z)時，2nπ≤α≤2nπ＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此時α的終邊和0≤α≤eq\f(π,4)的終邊一樣，當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此時α的終邊和π≤α≤π＋eq\f(π,4)的終邊一樣．（2）∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是第一象限角；當k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第三象限角．故選C.變式1、設(shè)角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，則角eq\f(α,2)是第________象限角．【答案】：四【解析】：由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角，再由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)知sineq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)只能是第四象限角．變式2、若α是第三象限角，給出下列式子：①sinα＋cosα＜0；②tanα－sinα＜0；③tanαsinα＜0；④sin(cosα)＜0．其中成立的是________．(填序號)【答案】：①③④【解析】：α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，則①、③顯然成立，②不成立．又由α是第三象限角知，－1＜cosα＜0，所以sin(cosα)＜0，④成立．方法總結(jié)：本題考查象限角、終邊相同的角、三角函數(shù)值所在象限的符號．利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角．三角函數(shù)值象限的符號牢記：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．考查運算求解能力，邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二扇形的有關(guān)運算例2、已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R．(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；(2)若扇形的周長是一定值C(C>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？【解析】：(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓．∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l(xiāng)＝eq\f(10,3)π(cm)．∴S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10,3)π×10－eq\f(1,2)×102·sin60°＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))cm2．(2)∵扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))eq\s\up12(2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(α,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16)，當且僅當α＝eq\f(4,α)，即α＝2(α＝－2舍去)時，扇形面積有最大值eq\f(C2,16)．變式1、扇形AOB的周長為8cm.(1)若這個扇形的面積為3cm2，求圓心角的大小；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.【解析】設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或6.(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，當且僅當2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值，∴r＝2cm，∴弦長AB＝2×2sin1＝4sin1(cm)．變式2、已知扇形的圓心角是α，半徑是r，弧長為l.(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面積；(2)若扇形的周長為20，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數(shù)．【解析】(1)因為α＝100°＝100×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,9)，所以S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,9)×4＝eq\f(10π,9).(2)由題意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，故S扇形＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，當r＝5時，S的最大值為25，此時l＝10，則α＝eq\f(l,r)＝2方法總結(jié)：有關(guān)弧長及扇形面積問題的注意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．考向三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例3、已知角α的終邊上一點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，求cosα，tanα的值．【解析】：由題設(shè)知x＝－eq\r(3)，y＝m，∴r2＝|OP|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)))2＋m2(O為原點)，r＝eq\r(3＋m2)．∴sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，因為m≠0∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5)．當m＝eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝eq\r(5)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當m＝－eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝－eq\r(5)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3)．變式1、（1）已知角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝____．（2）已知角α的終邊與單位圓的交點為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα＝___．【答案】（1）－eq\f(2,3).（2）－eq\f(3,2)【解析】（1）∵角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，∴cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，解得x＝eq\f(5,2)或x＝－eq\f(5,2)(舍去)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))，∴sinα＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(12,5)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(13,12)＋eq\f(5,12)＝－eq\f(2,3).（2）由OP2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，y＝±eq\f(\r(3),2).當y＝eq\f(\r(3),2)時，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此時sinα·tanα＝－eq\f(3,2).當y＝－eq\f(\r(3),2)時，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此時sinα·tanα＝－eq\f(3,2).變式2、(1)函數(shù)y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的圖象過定點P，且角α的頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊過點P，則sinα＋cosα的值為()A.eq\f(7,5) B．eq\f(6,5)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(3,5)eq\r(5)(2)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝________.【答案】（1）D（2）－eq\f(2,3)【解析】(1)因為函數(shù)y＝loga(x－3)＋2的圖象過定點P(4,2)，且角α的終邊過點P，所以x＝4，y＝2，r＝2eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),5)＋eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3,5)eq\r(5).故選D.(2)因為角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，所以cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，即x＝eq\f(5,2)或x＝－eq\f(5,2)(舍)．所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))，r＝eq\f(13,2)，所以sinα＝－eq\f(12,13).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(13,12)＋eq\f(5,12)＝－eq\f(2,3).方法總結(jié)：1．明確用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況：(1)已知角α終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解．2．三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，與點P在角的終邊上的位置無關(guān)，由于P是除原點外的任意一點，故r恒為正，本題要注意對變量的討論．考向四三角函數(shù)值的符號及判定例4、已知sinα＜0，tanα＞0．(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)終邊所在的象限；(3)試判斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號．【解析】：(1)由sinα＜0，知α的終邊在第三、四象限或y軸的負半軸上；由tanα＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合為{α|(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}．(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)終邊在第二、四象限．(3)當eq\f(α,2)在第二象限時，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號；當eq\f(α,2)在第四象限時，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＜0，coseq\f(α,2)＞0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正號．因此，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號．變式1、(2020·江西九江一模)若sinx<0，且sin(cosx)>0，則角x是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】∵－1≤cosx≤1，且sin(cosx)>0，∴0<cosx≤1，又sinx<0，∴角x為第四象限角，故選D.變式2、(多選)在平面直角坐標系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點P(－1，m)(m>0)，則下列各式的值一定為負的是()A．sinα＋cosα B．sinα－cosαC．sinαcosα D.eq\f(sinα,tanα)【答案】CD【解析】由已知得r＝|OP|＝eq\r(m2＋1)，則sinα＝eq\f(m,\r(m2＋1))>0，cosα＝－eq\f(1,\r(m2＋1))<0，tanα＝－m<0，∴sinα＋cosα的符號不確定，sinα－cosα>0，sinαcosα<0，eq\f(sinα,tanα)＝cosα<0.故選C、D.方法總結(jié)：(1)區(qū)域角也稱為范圍角，表示的是一定范圍內(nèi)角的全體，它是高考的考點之一．表示區(qū)域角時要注意考慮問題的范圍以及邊界的虛實線情況．(2)準確掌握三角函數(shù)在各象限的符號．1、在平面直角坐標系中，角α的頂點在原點，始邊在x軸的正半軸上，角α的終邊經(jīng)過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,8)，sin\f(π,8)))，且0<α<2π，則α＝()A.eq\f(π,8) B.eq\f(3π,8) C.eq\f(5π,8) D.eq\f(7π,8)【答案】D【解析】(1)因為角α的終邊經(jīng)過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,8)，sin\f(π,8)))，且0<α<2π，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知cosα＝－coseq\f(π,8)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,8)))＝coseq\f(7π,8)，則α＝eq\f(7π,8).故選D.2、已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(\r(3),2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)【答案】C【解析】由題意得點P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，所以m>0，解得m＝eq\f(1,2).3、（2014新課標I，文2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0在第一、第三象限，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在第一、第二象限，故只有SKIPIF1<0，故選A．4、（2011全國課標理5文7）已知角SKIPIF1<0的頂點與原點重合，始邊與SKIPIF1<0軸的正半軸重合，終邊在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0=（A）SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<0【答案】B【解析】在直線SKIPIF1<0取一點P（1，2），則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故選B．5、（2018?新課標Ⅰ，文11）已知角SKIPIF1<0的頂點為坐標原點，始邊與SKIPIF1<0軸的非負半軸重合，終邊上有兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF