全國卷高考復(fù)習(xí)平面向量(知識總結(jié)題型)

第一部分 平面向量的概念及線性運算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又后力向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作_0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為土;|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只后相等或/、等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向里和的運算a三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a+b=b+a.(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量—b的和的運算叫做a與b的差三侑形法刖a-b=a+(—b)數(shù)乘求實數(shù)人與向量a的積的運算(1)|入a|=入|a|;(2)當(dāng)入＞0時，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)入v0時，入a的方向與a的方向相反;當(dāng)入=0時，入a=0入(a)=入法a；(入+)a=入a+jia；入(a+b)=[a+入b3.共線向量定理向量a(aw0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù) 入，使得b=la.【基礎(chǔ)練習(xí)】

.判斷正誤（在括號內(nèi)打或TOC\o"1-5"\h\z（1）零向量與任意向量平行.（ ）（2）若a//b,b//c,則allc.（ ）（3）向量XB與向量CD是共線向量，則AB,C,D四點在一條直線上.（ ）⑷當(dāng)兩個非零向量a,b共線時，一定有b=入a,反之成立.（ ）（5）在^ABC中，D是BC中點，則稱2（超屆.（ ）.給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a,b都是單位向量，則a=b；③向量ABWBAK等.則所有正確命題的序號是（ ）A.①C.①③D.①②A.①C.①③D.①②3.（2017?棗莊模擬）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點,若BC=入DC入eR),則入=（ ）A.2B.3C.-2D.-3A.2B.3C.-2D.-34.(2015?全國n卷）設(shè)向量a,b不平行，向量入a+b與4.(2015?全國n卷.（必修4P92A12改編）已知？ABCD勺對角線AC^BD相交于Q且OA=a,OB=b,則DC=,BC=（用a,b表示）.1 2 7.（2017?嘉興七校聯(lián)考）設(shè)口E分別是△ABC勺邊AB,BC上的點，AD=4ABiBE="BC；若DE2 3=入iAB+入2AC入1,入2為實數(shù)），則入1=,入2=.考點一平面向量的概念［例1］下列命題中，不正確的是（填序號）.①若|a|=|b|,則a=b；②若A,B,C,D是不共線的四點，則"AB=DC'是"四邊形ABC而平行四邊形”的充要條件；③若a=b,b=c,則a=c.【訓(xùn)練1】下列命題中，正確的是（填序號）.①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小 ^解析①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；②不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；

TOC\o"1-5"\h\z③正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大?。幌蛄康哪＞鶠閷崝?shù)，可以比較大小 .答案③考點二平面向量的線性運算… _ , 一I …一，一 1【例2】(2017?濰坊模擬)在△ABN,P,Q分別是ARBC的三等分點，且AP=-A^BQ=31 — — —0C若AB=a,AC=b,則PQ=( )3A-3a+1b B.-ga+3bc.3a4 D.-3a-3b【訓(xùn)練2](1)如圖，正方形ABC碑，點E是DC的中點，點F是BC的一個nEc-靠近B點的三等分點，那么EF等于( ) \C.考點三共線向量定理及其應(yīng)用【例3】設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b).求證：AB,D三點共線；(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.【訓(xùn)練3】已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,Cb=-3a+3b,貝版)A.A, B, C三點共線 B.A, B, D三點共線C.A, G D三點共線 D.B, C, D三點共線第二部分平面向量基本定理與坐標(biāo)表示.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 a,有且只有一對實數(shù)入1,入2,使a=入入2e2.其中，不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 ..平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解 ^.平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=(X1,y。,b=(X2,、4,則

a+b=(X1+X2,yi+y2),a-b=(xi—X2,y「y2),入a=(入xi,入yi),|a|='x；+y2.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo) ^②設(shè) A(xi, yi) , B(X2, y2),則AB=(X2—Xi, y2—yi), |AB=,(X2—Xi)~~( y2—yi)~2.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(Xi,yi),b=(X2,y2),貝Ua//b?Xiy2—X2yi=0.【基礎(chǔ)練習(xí)】i.(20i7?東陽月考)已知向量i.(20i7?東陽月考)已知向量a=(24),b=(—i,i),則2a+b等于( )A.(5，7)A.(5，7)B.(5,9)C.(3，7)D.(3,9)2.(20i5-2.(20i5-全國I卷)已知點A(0,i),B(3,2),向量AC=(—4,-3),則向量BC=(A.(—7—4)B.(7A.(—7—4)B.(7，4)C.(-i,4)D.(i，4)3.(20i6全國n卷)已知向量a=(m4),b=(3,-2),且a//b,則m=4.(必修4Pi0iA3改編)已知？ABCD勺頂點A(-i,—2),R3,—i),C(5,6),則頂點D的坐3.(20i6標(biāo)為.考點一平面向量基本定理及其應(yīng)用【例U(20i4?全國I卷)設(shè)D,E,F分別為△ABC勺三邊BCCAAB的中點，則EB+Fb=TOC\o"1-5"\h\za.AD b=AD c.；BC d.Bc /——「一【訓(xùn)練i】如圖，已知AB=a,AC=b,BD=3DC用a,b表不'AQ則AD=.8 DC考點二 平面向量的坐標(biāo)運算【例2】(i)已知向量a=(5,2), b=(-4, —3), c=(X,y),若 3a-2b+c=0,貝U c=( )A.(—23,—i2) B.(23,i2)C.(7,0) D.(—7,0)【訓(xùn)練2】(i)已知點A(-i,5)和向量a=(2,3),若A屋3a,則點B的坐標(biāo)為( )A.(7,4)C.(5,4)(2)(20i5?江蘇卷)已知向量A.(7,4)C.(5,4)(2)(20i5?江蘇卷)已知向量a=(2,i),b=(i,B.(7,i4)D.(5,i4)-2).若na+nb=(9,—8)(rqnCR),則m—n的值為考點三 平面向量共線的坐標(biāo)表示—n的值為考點三 平面向量共線的坐標(biāo)表示【例3】(i)已知平面向量a=(i,2),b=(-2,n),且a//b,則2a+3b=(2)(必修(2)(必修4P101練習(xí)7改編)已知A2,3),B(4,—3),點P在線段AB的延長線上，且|AP3 ，一=/IBp,則點P的坐標(biāo)為【訓(xùn)練3】【訓(xùn)練3】(1)(2017?浙江三市十二校聯(lián)考)已知點A(1,3),B(4,—1),則與AB同方向的單位向量是( )A.5'B.5'C.D.55A.5'B.5'C.D.55,(2)若三點A(1,—5),Ra,—2),q—2,-1)共線，則實數(shù)a的值為第三部分 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個非零向量 a和b,記OA=a,OB=b,則/AOB=0(0°<0<180°)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量 a與b,它們的夾角為e,則數(shù)量|a||b|cos_旦叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a-b,即a?b=|a||b|cos_9_,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0?a=0.(3)數(shù)量積幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cose的乘積..平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(X1,y0,b=(X2,y2),0為向量a,b的夾角.(1)數(shù)量積：a?b=|a||b|cos0=X1X2+yy2.(2)模：|a|=7aa=7X+y2.a,b X1X2+丫乎⑶夾角：cose=-7—7=r-2——2 A-^.|a||b|4X1+y1?、X2+y2(4)兩非零向量si±b的充要條件：a?b=0?X1X2+y1y2=0.(5)|a-b|<Ia||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a//b時等號成立)？|X1X2+yy[w^X1+y!?^X2+y2..平面向量數(shù)量積的運算律： (1)a?b=b?a(交換律).(2)入a?b=入(a?b)=a?(入b)(結(jié)合律).(3)(a+b)?c=a-c+b-c(分配律).【基礎(chǔ)練習(xí)】.(2015?全國n卷)向量a=(1,—1),b=(-1,2),則(2a+b)?a等于( )A.-1 B.0 C.1 D.2.(2017?湖州模擬)已知向量a,b,其中|a|=:，|b|=2,且(a—b)，a,則向量a和b的夾角是..(2016?石家莊模擬)已知平面向量a,b的夾角為等,|a|=2,|b|=1,則|a+b|=.35.(必修4P104例1改編)已知Ia|=5,Ib|=4,a與b的夾角0=120°,則向量b在向量a

方向上的投影為.6.(2017?瑞安一中檢測)已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中 a=(1,2),|b|=1,且a+b與a—2b垂直，則向量a-b=；a與b的夾角0的余弦值為.【考點突破】考點一平面向量的數(shù)量積及在平面幾何中的應(yīng)用(用已知表示未知)|AB=6,|雨=4,若點MN滿|AB=6,|雨=4,若點MN滿足bm=3Mcdn=2Nc則aunW于()A.20 B.15 C.9 D.6D,E分別是邊AB,BC的中點,(2)(2016?天津卷)已知△ABCD,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則祚?BC%直為(5一8181C.4)11D.萬【訓(xùn)練1】(1)(2017?義烏市調(diào)研)在RtAABC^,/A=90°,AB=AC=2,點D為AC的中點，點E滿足BE=1BC則AE-BD= 3(2)(2017?寧波質(zhì)檢)已有正方形ABCD勺邊長為1,點E是AB邊上的動點，則DE-CB勺值為；DE-DC勺最大值為.考點二平面向量的夾角與垂直TOC\o"1-5"\h\z【例2】(1)(2016?全國n卷)已知向量a=(1,m,b=(3,—2),且(a+b)，b,則m( )A.—8 B.-6 C.6 D.8(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a