專題19＋演繹推理與合情推理解題技巧（理）

PAGE20專題19演繹推理與合情推理解題技巧【知識要點】1．合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理．當前提為真時，結(jié)論可能為真的推理叫合情推理．數(shù)學中常見的合情推理有：歸納和類比推理．類事物的部分對象具有的某些特征推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理簡稱歸納．簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理．2由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理簡稱類比．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．2．演繹推理1定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論包括定義、公理、定理等，按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．2演繹推理的一般模式——“三段論”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．1合情推理主要包括歸納推理和類比推理在數(shù)學研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過程eq\從具體問題出發(fā)→eq\觀察、分析、比較、聯(lián)想→eq\歸納、類比→eq\提出猜想3演繹推理演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學問題的證明主要通過演繹推理來進行4注意歸納和類比的結(jié)論的可靠性有待于證明1．直接證明1從原命題的條件逐步推得命題成立的證明稱為直接證明．綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學問題時常用的思維方法．2從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止．這種證明方法常稱為綜合法．推證過程如下：eq\1”＝a，an＝bn－m≥1，m，n∈N*，則類比上述結(jié)論，對于等比數(shù)列{bn}bn>0，n∈N*，若bm＝c，bn＝dn－m≥2，m，n∈N*，則可以得到bm＋n等于【答案】C【解析】觀察{an}的性質(zhì)：，則聯(lián)想nb－ma對應(yīng)等比數(shù)列{bn}中的，而{an}中除以n－m對應(yīng)等比數(shù)列中開n－m次方，故bm＋n＝練習5中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算算籌的擺放形式有縱橫兩種形式如圖，表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如用算籌表示就是，則用算籌表示為（）

【答案】B【解析】根據(jù)題意得到個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，分別在所給的橫式和縱式中選擇1227中每個數(shù)字對應(yīng)的圖，可選答案為B。故答案為：B。

練習6的三邊長分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個結(jié)論可知:四面體的四個面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，【答案】C【解析】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個面的距離都是，所以四面體的體積等于以為頂點，分別以四個面為底面的四個三棱錐體積的和，則四面體的體積為，，故選C3數(shù)學歸納法例．下面四個判斷中，正確的是（）A式子，當時為1B式子，當時為C式子，當時為D設(shè)，則【答案】C【解析】對于A，當n=1時，f（）恒為1，錯誤；對于B，當n=1時，f（）恒為1，錯誤；對于C，當n=1時，f（n）為，正確；對于D，f（1）=f（）﹣，錯誤；故選：C．練習1用數(shù)學歸納法證明時，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為【答案】D【解析】由題設(shè)條件得，當時，有；當n=1時，練習2如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊包括兩個端點有nn>1，n∈N個點，相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為an，則等于

【答案】C【解析】每條邊有n個點，所以3條邊有3n個點，三角形的3個頂點重復計算了一次，所以減3個頂點，即an＝3n－3，那么，即，故選C4．分析法，B，C，D四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預(yù)測如下：甲說：“是C或D作品獲得一等獎”；乙說：“B作品獲得一等獎”；丙說：“A，D兩項作品未獲得一等獎”；丁說：“是C作品獲得一等獎”若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是（）作品作品作品作品【答案】B【解析】根據(jù)題意，A，B，C，D作品進行評獎，只評一項一等獎，假設(shè)參賽的作品A為一等獎，則甲、乙、丙、丁的說法都錯誤，不符合題意；假設(shè)參賽的作品B為一等獎，則甲、丁的說法都錯誤，乙、丙的說法正確，符合題意；假設(shè)參賽的作品C為一等獎，則乙的說法都錯誤，甲、丙、丁的說法正確，不符合題意；假設(shè)參賽的作品D為一等獎，則乙、丙、丁的說法都錯誤，甲的說法正確，不符合題意；故獲得參賽的作品B為一等獎；故選：B．練習1某班有三個小組，甲、乙、丙三人分屬不同的小組某次數(shù)學考試成績公布情況如下:甲和三人中的第3小組那位不一樣，丙比三人中第1小組的那位的成績低，三人中第3小組的那位比乙分數(shù)高。若甲、乙、丙三人按數(shù)學成績由高到低排列，正確的是（）A甲、乙、丙B甲、丙、乙C乙、甲、丙D丙、甲、乙【答案】B【解析】甲和三人中的第小組那位不一樣，說明甲不在第小組；三人中第小組那位比乙分數(shù)高，說明乙不在第3組，說明丙在第3組，又第3組成績低于第1組，大于乙，這時可得乙為第2組，甲為第1組，那么成績從高到低為：甲、丙、乙，故選B練習2．老師在四個不同的盒子里面放了4張不同的撲克牌，分別是紅桃，梅花，方片以及黑桃，讓明、小紅、小張、小李四個人進行猜測：小明說：第1個盒子里面放的是梅花，第3個盒子里面放的是方片；小紅說：第2個盒子里面飯的是梅花，第3個盒子里放的是黑桃；小張說：第4個盒子里面放的是黑桃，第2個盒子里面放的是方片；小李說：第4個盒子里面放的是紅桃，第3個盒子里面放的是方片；老師說：“小明、小紅、小張、小李，你們都只說對了一半．”則可以推測，第4個盒子里裝的是（）紅桃或梅花黑桃或梅花【答案】A【解析】因為四個人都只猜對了一半，故有一下兩種可能：（1）當小明猜對第1個盒子里面放的是梅花A時，第3個盒子里面放的不是方片A，則小李猜對第4個盒子里面放的時紅桃A，小張猜對第2個盒子里面放的是方片A，小紅猜對第3個盒子里面放的是黑桃A；（2）若小明猜對的是第3個盒子里面放的是方片A，則第1個盒子里面放的不是梅花A,小紅猜對第2個盒子里面放的是梅花A，小張猜對第4個盒子里面放的是黑桃A，小李猜對第3個盒子里面放的是方片A,則第一個盒子只能是紅桃A,故選A5綜合法例5德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學王子19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時，對1＋2＋3＋…＋100的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也被稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)f＝，則f1＋f2＋…＋fm＋2022等于【答案】C

，b是常數(shù)，a>0，b>0，a≠b，，y∈0，＋∞，則，當且僅當＝時取等號．利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f＝0<<的最小值為【答案】C【解析】由題意可得f＝＝≥＝25，當且僅當＝，即＝時取等號，故最小值為25故選：C練習2在直角坐標平面上的一列點簡記為若由構(gòu)成的數(shù)列滿足其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱為點列有下列說法①為點列；②若為點列，且點在點的右上方任取其中連續(xù)三點則可以為銳角三角形；③若為點列，正整數(shù)若，滿足則④若為點列，正整數(shù)若，滿足則其中，正確說法的個數(shù)為（）【答案】C【解析】①由題意可知，，顯然有是點列，①正確；②在中，，，點在點的右上方，為點列，，，則，為鈍角，為鈍角三角形，不可以為銳角三角形，②錯；③，，，③正確；④同理②，由于為點列，于是，可推導，，即，④正確，正確說法的個數(shù)為，故選C6反證法例6（1）用分析法證明：當，時，；（2）證明：對任意，，，這個值至少有一個不小于【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：1對不等式移項變形，兩邊為正后，即證平方后的不等式成立。（2）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由假設(shè)的不等式同向相加推出與己知事實矛盾。試題解析;（1）要證不等式成立，只需證成立，即證：成立，即證：成立，即證：成立，因為所以，所以原不等式成立（2）假設(shè)這3個值沒有一個不小于0，即則，（*）而這與（*）矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立【點睛】分析法是“執(zhí)果索因”，是尋找命題成立的充分條件，如果條件成立的話，則命題成立。反證法是，假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立，再根據(jù)假設(shè)及條件及己知公式定理，推出與條件或定理公理或已知事實矛盾的結(jié)論，即假設(shè)不成立，原命題成立。練習1．已知，則下列三個數(shù)（）至少有一個不大于6至少有一個不小于6【答案】D【解析】設(shè)都小于6，則＜18，利用基本不等式可得≥222=486=18，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故下列三個數(shù)至少有一個不小于6，故選：D練習2．已知，則下列三個數(shù)（）至少有一個不大于6至少有一個不小于6【答案】D

練習3．①已知，求證，用反證法證明時，可假設(shè)；②設(shè)為實數(shù)，，求證與中至少有一個不小于，有反證法證明時可假設(shè)，且，以下說法正確的是（）A①與②的假設(shè)都錯誤B①與②的假設(shè)都正確C①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯誤D①的假設(shè)錯誤，②的假設(shè)正確【答案】C【解析】①用反證法證明時，假設(shè)命題為假，應(yīng)為全面否定，所以的假命題應(yīng)為，故①的假設(shè)正確；②與中至少有一個不小于的否定為與中都小于，故②的假設(shè)錯誤；故選C練習4．設(shè)、、都是正數(shù)，則、、三個數(shù)（）至少有一個不小于【答案】D【解析】假設(shè)、、三個數(shù)都小于，則：，利用均值不等式的結(jié)論有：

得到矛盾的結(jié)論，可見假設(shè)不成立，即、、三個數(shù)中至少有一個不小于本題選擇D選項【方法總結(jié)】：用反證法證明不等式要把握三點：1必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；2必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證；3推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，且推導出的矛盾必須是明顯的．練習5．用反證法證明命題：“，若可被整除，那么中至少有一個能被整除．”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是都不能被5整除能被5整除【答案】B【解析】由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設(shè)其否定成立進行推證．

命題“，如果可被整除，那么至少有1個能被5整除．”的否定是“都不能被5整除”，故選B

練習6．⑴當時，求證：；⑵已知，．試證明至少有一個不小于．【答案】1證明見解析；2證明見解析【解析】試題分析：⑴由，當時，可得，即可證明結(jié)論；⑵可用反證法：假設(shè)都小于，即，可得，進而，即可得到矛盾，即可作出證明．試題解析：⑴∵∴∴⑵假設(shè)都小于，即則有①而②①與②矛盾故至少有一個不小于．練習7．已知是數(shù)列的前項和，并且，對任意正整數(shù)，，設(shè)（）（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列不可能為等比數(shù)列【答案】1答案見解析；2證明見解析【解析】試題分析：（1）利用an1=Sn1-Sn可知證明an1=4（an-an-1），通過bn=an1-2an可知bn1=2（an1-2an），通過作商可知{bn}是公比為2的等比數(shù)列，通過a1=1可知b1=3，進而可得結(jié)論；（2）假設(shè)為等比數(shù)列，則有,n≥2,則有，故假設(shè)不成立，則數(shù)列不可能為等比數(shù)列試題解析：I∵Sn1=4an2，∴Sn=4an-12n≥2，兩式相減：an1=4an-4an-1n≥2，∴an1=4an-an-1n≥2，∴bn=an1-2an，∴bn1=an2-2an1=4an1-an-2an1，bn1=2an1-2an=2bnn∈N*，∴，∴{bn}是以2為公比的等比數(shù)列，∵b1=a2-2a1，而a1a2=4a12，∴a2=3a12=5，b1=5-2=3，∴bn=3?2n-1n∈N*II，假設(shè)為等比數(shù)列，則有,n≥2,則有=0與≥1矛盾，所以假設(shè)不成立，則原結(jié)論成立，即數(shù)列不可能為等比數(shù)列練習8．（1）若都是正實數(shù)，且，求證：與中至少有一個成立。（2）求證：【答案】1見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）本題證明結(jié)論中結(jié)構(gòu)較復雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來證明結(jié)論成立．（2）采用分析法從要證的結(jié)果入手去證明不等式即可。解析：（1）假設(shè)＜2和＜2都不成立，即≥2和≥2同時成立．∵＞0且y＞0，∴1≥2y，且1y≥2．兩式相加得2y≥22y，∴y≤2．這與已知條件y＞2矛盾，∴＜2和＜2中至少有一個成立．（2）原式子等價于2，兩邊平方得到，得證。7三段論例7有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導函數(shù)f，如果f′0＝0，那么＝0是函數(shù)f的極值點，因為函數(shù)