導數(shù)與函數(shù)零點問題解題方法歸納

所以函數(shù)f(x)在(0,1)上有唯一的零點.又f又f(e2)=(2—e2)m>0(、

e2一

e2——1+k2丿所以函數(shù)f(x)在(1,+w)上有唯一的零點.(1)綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為-三，°.9.【2020山東泰安一中期末】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+⑴當a=3O時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵當a>2，x暑1，+8)時，求證：皿+占>1-【解析】⑴函數(shù)f(x)的定義域為(0,l)u(l,+8)，當a=3O時,5x———6人6)x——5丿x(x-1)2，令：f'(x)>0得：x>令：f'(x)>05k6丿<x<6，所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(|,1f'f'(x)<0，得:a⑵若證lnx+口>1,(1\a'亍x>1成立，只需證：1眥+k2丿2(x—1)>一即：2(x—1)lnx+1>2(x—1)當x>1時成立.設(shè)g(x)=2(x一1)lnx一2(x一1)+1(x>1).TOC\o"1-5"\h\zg'(x)=2[lnx—丄]，顯然g'(x)在(1,+8)內(nèi)是增函數(shù),kx丿且g'(1)=—2<0，g'(2)=2(ln2—1卜0,k2丿g'(x)=0在(1,2)內(nèi)有唯一零點x0，使得：lnx—丄=0,00x0且當xg(1,x0)，g'(x)<0；

當xG(x,+8),g'(x)>0.0g(x)在(1,x)遞減，在(x+8)遞增.f丄—「r1)x+—+1=——2Vx丿0xVx丿00g(x)二g(x)=2(x-1)(lnx-1)+1二2(x-1)TOC\o"1-5"\h\zmin0000■/xg(1,2)，二2<x+—<—.00x20/.g(x)>0,alnx+—^>1成立.minx—110.【2020?廣東汕尾期末】已知函數(shù)f(x)=x2+1—asinx,xg[o,兀],aeR,f'(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù).當a=1時，證明：函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,兀］沒有零點；若f'(x)+asinx+a<0在xe［O,兀］上恒成立，求a的取值范圍.【解析】(1)證明：若a=1，則f(x)=x2+1—sinx,xe［O,兀］,又x2+1>1,0<sinx<1，故0>—sinx>—1，所以x2+1—sinx>0,又f(0又f(0)=1,/兀)r—<2丿12,兀V2丿=罟,f(兀)=兀2+1,時，一1<—sinx<0,所以x2+1—sinx>0恒成立,所以當a=1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,兀］沒有零點.(2)解：f'(x)=2x—acosx,xe[0,兀],古攵2x—acosx+asinx+a<0在xe[°,兀]上恒成立,設(shè)g(x)=2x—acosx+asinx+a,xe[0,兀],所以g(0)=0<0,gG)=2冗+2a<0，即a<—兀，因為g'因為g'(x)=2+asinx+acosx=a、込sisinx+—I4丿+2,由a<—兀,得a<0,所以在區(qū)間°，=上g'(x)單調(diào)遞減，所以2+a=g'(0)>g'(x)>g在區(qū)間丁，兀上g'(x)單調(diào)遞增,42+2=g—<g14丿—g(x)<g'G)二2-a,又a<-兀，所以g'(0)=2+a<0,g'[4丿=、:2a+2<0,g'G)=2-a>0,故g'(x)在區(qū)間|丁，兀上存在唯一零點區(qū)間x0,由g'(x)的單調(diào)性可知,4丿在區(qū)間【0,x。