江蘇省蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)2021-2022學(xué)年中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.若代數(shù)式的值為零,則實數(shù)x的值為()A.x=0 B.x≠0 C.x=3 D.x≠32.若關(guān)于的方程的兩根互為倒數(shù),則的值為()A. B.1 C.-1 D.03.五名女生的體重(單位:kg)分別為:37、40、38、42、42,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A.2、40B.42、38C.40、42D.42、404.如圖,是由幾個相同的小正方形搭成幾何體的左視圖,這幾個幾何體的擺搭方式可能是()A. B. C. D.5.袋子中裝有4個黑球和2個白球,這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同,在看不到球的條件下,隨機地從袋子中摸出三個球.下列事件是必然事件的是()A.摸出的三個球中至少有一個球是黑球B.摸出的三個球中至少有一個球是白球C.摸出的三個球中至少有兩個球是黑球D.摸出的三個球中至少有兩個球是白球6.如果實數(shù)a=,且a在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示,其中正確的是()A.B.C.D.7.在同一平面直角坐標系中,函數(shù)y=x+k與(k為常數(shù),k≠0)的圖象大致是()A. B.C. D.8.化簡的結(jié)果為()A.﹣1 B.1 C. D.9.我國作家莫言獲得諾貝爾文學(xué)獎之后,他的代表作品《蛙》的銷售量就比獲獎之前增長了180倍,達到2100000冊.把2100000用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.0.21×108 B.21×106 C.2.1×107 D.2.1×10610.如圖,是的外接圓,已知,則的大小為A. B. C. D.11.如圖所示的幾何體,它的左視圖是()A. B. C. D.12.如圖,A(4,0),B(1,3),以O(shè)A、OB為邊作□OACB,反比例函數(shù)(k≠0)的圖象經(jīng)過點C.則下列結(jié)論不正確的是()A.□OACB的面積為12B.若y<3,則x>5C.將□OACB向上平移12個單位長度,點B落在反比例函數(shù)的圖象上.D.將□OACB繞點O旋轉(zhuǎn)180°,點C的對應(yīng)點落在反比例函數(shù)圖象的另一分支上.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.如圖,直線y1=kx+n(k≠0)與拋物線y2=ax2+bx+c(a≠0)分別交于A(﹣1,0),B(2,﹣3)兩點,那么當(dāng)y1>y2時,x的取值范圍是_____.14.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,點D,E,F分別是邊AB,AC,BC的中點,則15.如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC的頂點O是坐標原點,點A的坐標(6,0),B的坐標(0,8),點C的坐標(﹣2,4),點M,N分別為四邊形OABC邊上的動點,動點M從點O開始,以每秒1個單位長度的速度沿O→A→B路線向終點B勻速運動,動點N從O點開始,以每秒2個單位長度的速度沿O→C→B→A路線向終點A勻速運動,點M,N同時從O點出發(fā),當(dāng)其中一點到達終點后,另一點也隨之停止運動,設(shè)動點運動的時間為t秒(t>0),△OMN的面積為S.則:AB的長是_____,BC的長是_____,當(dāng)t=3時,S的值是_____.16.分式方程的解是_____.17.某一時刻,測得一根高1.5m的竹竿在陽光下的影長為2.5m.同時測得旗桿在陽光下的影長為30m,則旗桿的高為__________m.18.因式分解:x2y-4y3=________.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)如圖,已知△ABC,請用尺規(guī)作圖,使得圓心到△ABC各邊距離相等(保留作圖痕跡,不寫作法).20.(6分)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,點O在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P.求證:PD是⊙O的切線;求證:△ABD∽△DCP;當(dāng)AB=5cm,AC=12cm時,求線段PC的長.21.(6分)如圖,點A.F、C.D在同一直線上,點B和點E分別在直線AD的兩側(cè),且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.(1)求證:四邊形BCEF是平行四邊形,(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,當(dāng)AF為何值時,四邊形BCEF是菱形.22.(8分)每年的6月5日為世界環(huán)保日,為了提倡低碳環(huán)保,某公司決定購買10臺節(jié)省能源的新設(shè)備,現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備可供選購,經(jīng)調(diào)查:購買了3臺甲型設(shè)備比購買2臺乙型設(shè)備多花了16萬元,購買2臺甲型設(shè)備比購買3臺乙型設(shè)備少花6萬元.求甲、乙兩種型號設(shè)備的價格;該公司經(jīng)預(yù)算決定購買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過110萬元,你認為該公司有幾種購買方案;在(2)的條件下,已知甲型設(shè)備的產(chǎn)量為240噸/月,乙型設(shè)備的產(chǎn)量為180噸/月,若每月要求總產(chǎn)量不低于2040噸,為了節(jié)約資金,請你為該公司設(shè)計一種最省錢的購買方案.23.(8分)我國南水北調(diào)中線工程的起點是丹江口水庫,按照工程計劃,需對原水庫大壩進行混凝土培厚加高,使壩高由原來的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖,其中原壩體的高為BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新壩體的高為DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.5,≈1.73)24.(10分)已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以AB為直徑的半圓O在矩形ABCD的外部(如圖),將半圓O繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α度(0°≤α≤180°)(1)半圓的直徑落在對角線AC上時,如圖所示,半圓與AB的交點為M,求AM的長;(2)半圓與直線CD相切時,切點為N,與線段AD的交點為P,如圖所示,求劣弧AP的長;(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,半圓弧與直線CD只有一個交點時,設(shè)此交點與點C的距離為d,直接寫出d的取值范圍.25.(10分)如圖,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別為BC,CD上的點,且AE⊥BF,垂足為G.(1)求證:AE=BF;(2)若BE=,AG=2,求正方形的邊長.26.(12分)“校園安全”受到全社會的廣泛關(guān)注,某中學(xué)對部分學(xué)生就校園安全知識的了解程度,采用隨機抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有人,扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角為度;(2)請補全條形統(tǒng)計圖;(3)若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計該中學(xué)學(xué)生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù).27.(12分)鮮豐水果店計劃用元/盒的進價購進一款水果禮盒以備銷售.據(jù)調(diào)查,當(dāng)該種水果禮盒的售價為元/盒時,月銷量為盒,每盒售價每增長元,月銷量就相應(yīng)減少盒,若使水果禮盒的月銷量不低于盒,每盒售價應(yīng)不高于多少元?在實際銷售時,由于天氣和運輸?shù)脑颍亢兴Y盒的進價提高了,而每盒水果禮盒的售價比(1)中最高售價減少了,月銷量比(1)中最低月銷量盒增加了,結(jié)果該月水果店銷售該水果禮盒的利潤達到了元,求的值.

參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、A【解析】

根據(jù)分子為零,且分母不為零解答即可.【詳解】解:∵代數(shù)式的值為零,∴x=0,此時分母x-3≠0,符合題意.故選A.【點睛】本題考查了分式的值為零的條件.若分式的值為零,需同時具備兩個條件:①分子的值為0,②分母的值不為0,這兩個條件缺一不可.2、C【解析】

根據(jù)已知和根與系數(shù)的關(guān)系得出k2=1,求出k的值,再根據(jù)原方程有兩個實數(shù)根,即可求出符合題意的k的值.【詳解】解:設(shè)、是的兩根,由題意得:,由根與系數(shù)的關(guān)系得:,∴k2=1,解得k=1或?1,∵方程有兩個實數(shù)根,則,當(dāng)k=1時,,∴k=1不合題意,故舍去,當(dāng)k=?1時,,符合題意,∴k=?1,故答案為:?1.【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及相反數(shù)的定義,熟知根與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.3、D【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義分別進行求解即可得.【詳解】這組數(shù)據(jù)中42出現(xiàn)了兩次,出現(xiàn)次數(shù)最多,所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是42,將這組數(shù)據(jù)從小到大排序為:37,38,40,42,42,所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為40,故選D.【點睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù),一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到?。┡判蚝?,位于最中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).4、A【解析】

根據(jù)左視圖的概念得出各選項幾何體的左視圖即可判斷.【詳解】解:A選項幾何體的左視圖為;

B選項幾何體的左視圖為;

C選項幾何體的左視圖為;

D選項幾何體的左視圖為;

故選:A.【點睛】本題考查由三視圖判斷幾何體,解題的關(guān)鍵是熟練掌握左視圖的概念.5、A【解析】

根據(jù)必然事件的概念:在一定條件下,必然發(fā)生的事件叫做必然事件分析判斷即可.【詳解】A、是必然事件;B、是隨機事件,選項錯誤;C、是隨機事件,選項錯誤;D、是隨機事件,選項錯誤.故選A.6、C【解析】分析:估計的大小,進而在數(shù)軸上找到相應(yīng)的位置,即可得到答案.詳解:由被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大,即故選C.點睛:考查了實數(shù)與數(shù)軸的的對應(yīng)關(guān)系,以及估算無理數(shù)的大小,解決本題的關(guān)鍵是估計的大小.7、B【解析】

選項A中,由一次函數(shù)y=x+k的圖象知k<0,由反比例函數(shù)y=的圖象知k>0,矛盾,所以選項A錯誤;選項B中,由一次函數(shù)y=x+k的圖象知k>0,由反比例函數(shù)y=的圖象知k>0,正確,所以選項B正確;由一次函數(shù)y=x+k的圖象知,函數(shù)圖象從左到右上升,所以選項C、D錯誤.故選B.8、B【解析】

先把分式進行通分,把異分母分式化為同分母分式,再把分子相加,即可求出答案.【詳解】解:.故選B.9、D【解析】2100000=2.1×106.點睛:對于一個絕對值較大的數(shù),用科學(xué)記數(shù)法寫成的形式,其中,n是比原整數(shù)位數(shù)少1的數(shù).10、A【解析】解:△AOB中,OA=OB,∠ABO=30°;∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°;∴∠ACB=∠AOB=60°;故選A.11、A【解析】

從左面觀察幾何體,能夠看到的線用實線,看不到的線用虛線.【詳解】從左邊看是等寬的上下兩個矩形,上邊的矩形小,下邊的矩形大,兩矩形的公共邊是虛線,

故選:A.【點睛】本題主要考查的是幾何體的三視圖,熟練掌握三視圖的畫法是解題的關(guān)鍵.12、B【解析】

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點的坐標,再代入反比例函數(shù)(k≠0)求出其解析式,再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)對選項進行判斷.【詳解】解:A(4,0),B(1,3),,,反比例函數(shù)(k≠0)的圖象經(jīng)過點,,反比例函數(shù)解析式為.□OACB的面積為,正確;當(dāng)時,,故錯誤;將□OACB向上平移12個單位長度,點的坐標變?yōu)?,在反比例函?shù)圖象上,故正確;因為反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱,故將□OACB繞點O旋轉(zhuǎn)180°,點C的對應(yīng)點落在反比例函數(shù)圖象的另一分支上,正確.故選:B.【點睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì),結(jié)合圖形,熟練掌握和運用相關(guān)性質(zhì)定理是解答關(guān)鍵.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、﹣1<x<2【解析】

根據(jù)圖象得出取值范圍即可.【詳解】解:因為直線y1=kx+n(k≠0)與拋物線y2=ax2+bx+c(a≠0)分別交于A(﹣1,0),B(2,﹣3)兩點,所以當(dāng)y1>y2時,﹣1<x<2,故答案為﹣1<x<2【點睛】此題考查二次函數(shù)與不等式,關(guān)鍵是根據(jù)圖象得出取值范圍.14、6【解析】

首先利用勾股定理求得斜邊長,然后利用三角形中位線定理求得答案即可.【詳解】解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=AC2+B∵點D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點,∴DE=12BC,DF=12AC,EF=∴C△DEF=DE+DF+EF=12BC+12AC+12AB=1故答案為:6.【點睛】本題考查了勾股定理和三角形中位線定理.15、10,1,1【解析】

作CD⊥x軸于D,CE⊥OB于E,由勾股定理得出AB=10,OC==1,求出BE=OB﹣OE=4,得出OE=BE,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BC=OC=1;當(dāng)t=3時,N到達C點,M到達OA的中點,OM=3,ON=OC=1,由三角形面積公式即可得出△OMN的面積.【詳解】解:作CD⊥x軸于D,CE⊥OB于E,如圖所示:由題意得:OA=1,OB=8,∵∠AOB=90°,∴AB==10;∵點C的坐標(﹣2,4),∴OC==1,OE=4,∴BE=OB﹣OE=4,∴OE=BE,∴BC=OC=1;當(dāng)t=3時,N到達C點,M到達OA的中點,OM=3,ON=OC=1,∴△OMN的面積S=×3×4=1;故答案為:10,1,1.【點睛】本題考查了勾股定理、坐標與圖形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形面積公式等知識;熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.16、x=13【解析】

解分式方程的步驟:①去分母;②求出整式方程的解;③檢驗;④得出結(jié)論.【詳解】,去分母,可得x﹣5=8,解得x=13,經(jīng)檢驗:x=13是原方程的解.【點睛】本題主要考查了解分式方程,解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)檢驗.17、1.【解析】分析:根據(jù)同一時刻物高與影長成比例,列出比例式再代入數(shù)據(jù)計算即可.詳解:∵==,解得:旗桿的高度=×30=1.故答案為1.點睛:本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用,解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形,然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程,建立數(shù)學(xué)模型來解決問題.18、y(x++2y)(x-2y)【解析】

首先提公因式,再利用平方差進行分解即可.【詳解】原式.故答案是:y(x+2y)(x-2y).【點睛】考查了提公因式法與公式法分解因式,要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解,一般來說,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考慮運用公式法分解.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、見解析【解析】

分別作∠ABC和∠ACB的平分線,它們的交點O滿足條件.【詳解】解:如圖,點O為所作.【點睛】本題考查了基本作圖:熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作已知線段的垂直平分線;作已知角的角平分線;過一點作已知直線的垂線).20、(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)CP=16.9cm.【解析】【分析】(1)先判斷出∠BAC=2∠BAD,進而判斷出∠BOD=∠BAC=90°,得出PD⊥OD即可得出結(jié)論;(2)先判斷出∠ADB=∠P,再判斷出∠DCP=∠ABD,即可得出結(jié)論;(3)先求出BC,再判斷出BD=CD,利用勾股定理求出BC=BD=,最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出結(jié)論.【詳解】(1)如圖,連接OD,∵BC是⊙O的直徑,∴∠BAC=90°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD,∵∠BOD=2∠BAD,∴∠BOD=∠BAC=90°,∵DP∥BC,∴∠ODP=∠BOD=90°,∴PD⊥OD,∵OD是⊙O半徑,∴PD是⊙O的切線;(2)∵PD∥BC,∴∠ACB=∠P,∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠P,∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠DCP=180°,∴∠DCP=∠ABD,∴△ABD∽△DCP;(3)∵BC是⊙O的直徑,∴∠BDC=∠BAC=90°,在Rt△ABC中,BC==13cm,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠BOD=∠COD,∴BD=CD,在Rt△BCD中,BD2+CD2=BC2,∴BD=CD=BC=,∵△ABD∽△DCP,∴,∴,∴CP=16.9cm.【點睛】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等,熟練掌握切線的判定方法、相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.21、(1)見解析(2)當(dāng)AF=時,四邊形BCEF是菱形.【解析】

(1)由AB=DE,∠A=∠D,AF=DC,根據(jù)SAS得△ABC≌DEF,即可得BC=EF,且BC∥EF,即可判定四邊形BCEF是平行四邊形.(2)由四邊形BCEF是平行四邊形,可得當(dāng)BE⊥CF時,四邊形BCEF是菱形,所以連接BE,交CF與點G,證得△ABC∽△BGC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得AF的值.【詳解】(1)證明:∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF.∵在△ABC和△DEF中,AC=DF,∠A=∠D,AB=DE,∴△ABC≌DEF(SAS).∴BC=EF,∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.∴四邊形BCEF是平行四邊形.(2)解:連接BE,交CF與點G,∵四邊形BCEF是平行四邊形,∴當(dāng)BE⊥CF時,四邊形BCEF是菱形.∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=.∵∠BGC=∠ABC=90°,∠ACB=∠BCG,∴△ABC∽△BGC.∴,即.∴.∵FG=CG,∴FC=2CG=,∴AF=AC﹣FC=5﹣.∴當(dāng)AF=時,四邊形BCEF是菱形.22、(1)甲,乙兩種型號設(shè)備每臺的價格分別為12萬元和10萬元.(2)有6種購買方案.(3)最省錢的購買方案為,選購甲型設(shè)備4臺,乙型設(shè)備6臺.【解析】

(1)設(shè)甲、乙兩種型號設(shè)備每臺的價格分別為萬元和萬元,根據(jù)購買了3臺甲型設(shè)備比購買2臺乙型設(shè)備多花了16萬元,購買2臺甲型設(shè)備比購買3臺乙型設(shè)備少花6萬元可列出方程組,解之即可;(2)設(shè)購買甲型設(shè)備臺,乙型設(shè)備臺,根據(jù)購買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過110萬元列不等式,解之確定m的值,即可確定方案;(3)因為公司要求每月的產(chǎn)量不低于2040噸,據(jù)此可得關(guān)于m的不等式,解之即可由m的值確定方案,然后進行比較,做出選擇即可.【詳解】(1)設(shè)甲、乙兩種型號設(shè)備每臺的價格分別為萬元和萬元,由題意得:,解得:,則甲,乙兩種型號設(shè)備每臺的價格分別為12萬元和10萬元;(2)設(shè)購買甲型設(shè)備臺,乙型設(shè)備臺,則,∴,∵取非負整數(shù),∴,∴有6種購買方案;(3)由題意:,∴,∴為4或5,當(dāng)時,購買資金為:(萬元),當(dāng)時,購買資金為:(萬元),則最省錢的購買方案是選購甲型設(shè)備4臺,乙型設(shè)備6臺.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用,弄清題意,找準等量關(guān)系、不等關(guān)系列出方程組與不等式是解題的關(guān)鍵.23、工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC約為37.3米.【解析】解:在Rt△BAE中,∠BAE=680,BE=162米,∴(米).在Rt△DEC中,∠DGE=600,DE=176.6米,∴(米).∴(米).∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的寬度AC約為37.3米.在Rt△BAE和Rt△DEC中,應(yīng)用正切函數(shù)分別求出AE和CE的長即可求得AC的長.24、(2)AM=;(2)=π;(3)4-≤d<4或d=4+.【解析】

(2)連接B′M,則∠B′MA=90°,在Rt△ABC中,利用勾股定理可求出AC的長度,由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AM的長度;(2)連接OP、ON,過點O作OG⊥AD于點G,則四邊形DGON為矩形,進而可得出DG、AG的長度,在Rt△AGO中,由AO=2、AG=2可得出∠OAG=60°,進而可得出△AOP為等邊三角形,再利用弧長公式即可求出劣弧AP的長;(3)由(2)可知:△AOP為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出OG、DN的長度,進而可得出CN的長度,畫出點B′在直線CD上的圖形,在Rt△AB′D中(點B′在點D左邊),利用勾股定理可求出B′D的長度進而可得出CB′的長度,再結(jié)合圖形即可得出:半圓弧與直線CD只有一個交點時d的取值范圍.【詳解】(2)在圖2中,連接B′M,則∠B′MA=90°.在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,∴AC=2.∵∠B=∠B′MA=90°,∠BCA=∠MAB′,∴△ABC∽△AMB′,∴=,即=,∴AM=;(2)在圖3中,連接OP、ON,過點O作OG⊥AD于點G,∵半圓與直線CD相切,∴ON⊥DN,∴四邊形DGON為矩形,∴DG=ON=2,∴AG=AD-DG=2.在Rt△AGO中,∠AGO=90°,AO=2,AG=2,∴∠AOG=30°,∠OAG=60°.又∵OA=OP,∴△AOP為等邊三角形,∴==π.(3)由(2)可知:△AOP為等邊三角形,∴DN=GO=OA=,∴CN=CD+DN=4+.當(dāng)點B′在直線CD上時,如圖4所示,在Rt△AB′D中(點B′在點D左邊),AB′=4,AD=3,∴B′D==,∴CB′=4-.∵AB′為直徑,∴∠ADB′=90°,∴當(dāng)點B′在點D右邊時,半圓交直線CD于點D、B′.∴當(dāng)半圓弧與直線CD只有一個交點時,4-≤d<4或d=4+.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及切線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(2)利用相似三角形的性質(zhì)求出AM的長度;(2)通過解直角三角形找出∠OAG=60°;(3)依照題意畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合求出d的取值范圍.25、(1)見解析;(2)正方形的邊長為.【解析】

(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°,由AE⊥BF,得出∠CBF+∠AEB=90°,推出∠BAE=∠CBF,由ASA證得△ABE≌△BCF即可得出結(jié)論;(2)證出∠BGE=∠ABE=90°,∠BEG=∠AEB,得出△BGE∽△ABE,得出BE2=EG?AE,設(shè)EG=x,則AE=AG+EG=2+x,代入求出x,求得AE=3,由勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】(1)證明:

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