(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第37講《數(shù)列的綜合應(yīng)用》達(dá)標(biāo)檢測(cè)(解析版)

1、第37講 數(shù)列的綜合應(yīng)用（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）A組應(yīng)知應(yīng)會(huì)1（春梅州期末）九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學(xué)專著，書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織28尺，第二日，第五日，第八日所織之和為15尺，則第十五日所織尺數(shù)為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A13B14C15D16【分析】根據(jù)題意，設(shè)每日所織數(shù)量構(gòu)成數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，分析可得數(shù)列 SKIPIF 1 0 為成等差數(shù)列，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，據(jù)此可得數(shù)列的首項(xiàng)與公差，計(jì)算可得答案【解答】解：由題意可知，設(shè)每日所織數(shù)量構(gòu)成數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1

2、0 為成等差數(shù)列，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，設(shè)其公差為 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，變形可得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 2（春成都期末）已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和，滿足 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0

3、的最小值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2B3C4D5【分析】首先把數(shù)列的關(guān)系式進(jìn)行變換，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求和求出數(shù)列的和，解不等式可得所求最小值【解答】解：數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 由于滿足 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的最小值為5故選： SKIPIF 1 0 3（春常德期末）明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的九章算術(shù)比類大全中，有一道數(shù)學(xué)命題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望魏巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一， SKIPIF 1 0

4、 ” SKIPIF 1 0 “倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增），根據(jù)此詩(shī)，可以得出塔的第四層燈的數(shù)量為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A12B24C48D96【分析】由題意利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)，可得塔的第四層燈的數(shù)量 SKIPIF 1 0 的值【解答】解：由題意每一層的燈數(shù)成等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，公比為 SKIPIF 1 0 ，前7項(xiàng)的和為 SKIPIF 1 0 ，求得 SKIPIF 1 0 ，故塔的第四層燈的數(shù)量 SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 4（春嘉興期末）對(duì)于數(shù)列

5、 SKIPIF 1 0 ，若存在常數(shù) SKIPIF 1 0 ，使對(duì)任意 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 成立，則稱數(shù)列 SKIPIF 1 0 是有界的若有數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，則下列條件中，能使 SKIPIF 1 0 有界的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】通過定義逐項(xiàng)分析真假即可【解答】解：對(duì)于 SKIPIF 1 0 選項(xiàng)，假設(shè) SKIPIF 1 0 有界，即存在常數(shù) SKIPIF 1 0 ，對(duì)任意 SKIPIF

6、 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 由于左邊 SKIPIF 1 0 遞增到無窮大，而右邊為常數(shù)，從而 SKIPIF 1 0 項(xiàng)錯(cuò)誤；同理， SKIPIF 1 0 項(xiàng) SKIPIF 1 0 ，錯(cuò)誤；對(duì)于 SKIPIF 1 0 項(xiàng)， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，累加可得， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，顯然不是有界的；對(duì)于 SKIPIF 1 0 選項(xiàng)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，累乘可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，從而 SK

7、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 正確故選： SKIPIF 1 0 5（山東模擬）已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則稱項(xiàng) SKIPIF 1 0 為“和諧項(xiàng)”，則數(shù)列 SKIPIF 1 0 的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù) SKIPIF 1 0 得出 SKIPIF 1 0 ，然后兩式相減，得出

8、 SKIPIF 1 0 ，再然后根據(jù) SKIPIF 1 0 得出 SKIPIF 1 0 以及 SKIPIF 1 0 最后根據(jù)“和諧項(xiàng)“的定義得出 SKIPIF 1 0 ，通過等比數(shù)列前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和公式求和即可得出結(jié)果【解答】解：因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，于是數(shù)列 SKIPIF 1 0 的所

9、有“和諧項(xiàng)“的平方和為： SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF 1 0 6（春石家莊期末）如果一個(gè)數(shù)列由有限個(gè)連續(xù)的正整數(shù)按從小到大的順序組成（數(shù)列的項(xiàng)數(shù)大于 SKIPIF 1 0 ，且所有項(xiàng)數(shù)之和為 SKIPIF 1 0 ，那么稱該數(shù)列為“ SKIPIF 1 0 型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，例如，數(shù)列3，4，5，6，7為“25型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，則“5336型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2B3C4D5【分析】根據(jù)已知條件“ SKIPIF 1 0 型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，則“5336型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”的公差為1和所有項(xiàng)的和為5336【解答】解：由題意知 SKIPIF 1 0 ， SK

10、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，且一奇一偶， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 共三組故選： SKIPIF 1 0 7（春宜賓期末）河南洛陽(yáng)的龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國(guó)四大石窟在龍門石窟的某處“浮雕像”共有7層，每一層的數(shù)量是它下一層的2倍，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案已知該處共有1016個(gè)“浮雕像”，則正中間那層的“浮雕像”的數(shù)量為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A508B256C1

11、28D64【分析】根據(jù)題意，假設(shè)從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，分析可得 SKIPIF 1 0 是以2為公比的等比數(shù)列，共有7項(xiàng)且 SKIPIF 1 0 ；由等比數(shù)列的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和公式可得 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案【解答】解：根據(jù)題意，假設(shè)從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，又由“浮雕像”共有7層，每一層的數(shù)量是它下一層的2倍，且該處共有1016個(gè)“浮雕像”，則 SKIPIF 1 0 是以2為公比的等比數(shù)列，共有7項(xiàng)且 SKIPIF 1 0 ；

12、則有 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 ，則正中間那層的“浮雕像”的數(shù)量即 SKIPIF 1 0 ；故選： SKIPIF 1 0 8（春宜賓期末）設(shè)等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則滿足 SKIPIF 1 0 的最小正整數(shù) SKIPIF 1 0 的值為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1010B1011CD2021【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)公式，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

13、，進(jìn)一步得到答案【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故滿足 SKIPIF 1 0 的最小正整數(shù) SKIPIF 1 0 的值為；故選： SKIPIF 1 0 9（春河南期末）等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則滿足 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A50B51C100D101【分析】由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得 SKIPIF

14、 1 0 ； SKIPIF 1 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 0 ，據(jù)此分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ；又由 SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ；則有 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，必有 SKIPIF 1 0 ；故選： SKIPIF 1 0 10（春九龍坡區(qū)期末）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多 SKIPIF 1 0 斐波那契于1202年提出的數(shù)列斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5

15、，8，13，21， SKIPIF 1 0 ，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】對(duì)于 SKIPIF 1 0 ，推導(dǎo)出 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ；對(duì)于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

16、0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，滿足斐波那契數(shù)列；對(duì)于 SKIPIF 1 0 ，推導(dǎo)出 SKIPIF 1 0 （8） SKIPIF 1 0 ；對(duì)于 SKIPIF 1 0 ，推導(dǎo)出 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 【解答】解：對(duì)于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤；對(duì)于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF

17、 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，滿足斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21， SKIPIF 1 0 ，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，故 SKIPIF 1 0 正確；對(duì)于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （4） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （8） SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤；對(duì)于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 錯(cuò)誤故選： SKIPIF 1 0

18、11（春鏡湖區(qū)校級(jí)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍九章算術(shù)第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇這個(gè)問題體現(xiàn)了古代對(duì)數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為130尺，則在第幾天墻才能被打穿？ SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A6B7C8D9【分析】由題意結(jié)合等比數(shù)列的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和列不等式，然后構(gòu)造函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的

19、判定得答案【解答】解：設(shè)需要 SKIPIF 1 0 天時(shí)間才能打穿，則 SKIPIF 1 0 ，化為： SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 （7） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （8） SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)又函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 時(shí)單調(diào)遞增，因此 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 內(nèi)存在唯一一個(gè)零點(diǎn) SKIPIF 1 0 需要8天時(shí)間才能打穿故選： SKIPIF 1 0 12（春

20、宣城期末）已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公比為3，前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 ，若關(guān)于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則 SKIPIF 1 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

21、【分析】先通過數(shù)列求和公式把 SKIPIF 1 0 求出來，代入到把不等式 SKIPIF 1 0 中，得到 SKIPIF 1 0 ，再分 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 兩種情況分類討論，顯然易得 SKIPIF 1 0 是不等式的解，所以當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)不等式有且僅有一個(gè)解，即 SKIPIF 1 0 有且僅有一個(gè)大于等于2的解，令令 SKIPIF 1 0 ，作差求 SKIPIF 1 0 的單調(diào)性之后即容易得到 SKIPIF 1 0 ，解出來即得答案【解答】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列 SKIPIF 1 0 的公比 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，不等式 S

22、KIPIF 1 0 等價(jià)于 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，顯然是不等式的解；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 等價(jià)于 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)殛P(guān)于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，所以當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)有且僅有一個(gè)解，令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 時(shí)單調(diào)遞減，所以 SKIPIF 1 0 ，又因?yàn)?SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 的取值范

23、圍為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 13（春威寧縣期末）塵劫記是在元代的算學(xué)啟蒙和明代的算法統(tǒng)宗的基礎(chǔ)上編撰的一部古典數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)這樣的問題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2個(gè)月后，每對(duì)老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只以此類推，假設(shè) SKIPIF 1 0 個(gè)月后共有老鼠 SKIPIF 1 0 只，則 SKIPIF 1 0 【分析】依題意得出第 SKIPIF 1 0 個(gè)月老鼠與第 SKIPIF 1 0 個(gè)月老鼠總數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列

24、的定義求出數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式，最后把 SKIPIF 1 0 代入即可求得答案【解答】解：設(shè) SKIPIF 1 0 個(gè)月后共有 SKIPIF 1 0 只老鼠，且雌雄各半，所以 SKIPIF 1 0 個(gè)月后的老鼠只數(shù) SKIPIF 1 0 滿足： SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，又因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 是以14為首項(xiàng)7為公比的等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，故答案為： S

25、KIPIF 1 0 14（春閔行區(qū)校級(jí)期末）已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 恒成立，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍是 【分析】通過裂項(xiàng)消項(xiàng)法以及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求出 SKIPIF 1 0 的范圍即可【解答】解：數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPI

26、F 1 0 SKIPIF 1 0 ，累加可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 15（天心區(qū)校級(jí)模擬）十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多 SKIPIF 1 0 斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足以下關(guān)系： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，記其前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0

27、SKIPIF 1 0 （2）設(shè) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為常數(shù)）， SKIPIF 1 0 【分析】（1）由已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，結(jié)合遞推關(guān)系式代入可求 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可求 SKIPIF 1 0 ，（2）由已知可得 SKIPIF 1 0 ，分組求解 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，從而可求【解答】解：（1）因?yàn)?SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1

28、 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，（2）由（1）得： SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故答案為：1， SKIPIF 1 0 16（葫蘆島二模）定義：數(shù)列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，則稱數(shù)列 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的“友好數(shù)列”若數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1

29、0 的“友好數(shù)列“ SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式為 ；記數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的取值范圍是 【分析】直接利用友好函數(shù)的定義和遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式利用 SKIPIF 1 0 ，進(jìn)一步整理得 SKIPIF 1 0 ，利用解不等式的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：數(shù)列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，則稱數(shù)列 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的“友好數(shù)列”若數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式 SKIPIF 1

30、 0 ，則： SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 ，設(shè) SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 為最大值，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 17（春成都期末）已知 SKIPIF 1 0 是首項(xiàng)不為1的正項(xiàng)數(shù)列，其前 SKIPIF 1 0

31、 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 ，且滿足 SKIPIF 1 0 （1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，求證： SKIPIF 1 0 【分析】（1）在已知數(shù)列遞推式中，取 SKIPIF 1 0 求得首項(xiàng)，以 SKIPIF 1 0 替換 SKIPIF 1 0 ，再與原遞推式聯(lián)立可得 SKIPIF 1 0 ，得數(shù)列 SKIPIF 1 0 是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，則其通項(xiàng)公式可求；（2）把數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式代入 SKIPIF 1 0 ，整理后利用裂項(xiàng)相消法證明 SKIPIF 1 0 【解答】解：（1）由 SKIPIF 1 0 ，得

32、 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 （舍 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，整理得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可得數(shù)列 SKIPIF 1 0 是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 ；證明：（2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 18（春內(nèi)江期末）已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 （1）求數(shù)列 SKIPIF 1

33、0 的通項(xiàng)；（2）設(shè) SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 對(duì)一切正整數(shù) SKIPIF 1 0 恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和【解答】解：（1）數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF

34、1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （首項(xiàng)符合通項(xiàng)），所以 SKIPIF 1 0 （2）由（1）得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 0 對(duì)一切正整數(shù) SKIPIF 1 0 恒成立時(shí)，只需滿足 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 19（春衢

35、州期末）已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 0 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，8成等差數(shù)列（）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 0 （）若數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，求證： SKIPIF 1 0 【分析】（）直接利用遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列

36、的通項(xiàng)公式（）利用（）的應(yīng)用，利用乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和（）利用分類討論思想的應(yīng)用和恒成立問題的應(yīng)用，求出 SKIPIF 1 0 的取值范圍【解答】解：（）數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （常數(shù)），故 SKIPIF 1 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 0 是公比為 SKIPIF 1 0 的正數(shù)的等比數(shù)列， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，8成等差數(shù)列所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 故： SKIPIF 1 0

37、 ， SKIPIF 1 0 ，解：（）數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 證明：（）數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 20（鎮(zhèn)江三模）各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列 SKIPIF 1 0 如果滿足：存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 ，對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，且存在正整數(shù) SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 或 SKIPI

38、F 1 0 成立，則稱數(shù)列 SKIPIF 1 0 為“緊密數(shù)列”， SKIPIF 1 0 稱為“緊密數(shù)列” SKIPIF 1 0 的“緊密度”已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的各項(xiàng)為正數(shù)，前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 ，且對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為常數(shù)）恒成立（1）當(dāng) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式；證明數(shù)列 SKIPIF 1 0 是“緊密度”為3的“緊密數(shù)列”；（2）當(dāng) SKIPIF 1 0

39、 時(shí)，已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 和數(shù)列 SKIPIF 1 0 都為“緊密數(shù)列”，“緊密度”分別為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍【分析】（1）根據(jù)題意可得遞推式 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，然后求出 SKIPIF 1 0 的通項(xiàng)公式；由所得通項(xiàng)公式及“緊密數(shù)列”的定義可得結(jié)論；（2）由 SKIPIF 1 0 可得遞推式 SKIPIF 1 0 ，由此可得 SKIPIF

40、 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，討論 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)與已知矛盾，即可得數(shù)列 SKIPIF 1 0 是以首項(xiàng) SKIPIF 1 0 ，公比 SKIPIF 1 0 的等比數(shù)列，再討論 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，進(jìn)而求得實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍【解答】解：（1）當(dāng) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0

41、 ，整理，得 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即有 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 0 由中 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 隨著 SKIPIF 1 0 的增多而減小，則對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，且存在 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 0 是“緊密度”為3的“緊密數(shù)列”（2）當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， S

42、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則上式右端中 SKIPIF 1 0 ，與 SKIPIF 1 0 矛盾；若 SKIPIF 1 0 ，則上式右端 SKIPIF 1 0 ，與 SKIPIF 1 0 矛盾，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 為常數(shù)，即數(shù)列 SKIPIF 1 0 是以首項(xiàng) SKIPIF 1 0 ，公比 SKIPIF 1 0 的等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 數(shù)列 SKIPIF 1 0 為“緊密數(shù)列”，則 S

43、KIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 （）當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 恒成立，且存在正整數(shù) SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 數(shù)列 SKIPIF 1 0 的“緊密度”為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 此時(shí) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 隨 SKIPIF 1 0 的增大而減小，所以 SKIPIF 1 0 ，對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF

44、1 0 恒成立，且當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 的“緊密度”為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 式矛盾（）當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 恒成立，且存在正整數(shù) SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，則此時(shí) SKIPIF 1 0 的“緊密度”為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 隨著 SKIPIF 1

45、0 的增大而減小，則以 SKIPIF 1 0 對(duì)任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 恒成立，且當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的“緊密度” SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 綜上，實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B組強(qiáng)基必備1（湖北模擬）斐波拉契數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5

46、，8，13，21， SKIPIF 1 0 ，在數(shù)學(xué)上，斐波拉契數(shù)列 SKIPIF 1 0 定義如下： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，隨著 SKIPIF 1 0 的增大， SKIPIF 1 0 越來越逼近黃金分割 SKIPIF 1 0 ，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 為長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)方形稱為“最美長(zhǎng)方形”，已知某“最美長(zhǎng)方形”的面積約為200平方厘米，則該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)大約是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A20厘米B19厘米C18厘米D17厘米【分析】因?yàn)橛梢阎?SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，得

47、 SKIPIF 1 0 ，進(jìn)而解得 SKIPIF 1 0 【解答】解：由已知有 SKIPIF 1 0 ，得： SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （厘米），故選： SKIPIF 1 0 2（2019蘭州二模）定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等積數(shù)列且 SKIPIF 1 0 ，前41項(xiàng)的和為103，則這個(gè)數(shù)列的公積為

48、 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A2B3C6D8【分析】根據(jù)“等積數(shù)列”的定義知，相鄰兩項(xiàng)乘積相同，所以每隔一個(gè)數(shù)的項(xiàng)都是相同的，利用所給條件列方程求解即可【解答】解：因?yàn)閿?shù)列 SKIPIF 1 0 是等積數(shù)列，可設(shè)其公積為 SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，前41項(xiàng)的和為103，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 3（春荔灣區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，定義 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0

49、 的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值” SKIPIF 1 0 ，記數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 【分析】先由題設(shè)條件得到 SKIPIF 1 0 ，再利用 SKIPIF 1 0 ，兩式相減求出 SKIPIF 1 0 ，檢驗(yàn) SKIPIF 1 0 時(shí)是否適合，然后求出 SKIPIF 1 0 即可【解答】解：由題意知 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，又當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，有 SKIPIF 1 0 ，兩式相減得： SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1

50、0 時(shí)，有 SKIPIF 1 0 也適合， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 4（荊門模擬）定義：若數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，則稱該數(shù)列為“切線一零點(diǎn)數(shù)列”已知函數(shù) SKIPIF 1 0 有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，數(shù)列 SKIPIF 1 0 為“切線一零點(diǎn)數(shù)列”，設(shè)數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和為 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 【分析】由題意求出函數(shù) SKIPIF 1 0

51、 的，再由題意得出 SKIPIF 1 0 ，是等比數(shù)列，進(jìn)而求出 SKIPIF 1 0 通項(xiàng)公式然后求解數(shù)列的和【解答】解：由題意函數(shù) SKIPIF 1 0 有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，知： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 數(shù)列 SKIPIF 1 0 是以 SKIPIF 1 0 為首項(xiàng)，2為

52、公比的等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 5（豐臺(tái)區(qū)一模）已知有窮數(shù)列 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 定義數(shù)列 SKIPIF 1 0 的“伴生數(shù)列” SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，規(guī)定 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （）寫出下列數(shù)列的“伴生數(shù)列”：1，2，3，4，5；1， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ，1（）已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的“伴生數(shù)列” SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且滿足 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 若數(shù)列 SKIPIF 1 0 中存在相鄰兩項(xiàng)為1，求證：數(shù)列 SKIPIF 1 0 中的每一項(xiàng)均為1；（）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 所有項(xiàng)的和【分析】（）直接根據(jù)定義求