(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第8章§8.2《兩條直線的位置關(guān)系》(含詳解)

1、8.2兩條直線的位置關(guān)系考試要求1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離知識(shí)梳理1兩條直線的位置關(guān)系直線l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l3：A1xB1yC10，l4：A2xB2yC20(其中l(wèi)1與l3是同一直線，l2與l4是同一直線，l3的法向量v1(A1，B1)，l4的法向量v2(A2，B2)的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系法向量滿足的條件l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行v1v2k1k2且b1b2A1B2A2B10且A1C2A2C10垂直v1v2k1k21A1

2、A2B1B20相交v1與v2不共線k1k2A1B2A2B102.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)結(jié)論：|P1P2|eq r(x2x12y2y12).特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|eq r(x2y2).(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離deq f(|Ax0By0C|,r(A2B2).(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20之間的距離deq f(|C1C2|,r(A2B2).常用結(jié)論1直線系方程(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且m

3、C)(2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAyn0(nR)(3)過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.2五種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線xa的對(duì)稱點(diǎn)為(2ax，y)，關(guān)于直線yb的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2by)(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2ax，2by)思考

4、辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1k2l1l2.()(2)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交()(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線ykxb的距離為eq f(|kx0b|,r(1k2).()(4)直線外一點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離()教材改編題1點(diǎn)A(2,5)到直線l：x2y30的距離為()A2eq r(5) B.eq f(r(5),5) C.eq r(5) D.eq f(2r(5),5)答案C解析點(diǎn)A(2,5)到直線l：x2y30的距離為deq f(|2103|,r(14)eq r(5).2直線2x(m1)y

5、40與直線mx3y20平行，則m等于()A2 B3C2或3 D2或3答案C解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則有eq f(2,m)eq f(m1,3)eq f(4,2)(m0)，故m2或3.故選C.3直線l1：2xy10和l2：x2y70的交點(diǎn)的坐標(biāo)為_答案(1,3)解析解方程組eq blcrc (avs4alco1(2xy10，,x2y70，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y3，)所以兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3).題型一兩條直線的平行與垂直例1(1)(2022杭州模擬)已知直線l1：ax(a2)y10，l2：xay20(aR)，則“eaeq f(1,e)

6、”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)l1l2時(shí)，eq blcrc (avs4alco1(a2a20，,2a10，)解得a1或a2.而由eaeq f(1,e)，解得a1，所以“eaeq f(1,e)”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件(2)(2022長春模擬)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，且與直線2xy50垂直，則直線l的方程為()A2xy10 Bx2y30Cx2y10 D2xy30答案C解析直線l與直線2xy50垂直，設(shè)直線l的方程為x2yc0，直線l經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，12c0，即c1.直線l的方程為x2y10.教師備選1“m3”是“直線

7、l1：2(m1)x(m3)y75m0與直線l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2，“m3”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件2已知三條直線2x3y10,4x3y50，mxy10不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為()A.eq blcrc(avs4alco1(f(4,3)，f(2,3) B.eq blcrc(avs4alco1(f(4,3)，f(2,3)，f(4,3)C.eq blcrc(avs4alco1(f(4,3)，f(2,3) D.eq blcrc(avs4alco

8、1(f(4,3)，f(2,3)，f(2,3)答案D解析由題意得直線mxy10與2x3y10或4x3y50平行，或者直線mxy10過2x3y10與4x3y50的交點(diǎn)當(dāng)直線mxy10與2x3y10或4x3y50平行時(shí)，meq f(2,3)或meq f(4,3)；當(dāng)直線mxy10過2x3y10與4x3y50的交點(diǎn)時(shí)，meq f(2,3).所以實(shí)數(shù)m的取值集合為eq blcrc(avs4alco1(f(4,3)，f(2,3)，f(2,3).思維升華 判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)斜率不存在的特殊情況(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022荊門模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765

9、年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(1,2)，且ACBC，則ABC的歐拉線的方程為()Ax2y40 B2xy40C4x2y10 D2x4y10答案D解析由題設(shè)，可得kABeq f(20,12)2，且AB的中點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，1)，AB垂直平分線的斜率keq f(1,kAB)eq f(1,2)，故AB的垂直平分線方程為yeq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)1eq f(x,2)eq f(1,4

10、)，ACBC，則ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分線上，ABC的歐拉線的方程為2x4y10.(2)已知兩直線l1：xysin 10和l2：2xsin y10.若l1l2，則_.答案keq f(,4)，kZ解析由A1B2A2B10，得12sin20，所以sin eq f(r(2),2).又A1C2A2C10，所以12sin 0，即sin eq f(1,2).所以keq f(,4)，kZ.故當(dāng)keq f(,4)，kZ時(shí)，l1l2.題型二兩直線的交點(diǎn)與距離問題例2(1)兩條平行直線2xy30和ax3y40間的距離為d，則a，d的值分別為()Aa6，deq f(r(6),3) Ba6，deq

11、f(r(5),3)Ca6，deq f(r(5),3) Da6，deq f(r(6),3)答案B解析由題知23a，解得a6，又6x3y40可化為2xyeq f(4,3)0，deq f(blc|rc|(avs4alco1(3f(4,3),r(5)eq f(r(5),3).(2)已知直線經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，并且與點(diǎn)(2,3)和(0，5)的距離相等，則此直線的方程為_答案4xy20或x1解析若所求直線的斜率存在，則可設(shè)其方程為y2k(x1)，即kxyk20，由題設(shè)有eq f(|2k3k2|,r(1k2)eq f(|05k2|,r(1k2)，即|k1|7k|，解得k4.此時(shí)直線方程為4xy20.若所求直線

12、的斜率不存在，則直線方程為x1，滿足題設(shè)條件故所求直線的方程為4xy20或x1.教師備選1經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程為_答案4x3y60解析由方程組eq blcrc (avs4alco1(x2y40，,xy20，)得eq blcrc (avs4alco1(x0，,y2，)即P(0,2)因?yàn)閘l3，所以直線l的斜率keq f(4,3)，所以直線l的方程為y2eq f(4,3)x，即4x3y60.2直線l1經(jīng)過點(diǎn)(3,0)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)(0,4)，且l1l2，d表示l1和l2之間的距離，則d的取值范圍是_答案(0,5解析當(dāng)直線

13、l1，l2都與過(3,0)，(0,4)兩點(diǎn)的直線垂直時(shí)，dmaxeq r(3242)5；當(dāng)直線l1和l2都經(jīng)過(3,0)，(0,4)兩點(diǎn)時(shí)，兩條直線重合所以0d5.思維升華利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等跟蹤訓(xùn)練2(1)若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A.eq f(9,5) B.eq f(18,5)C.eq f(29,10) D.eq f(29,5)答案C解析因?yàn)閑q f(3,6)eq f(4,8)eq f

14、(12,5)，所以兩直線平行，將直線3x4y120化為6x8y240，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq f(|245|,r(6282)eq f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq f(29,10).(2)點(diǎn)(0，1)到直線yk(x1)距離的最大值為()A1 B.eq r(2) C.eq r(3) D2答案B解析由yk(x1)可知直線過定點(diǎn)P(1,0)，設(shè)A(0，1)，當(dāng)直線yk(x1)與AP垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線yk(x1)的距離最大，即為|AP|eq r(2).題型三對(duì)稱問題命題點(diǎn)1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱例3過點(diǎn)P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x

15、3y100截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為_答案x4y40解析設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，82a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.命題點(diǎn)2點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱例4若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則mn_.答案eq f(34,5)解析由題可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的垂直平分線，即直線y2x3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的垂直平分線，于是eq blcrc (avs4alco1(f

16、(3n,2)2f(7m,2)3，,f(n3,m7)f(1,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(mf(3,5)，,nf(31,5)，)故mneq f(34,5).命題點(diǎn)3線關(guān)于線對(duì)稱例5直線2x4y10關(guān)于xy0對(duì)稱的直線方程為()A4x2y10 B4x2y10C4x2y10 D4x2y10答案A解析設(shè)直線2x4y10上一點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線xy0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)，則eq blcrc (avs4alco1(f(yy0,xx0)1，,f(xx0,2)f(yy0,2)0，)整理可得eq blcrc (avs4alco1(x0y，,y0 x，)2y4x10，即直線2x

17、4y10關(guān)于xy0對(duì)稱的直線方程為4x2y10.教師備選1在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖所示)若光線QR經(jīng)過ABC的重心，則AP的長度為()A2 B1 C.eq f(8,3) D.eq f(4,3)答案D解析以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，則直線BC的方程為xy40.設(shè)P(t，0)(0t0)上，則點(diǎn)P到直線3x4y20的距離可以為()A.eq f(4,5) B1C.eq f(6,5) D.eq f(7,5)

18、答案CD解析設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，yf(x)xeq f(1,x)(x0)，則f(x0)1eq f(1,xoal(2,0)，點(diǎn)P與直線3x4y20的最小距離，即為點(diǎn)P處的切線的斜率等于直線3x4y20的斜率時(shí)的情況，即滿足1eq f(1,xoal(2,0)eq f(3,4)，解得x02，所以y02eq f(1,2)eq f(5,2)，所以點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(2，f(5,2)，所以點(diǎn)P到直線3x4y20的距離的最小值為deq f(blc|rc|(avs4alco1(234f(5,2)2),r(4232)eq f(6,5)，故只需滿足deq f(6,5)即可15(多選)定義點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：axbyc0(a2b20)的有向距離為deq f(ax0by0c,r(a2b2).已知點(diǎn)P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2.以下命題不正確的是()A若d1d21，則直線P1P2與直線l平行B若d11，d21，則直線P1P2與直線l垂直C若d1d20，則直線P1P2與直線l垂直D若d1d20，則直線P1P2與直線l相交答案BCD解析設(shè)P1(x1，y1)，P2