導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)1

1、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算重點(diǎn)難點(diǎn)分析：1導(dǎo)數(shù)的定義、意義與性質(zhì)：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：對(duì)于函數(shù) f(x) ，當(dāng)自變量 x 在 x 處有增量x，則函數(shù) y0-f(x+x)，這兩個(gè)增量的比叫做函數(shù)y=f(x) 在)x到相應(yīng)地有改變量y=f(x 000之間的平均變化率，即。如果當(dāng)+xx0時(shí)，有極限，我們說(shuō)函數(shù)在xx0 處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f(x) 在x 處 00或 f(x) ，即的導(dǎo)數(shù)（或變化率）。記作0。（2）導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù) y=f(x) 在開(kāi)區(qū)間 (a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處可導(dǎo)，這時(shí)，對(duì)于開(kāi)區(qū)間 (a,b)內(nèi)的每一個(gè)值 x，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) f(x) ，這樣就在開(kāi)區(qū)間 (a,b)00 內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函

2、數(shù)，我們把這一新函數(shù)叫做 f(x) 在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作 f(x)，即?；?y（3）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x) 0 在點(diǎn) x 處連續(xù)。0（4）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：過(guò)曲線y=f(x) 上任意一點(diǎn)(x,y) 的切線的斜率就是f(x)處的切線的斜率是在點(diǎn)P(x，f(xy=f(x) 00求導(dǎo)數(shù)的方法：2 1（1）求函數(shù) y=f(x) 在 x 處導(dǎo)數(shù)的步驟：處的導(dǎo)數(shù)，即。也就是說(shuō)，曲線在 x )=f(x)f(x ，切線方程為 y-y)(x -x。00000+x) -f(x)求函數(shù)的增量y=f(x 00求平均變化率取極限，得導(dǎo)數(shù)。）幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

3、n-1n(n Q) (x；)=nx；(cosx)=-sinx（2 )； C=0(C； (sinx)=cosx為常數(shù)xx；)=e(exx)=alna(a；（3）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(uv)=u v(uv)=uv+uv（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)， 等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)， 乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。說(shuō)明：1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一個(gè)極限問(wèn)題，不應(yīng)理解為平均變化率，而是平均變化率的極限。2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要熟練掌握求導(dǎo)公式，特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要學(xué)會(huì)合理地分析3搞清導(dǎo)數(shù)的幾何意義，為解決實(shí)際問(wèn)題，如切線，加速度等問(wèn)題打下理論基礎(chǔ)。典型例題：2例 1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)352x y=siny

4、=(2x -3)55，u=2x-3分解為 y=u 設(shè) u=2x-3，則 y=(2x-3)解析：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得：5444y=f(u)u(x)=(u )(2x-3)=5u10(2x-3) 2=10u可分解為，則 設(shè) u=3-x。2222xcos2x (sin2x)=3sinsin y=3(sin2x)2xcos2x(2x)=6已知曲線，問(wèn)曲線上哪一點(diǎn)處切線與直線y=-2x+3 例 2垂直，并寫(xiě)出這一點(diǎn)切線方程。，即，解析：，令得 x=4，代入，得 y=5切線方程為，處的切線與直線y=-2x+3 垂直，曲線在點(diǎn) (4,5)即 x-2y+6=0。432+4。 y=3x-2x -9x 例3已知曲

5、線 C： 求曲線 C 上橫坐標(biāo)為 1 的點(diǎn)的切線方程； 第小題中切線與曲線C 是否還有其它公共點(diǎn)。32-18x -6xy=12x 求得的方程， y=-4，切點(diǎn)為 (1,-4)，Cx=1 解析： 把代入 切線斜率為 k=12-6-18=-12， 切線方程為 y=-12x+8。3由2324，。 (x+2)(3x-2)=0-2x -9x(x-1)+12x-4=03x得，即（切點(diǎn)），除切點(diǎn)外，還有兩個(gè)交點(diǎn)公共點(diǎn)為 (1,-4)。評(píng)析：舉例說(shuō)明曲線與直線相切并不說(shuō)明只有一個(gè)公共點(diǎn)， 當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)，我們知道直線與曲線相切， 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 這種觀點(diǎn)對(duì)一般曲線不一定正確。設(shè)，求 f(x) 。*

6、例 4時(shí)，當(dāng) x0 時(shí)，由于 x=0 是該函數(shù)的分界點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)定義知于是：，(0)=1由于f(0)=f ，故有f(0)=1- +即：。4已知使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0 的x 值也使y 值為例 50，求常數(shù)。a2，y=0，得x=0解析：y=3x或+2ax，令；當(dāng)時(shí)也解出a=0a=0。由題設(shè)x=0時(shí)， y=y=0，此時(shí)訓(xùn)練題：，且 f(1)=2 ，則 a 的值為 _1已知函數(shù)。2設(shè) f(x)=xlnx ，則 f(2)=_。3給出下列命題：2x (tanx)=sec； 函數(shù) y=|x-1|在 x=1 處可導(dǎo)； 函數(shù) y=|x-1|在 x=1 處連續(xù)。其中正確的命題有： _。在點(diǎn)處的切線方程為 _。4函數(shù) y=

7、cosx432+dx+e 為偶函數(shù)，它的圖象過(guò)點(diǎn) A(0, -1)+bx，且在 +cx 5已知函數(shù) f(x)=axx=1 處的切線方程為 2x+y-2=0，求函數(shù) y=f(x) 的表達(dá)式。參考答案：4. ， 1. 2 3. 2.+e， +cx b=d=0， f(x)=ax解： 5 f(x) 是偶函數(shù)， f( -x)=f(x) ，423+2cx，42f(x)=4axe=-1， f(x)=ax+cx-1A(0 又 圖象過(guò)點(diǎn)， -1)，當(dāng) x=1 時(shí)，f(1)=4a+2c=-2.對(duì)于 2x+y-2=0，當(dāng) x=1 時(shí)， y=0。 點(diǎn) (1,0)在 f(x) 圖象上，a+c-1=0. 由，解出 a=-

8、2，c=3，42-1。f(x)= -2x 因此 +3x5例談導(dǎo)數(shù)在解高考試題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)中強(qiáng)有力的工具， 特別在研究函數(shù)的單調(diào)性、 最值方面有著獨(dú)特的作用。本文將依托近幾年的高考試題， 例談導(dǎo)數(shù)在解高考試題中的應(yīng)用。一、導(dǎo)數(shù)在解高考選擇題中的應(yīng)用例 1（ 1993 理第 14 題）如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l 為定值，那么體積的最大值為（ ）。、D、CA、B、解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為 h，體積為 V ，則 4r+2h=l,，2 或，而r0, 令 V=0 ，得V=lr-6rr=0取得最大值，最大值為。是其唯一的極值點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，V 應(yīng)選A。例 2（1995 年理第 11 題）已知函數(shù)

9、y=log(2-ax)在0 ，1上是 x 的減函數(shù)， a則 a 的取值范圍為（ ）。A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、2，+）解：，由題意可知： y0又，即1上恒成立。當(dāng)時(shí)，由 loge0 得a1.a 6上恒成立，而在 0，1上的最小值為 2得：在 0， 1，所以由 2-ax0 只需 a2。由上討論可知 1a2。注：作為選擇題即可選出答案B，可以用同樣的方法得出另外一種情況不成立。例 3（ 1996 年理第 14 題）母線長(zhǎng)為 1 的圓錐體積最大時(shí)， 其側(cè)面展開(kāi)圖圓心角等于（）。、DCA、B、， , h=sin 設(shè)母線與底面夾角為，則底面半徑r=cos，解：, ,，而它是唯一的極值

10、點(diǎn)。 ， V=0,令 得， 而當(dāng)時(shí)， V 取得最大值，此時(shí)側(cè)面展開(kāi)圖圓心角此時(shí)，應(yīng)選 D。評(píng)：上述幾個(gè)選擇題是當(dāng)年高考中難度最大， 得分率最低的選擇題， 但用導(dǎo)數(shù)求解，可以大大降低試題的難度。二、導(dǎo)數(shù)在解高考解答題中的應(yīng)用3+1 在（ f(x)= -x 證明：-， 例 1（1991 年理第 24 題）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，+）上為減函數(shù)。20, f(x)= -3x 如果去掉證明的要求，本題就成為一個(gè)分析：“口答題”即3+1 在（ -， +）上為減函數(shù)。 f(x)= -x例 2（1997 年理 22 題）甲，乙兩地相距 S 千米，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò) c 千米 /小時(shí)，已知：汽

11、車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度 v(千米 /小時(shí) )的平方成正比，比例 7 系數(shù)為 b，固定部分為 a。I）把全程運(yùn)輸成本 y（元）表示為速度 v（千米 /小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；II ）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以多大的速度行駛？解：（ I）（略解），得。 II ），令 y=0（時(shí)，是該函數(shù)唯一的極值點(diǎn)。當(dāng)當(dāng)時(shí)，y 取得最小值， 即全程的運(yùn)輸成本最小。，所以，此時(shí) y0 或 f(x)0時(shí)，所以這樣的 a 不存在。而當(dāng)x8上恒成立，而，所以只需時(shí)，即在（ 2）當(dāng) f(x)1 時(shí) f(x) 為單調(diào)函數(shù)。2，4840cm20 題）設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面的面積為（2001 年理第例 4 畫(huà)面的寬與高的比為 (0 當(dāng)時(shí)為，所以 時(shí)， 增函數(shù)。時(shí)，能使宣傳畫(huà)所用的紙張面積最小。當(dāng)三、反思以前我們研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)， 時(shí)常要用到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)