《一元二次方程》復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、PAGE13一元二次方程復(fù)習(xí)指導(dǎo)【本章概述】一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它和二次函數(shù)的聯(lián)系非常密切這部分內(nèi)容是各地考試熱點和同學(xué)們?nèi)菀壮鲥e的地方，是歷年各地中考的必考內(nèi)容之一，在試卷中占有較大的分值比例考試中不僅基礎(chǔ)題會考查，更重要的是后面的綜合題也會重點考查，一般以函數(shù)等知識為背景進行綜合考查，因此同學(xué)們應(yīng)對這部分內(nèi)容予以高度重視【課標(biāo)要求】1了解一元二次方程的概念，對本章所學(xué)的解一元二次方程的配方法、公式法、分解因式法有個全面的了解，會合理選擇方法解具體的一元二次方程，并在解方程的過程中體會轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想2能夠利用一元二次方程的有關(guān)知識解決實際問題，并能根

2、據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性3能夠結(jié)合具體情境，估計一元二次方程的解，發(fā)展估算意識和能力4理解一元二次方程的根的判別式，會根據(jù)判別式判別一元二次方程的根的情況注：本部分內(nèi)容雖然不作為考試重點，但對同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)非常重要，一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)實際問題實際問題的答案數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題的解實際問題實際問題的答案數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題的解配方法公式法因式分解法降次解方程設(shè)未知數(shù)，列方程檢驗【知識要點解讀】1一元二次方程的定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是二次的整式方程，叫做一元二次方程它的一般形式：1判斷一個方程是不是一元二次方程時應(yīng)抓住三點：只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2；方程是整式方程即

3、含有未知數(shù)的式子是整式三者必須同時滿足，否則就不是一元二次方程2，為常數(shù)，稱為一元二次方程的一般形式，其中是定義中的一部分，不可缺少，否則就不是一元二次方程叫做二次項，叫做二次項系數(shù)，二者是不同的概念，不可混淆2一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是降次，一般可采用下面幾種方法：1配方法基本思路先將方程轉(zhuǎn)化為的形式它的一邊是一個關(guān)于的完全平方式，另一邊是一個常數(shù)，再利用平方根的定義求解當(dāng)時，兩邊開平方便可求得方程的根；當(dāng)時，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，因為負(fù)數(shù)沒有平方根配方步驟：化：方程兩邊同除以二次項系數(shù)，化二次項系數(shù)為1；移：移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；配：配方，方程兩

4、邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把原方程化為的形式；求：若，兩邊同時開平方，求得方程的解；若，則原方程無實數(shù)根即原方程無解注意：“在方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方”的前提是二次項系數(shù)為12公式法求根公式：一般地，對于一個一元二次方程，當(dāng)時，它的根是基本步驟：化：將方程化為一般形式：；定：正確確定的值；求：代入公式求解，若則方程有實數(shù)根，若則方程無實數(shù)解即無解3因式分解法基本思想：利用“若，則或”的性質(zhì)求方程的根基本步驟：化：將方程的右邊化為零；分：將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；轉(zhuǎn)：令每個因式分別為零，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；解：解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解注意事項：當(dāng)

5、一元二次方程的一邊為零，而另一邊易分解成兩個一次因式的積的形式時，可用分解因式法用此法解方程時，要深入觀察方程的特點，并且要對分解因式的方法非常熟練解具體的一元二次方程時，要分析方程的特征，靈活選擇方法公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基礎(chǔ)公式法是直接利用了配方法的結(jié)論分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程掌握各種方法的基本思想是正確解方程的根本一般說來，先特殊后一般，即先考慮分解因式法，后考慮公式法沒有特別說明，一般不用配方法3一元二次方程的近似解估計一元二次方程的精確解或近似解，通常采用列表的方式首先根據(jù)具體的實際問題確定出解的具體范圍，然后通過具體計算從兩邊“夾逼”，逐

6、步獲得方程的精確解或近似解這種“夾逼”的思想是近似計算的重要思想一般地，一個一元二次方程如果有解，那么它有兩個解，這兩個解可能相等，也可能不相等4一元二次方程的是實際應(yīng)用方程是解決實際問題的有效模型和工具，解方程的技能訓(xùn)練要與實際問題相聯(lián)系，在解決問題的過程中體會解方程的技巧，理解方程的解的含義利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系，找出題目中的已知量與未知量，分析已知量與未知量的關(guān)系，再通過等量關(guān)系，列出方程，求解方程，并能根據(jù)方程的解和具體問題的實際意義，檢驗解的合理性列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟可歸納為審、設(shè)、列、解、驗、答審：讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未

7、知量，以及它們之間的等量關(guān)系；設(shè)：設(shè)元，也就是設(shè)未知數(shù)；列：列方程，這是非常重要的關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程；解：解方程，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗方程的解能否保證實際問題有意義；答：寫出答語相等關(guān)系的尋找應(yīng)從以下幾方面入手：分清本題屬于哪一類型的應(yīng)用題，如行程問題，則其基本數(shù)量關(guān)系應(yīng)明確注意總結(jié)各類應(yīng)用題中常用的等量關(guān)系如工作量工程問題常常是以工作量為基礎(chǔ)得到相等關(guān)系如各部分工作量之和等于整體1等注意語言與代數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化題目中多數(shù)條件是通過語言給出的，我們要善于將這些語言轉(zhuǎn)化為我們列方程所需要的

8、代數(shù)式從語言敘述中尋找相等關(guān)系如甲比乙大5應(yīng)理解為“甲=乙5”等在尋找相等關(guān)系時，還應(yīng)從基本的生活常識中得出相等關(guān)系總之，找出相等關(guān)系的關(guān)鍵是審題，審題是列方程的基礎(chǔ)，找相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵【復(fù)習(xí)指引】1配方法、公式法、分解因式法分別適用于解不同特點的方程，具體求解時，應(yīng)在觀察方程特點和綜合考慮各種方法適用范圍的基礎(chǔ)上合理選擇解方程的方法2在用一元二次方程解決實際問題的過程中，要抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，盡量避免實際情境的干擾；同時要明確：數(shù)學(xué)問題與實際問題的區(qū)別在用方程知識解決完實際問題后，一定要檢驗所求結(jié)果是否符合實際情況，對不適合實際情況的解一定要舍去；同時對適合實際情況的解絕對不能

9、丟掉【考點例析】考點一：一元二次方程的定義構(gòu)成一元二次方程的條件：必須是整式方程；二次項系數(shù)不能為0；只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2只有同時具備這三個條件的方程才是一元二次方程例1（甘肅）下列方程中，關(guān)于的一元二次方程是（）（A）（B）（C）（D）析解：由一元二次方程的判定條件可知：（B）不滿足條件，（C）不滿足條件，（D）不滿足條件，只有（A）同時滿足這幾個條件故選（A）考點二：一元二次方程的相關(guān)概念基本形式：（）；其中分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項，分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)例2（吉林）將方程化為一元二次方程的一般形式為_（吉林）一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項之和

10、為_析解：為（莫忘移項要變號）；為5，要特別注意項和系數(shù)的符號考點三：方程根的定義及其應(yīng)用若是一元二次方程（）的根，則必有，反之，若，則是一元二次方程的根，這就是一元二次方程根的定義利用這個根的定義解題時，要特別注意二次項系數(shù)不為0的條件例3（蘭州）已知是方程的一個根，則代數(shù)的值等于（）（A）1（B）0（C）1（D）2（北京海淀）關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則的值為（）（A）1（B）1（C）1或1（D）析解：選（C）；根據(jù)方程根的定義，將代入原方程中，則原方程變形為關(guān)于的一元二次方程：，又由于，所以，應(yīng)選（B）本題極易忽視二次項系數(shù)這一內(nèi)含條件，容易錯選為（C）因此解這類題目時，若二次項系

11、數(shù)中含有字母已知數(shù)，一定要使其不為0考點四：一元二次方程的解法直接開平方法：課本上雖然沒有介紹，但這是解一元二次方程的一種方法，它建立在數(shù)的開方的基礎(chǔ)上，當(dāng)把方程整理成的形式時，就可以用此法求解但要注意當(dāng)時，方程無實根；配方法：它建立在直接開平方的基礎(chǔ)上，將方程（）的左邊恒等變形為的形式，從而整理得，通過開平方法求得方程的根它適用于任何一個有解的一元二次方程，而且在今后的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中，它始終是一種很重要的思想方法；公式法：它適用于任何一個有解的一元二次方程公式法抓住了配方法的結(jié)論，使其公式化，變求解問題為已知的值，求代數(shù)式的值的問題；因式分解法：對于系數(shù)比較特殊的一元二次方程，用因式分解法求解

12、比較快捷，其實質(zhì)就是降次法它將一元二次方程化為一元一次方程來求解這四種方法既有區(qū)別，又有聯(lián)系公式法比配方法簡單，但不如直接開平方法和因式分解法快捷，在具體解方程時，要根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庖话沩樞驗橄忍厥夂笠话慵粗苯娱_平方法因式分解法公式法，沒有特別說明一般不采用配方法例4（福州）解方程：解析：本題可用公式法或配方法求解，答案：考點五、一元二次方程在實際中的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用常常以當(dāng)今社會所關(guān)注的熱點問題和焦點問題為素材，這類問題雖然貼近生活，卻不拘一格因此，平時熱心關(guān)注社會、積累生活經(jīng)驗是學(xué)好本部分內(nèi)容的一個前提，在較復(fù)雜的社會背景中，運用方程的思想，尋找等量關(guān)系式，列出方程

13、，是解題的一個關(guān)鍵下面就近幾年的中考試題中選取幾道典型的經(jīng)典考題，加以評析，供參考例5（常州）春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如下收費標(biāo)準(zhǔn)：如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為1000元如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為1000元如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游解：設(shè)該單位這次共有名員工去天水灣風(fēng)景取旅游因為100025

14、=2500027000，所以員工人數(shù)一定超過25人，可得方程解得，當(dāng)時，100010（25）=600700，故舍取；當(dāng)時，100010（25）=900700，符合題意；答：該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游例6（黃岡）黃岡百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天售出20件，每件贏利40元，為了迎接“六一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加贏利，減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價4元，那么，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上贏利1200元，那么，每件童裝應(yīng)降價多少元誤解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價元，依題意，得，整理，得解得答：每件童狀應(yīng)降價10元或20元剖析：從表面上看，本題的解答天衣無縫，但本題要求在贏利相同的情況下，盡快減少庫存，就是使童裝盡快地銷售因為每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件，則降價20元比降價10元賣的多，可盡快減少庫存，故正確答案應(yīng)為每件童裝降價20元說明：隨著市場經(jīng)濟的發(fā)展，經(jīng)濟決策型應(yīng)用題逐漸成為各地中考題的新寵，這類應(yīng)