【九年級數(shù)學(xué)講義】01初三數(shù)學(xué)培優(yōu)（教師）動點(diǎn)產(chǎn)生的相似問題

1、動點(diǎn)產(chǎn)生的相似問題如圖，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)在此拋物線上，矩形面積為。求此拋物線的對稱軸是經(jīng)過、兩點(diǎn)的一個(gè)動圓，當(dāng)與軸相交，且在軸上兩個(gè)交點(diǎn)的距離為時(shí)，求圓心坐標(biāo)；若線段與交于點(diǎn)，以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形相似，如果有可能，請求出點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線解析式；如果不能，請說明理由。解：（1）易知：對稱軸為直線（2）易知：另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，），所以圓心的坐標(biāo)為（，）或（，）（3）線段與交于點(diǎn) 點(diǎn)縱坐標(biāo)必須大于 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（，），過點(diǎn)作軸，垂足為，（舍）點(diǎn)坐標(biāo)為（，），拋物線解析式為如圖，平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸，軸分別交于（，），

2、（，）兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一動點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn).求直線的解析式；若，求點(diǎn)的坐標(biāo);在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以、為頂點(diǎn)的三角形與相似.若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：（1）直線解析式為：。 （2）方法一：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（，），那么，由題意：，解得，（舍去）（，）方法二：，由，得，可得 ，（，）（）當(dāng)時(shí)，如圖若，則，（，）若，則，（，）當(dāng)時(shí)過點(diǎn)作于點(diǎn)（如圖），此時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)方法一： 在中， 在中， ；（，）方法二：設(shè)（，），得 ，由,得 ，解得此時(shí)，（，） 若（如圖），則，（，）（由對稱性也可得到點(diǎn)的坐標(biāo)）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在軸上,不符合要求.綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是

3、：（，），（，），（，），（，）如圖，已知在梯形中，是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，交射線于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（1）用含的代數(shù)式表示的長（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域（3）與能否相似？如果能，請求出的長；如果不能，請說明理由解：（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)在中，所以，在中，（2），又，即 因此，定義域?yàn)椋?）要使與相似，必須有或如果，那么，因此，所以四邊形是平行四邊形于是，即解方程，整理，得 解得如果時(shí)，那么點(diǎn)與點(diǎn)重合于是，即解得 綜上所述，與能相似，此時(shí)或已知：如圖1，拋物線yax 2bxc與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線yx2經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且AB2（1）求拋物線的解析式

4、；（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E、D，同時(shí)動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動（如圖2），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O時(shí)，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動，連接DP，若點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t秒，設(shè)s EQ F( EDOP , EDOP ) ，當(dāng)t為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值；（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由OxOxyCAB圖1OxyCAB圖2EDP（1）直線yx2與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)CA（2，0），C（0，2）又AB2，B

5、（4，0）設(shè)拋物線解析式為ya( x2 )( x4 )，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a EQ F(1, 4 )拋物線的解析式為y EQ F(1, 4 )( x2 )( x4 ) EQ F(1, 4 ) x 2 EQ F(3, 2 ) x2（2）依題意，CEt，PB2t，OP42tOxyCABEDPDEBA， EQ F( ED , OB ) EQ F( CE , COOxyCABEDP即 EQ F( ED , 4 ) EQ F( CE , 2 ) ，ED2CE2t又s EQ F( EDOP , EDOP ) EQ F( 2t42t , 2t( 42t ) ) EQ F( 1 , t 22t )t 22t(

6、 t1 )21當(dāng)t1時(shí)，t 22t有最大值1當(dāng)t1時(shí)，s有最小值 EQ F(1, 1 ) 1OxyCABEDP（3）由題意可求：CDeq r(,5)t，BC2eq r(,OxyCABEDPBD2eq r(,5)eq r(,5)tPBDABC以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似有兩種情況當(dāng) EQ F( BP , BA ) EQ F( BD , BC ) 時(shí)，即 EQ F( 2t , 2 ) EQ F( 2eq r(,5)eq r(,5)t , 2eq r(,5) ) ，解得t EQ F(2, 3 )當(dāng) EQ F( BP , BC ) EQ F( BD , BA ) 時(shí)，即 EQ F( 2t ,

7、 2eq r(,5) ) EQ F( 2eq r(,5)eq r(,5)t , 2 ) ，解得t EQ F(10, 7 )當(dāng)t EQ F(2, 3 ) 或t EQ F(10, 7 ) 時(shí)，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似【課后作業(yè)】拋物線（）交軸與點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），交軸于點(diǎn)，已知（，），的面積為。求拋物線的解析式；若動直線（軸）從點(diǎn)開始，以每秒個(gè)長度單位的速度沿軸負(fù)方向平移，且分別交軸、線段于、兩點(diǎn)，動點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位的速度向原點(diǎn)運(yùn)動。連結(jié)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間秒，當(dāng)為何值時(shí)，的值最大，求出最大值；在滿足（2）的條件下，是否存在的值，是否存在的值使以、為頂點(diǎn)的三角形與相似

8、，若存在，試求出，若不存在，請說明理由。解：（1）易知：（，），（，） 拋物線的解析式為：（2）易知：（，），（，），（，）當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為（3）當(dāng)時(shí)： 當(dāng)時(shí)： 當(dāng)、時(shí)，與相似?！窘處焸溆谩吭谄叫兴倪呅蜛BOC中，AOBO，且AOBO以AO、BO所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知B（6，0），直線y3xb過點(diǎn)C且與x軸交于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)E為y軸正半軸上一點(diǎn)，當(dāng)BED45時(shí)，求直線EC的解析式；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線EC與x軸交于點(diǎn)F，ED與AC交于點(diǎn)G點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿折線OFFE運(yùn)動，在運(yùn)動過程中直線PA交BE于H，設(shè)運(yùn)動時(shí)

9、間為t當(dāng)以E、H、A為頂點(diǎn)的三角形與EGC相似時(shí)，求t的值BBACxOyD解：（1）B（6，0），BO6AOBO，AO6ABOC，ACOB，ACBO6C（6，6）直線y3xb過點(diǎn)C，618bb12，y3x12令y0，得03x12x4，D（4，0）BACOyKDExI123（2）BACOyKDExI123則12903BED45，EBK45BKEK，RtBDKRtEIKEIBDBOOD641012，BOIEOD EQ F( OI , OD ) EQ F( BO , EO ) ， EQ F( OI , 4 ) EQ F( 6 , 10OI )解得OI2（舍去負(fù)值）EOEIOI10212E（0，12）

10、設(shè)直線EC的解析式為ykxm eq blc( eq aalco1vs4(12m,66km) 解得 eq blc( eq aalco1vs4(k1,m12)BACOyDEGFxPH4BACOyDEGFxPH45（3）yx12，當(dāng)y0時(shí)，x12F（12，0），OF12OEOF，OEF45BED45，45OEF45，ECG45當(dāng)EAHECG45時(shí)，EHAEGCOAPEAH45，OPOA6t6當(dāng)EHAECG45時(shí)，EAHEGC EQ F( EH , EC ) EQ F( EA , EG )BACOyDEGFxPH45EAEOAO6，BACOyDEGFxPH45EO12，OD4，ED eq r(, 4 212 2 )4eq r(,10)EAAO6，AGOD，EG EQ F(1, 2 ) ED2eq r(,10) EQ F( EH , 6eq r(,2) ) EQ F( 6 , 2eq r(,10) ) ，EH EQ F(18eq r(,5), 5 )EHPEFB45，PEHBEFEHPEFB， EQ F( EP , EB ) EQ F( EH , EF ) EQ F( EP , eq r(, 6 212 2 ) ) EQ