函數(shù)單調(diào)性奇偶性對稱性周期性解析

1、函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性剖析函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性剖析7/7函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性剖析函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性剖析作者：日期：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性剖析一、函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)與嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)設(shè)f(x)為定義在I上的函數(shù)，若對任何x1,x2I，當(dāng)x1x2時，總有()f(x1)f(x2)，則稱f(x)為I上的增函數(shù)，特別當(dāng)且僅當(dāng)嚴(yán)格不等式f(x1)f(x2)成馬上稱f(x)為I上的嚴(yán)格單調(diào)遞加函數(shù)。()f(x1)f(x2)，則稱f(x)為I上的減函數(shù)，特別當(dāng)且僅當(dāng)嚴(yán)格不等式f(x1)f(x2)成馬上稱f(x)為I上的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。2函數(shù)

2、單調(diào)的充要條件若f(x)為區(qū)間I上的單調(diào)遞加函數(shù)，x1、x2為區(qū)間內(nèi)兩任意值，那么有：f(x1)f(x2)或0 x10（xx)f(x)f(x)x2若f(x)為區(qū)間I上的單調(diào)遞減函數(shù)，x1、x2為區(qū)間內(nèi)兩任意值，那么有：f(x1)x13函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)作差法(定義法)作商法f(x2)或x2)f(x1)f(x2)0 x20（x1復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷關(guān)于函數(shù)yf(u)和ug(x)，若是函數(shù)ug(x)在區(qū)間(a,b)上擁有單調(diào)性，當(dāng)xa,b時um,n，且函數(shù)yf(u)在區(qū)間(m,n)上也擁有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)f(g(x)在區(qū)間a,b擁有單調(diào)性。5由單調(diào)函數(shù)的四則運(yùn)算所獲取的函數(shù)的單調(diào)性的判斷

3、關(guān)于兩個單調(diào)函數(shù)f(x)和g(x)，若它們的定義域分別為I和J，且IJ：(1)當(dāng)f(x)和g(x)擁有相同的增減性時，函數(shù)F1(x)f(x)g(x)、F2(x)f(x)g(x)的增減性與f(x)(或g(x)相同，F(xiàn)3(x)f(x)g(x)、F4(x)f(x)(g(x)0)的增減性g(x)不能夠確定；(2)當(dāng)f(x)和g(x)擁有相異的增減性時，我們假設(shè)f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，那么：F1(x)f(x)g(x)、F2(x)f(x)g(x)的增減性不能夠確定；F3(x)f(x)g(x)、F4(x)f(x)(g(x)0)為增函數(shù)，F(xiàn)5(x)g(x)(f(x)0)為g(x)f(x)減函數(shù)。二

4、、函數(shù)的奇偶性1.奇偶性的定義若是關(guān)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；若是關(guān)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。2.奇偶性的幾何意義擁有奇偶性的函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱。函數(shù)奇偶性的判斷(證明)比較f(x)與f(x)的關(guān)系；(2)f(x)（f(x)0）與的關(guān)系；f(x)1(3)f(x)f(x)與0的關(guān)系由擁有奇偶性的函數(shù)的四則運(yùn)算所獲取的函數(shù)的奇偶性的判斷關(guān)于兩個擁有奇偶性的函數(shù)f(x)和g(x)，若它們的定義域分別為I和J，且IJ：當(dāng)f(x)

5、和g(x)擁有相同的奇偶性時，假設(shè)為奇函數(shù)，那么：函數(shù)F1(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)也為奇函數(shù)；F2(x)f(x)g(x)、F4(x)f(x)(g(x)0)為偶函數(shù)；g(x)當(dāng)f(x)和g(x)擁有相異的奇偶性時，那么：F1(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)的奇偶性不能夠確定；F2(x)f(x)g(x)、F4(x)f(x)(g(x)0)、F5(x)g(x)(f(x)0)為奇函數(shù)。g(x)f(x)若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).三、函數(shù)的對稱性函數(shù)自對稱（1）關(guān)于y軸對稱的函數(shù)（偶函數(shù)）

6、的充要條件是f(x)f(x)（2）關(guān)于原點(diǎn)0,0對稱的函數(shù)（奇函數(shù)）的充要條件是f(x)f(x)0（3）關(guān)于直線yx對稱的函數(shù)的充要條件是f1(x)f(x)2.兩個函數(shù)的圖象對稱性（1）yf(x)與yf(x)關(guān)于x軸對稱。換種說法：yf(x)與yg(x)若滿足f(x)g(x)，即它們關(guān)于y0對稱。（2）yf(x)與yf(x)關(guān)于y軸對稱。換種說法：3）y換種說法：4）y換種說法：yf(x)與yg(x)若滿足f(x)g(x)，即它們關(guān)于x0對稱。f(x)與yf(2ax)關(guān)于直線xa對稱。yf(x)與yg(x)若滿足f(x)g(2ax)，即它們關(guān)于xa對稱。f(x)與y2af(x)關(guān)于直線ya對稱

7、。yf(x)與yg(x)若滿足f(x)g(x)2a，即它們關(guān)于ya對稱。（5）yf(x)與y2bf(2ax)關(guān)于點(diǎn)a,b對稱。換種說法：yf(x)與yg(x)若滿足f(x)g(2ax)2b，即它們關(guān)于點(diǎn)a,b對稱。（6）yf(ax)與y(xb)關(guān)于直線xab對稱。2（7）yf(x)與yf1(x)關(guān)于直線yx對稱。若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱;2幾個常有的函數(shù)方程（1）正比率函數(shù)f(x)2）指數(shù)函數(shù)f(x)3）對數(shù)函數(shù)f(x)4）冪函數(shù)f(x)x5）余弦函數(shù)f(x)f(0)1,limg(x)1x0 xcx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.ax,f(xy

8、)f(x)f(y),f(1)a0.logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).,f(xy)f(x)f(y),f(1).cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，.四、函數(shù)的周期性主要結(jié)論1若是函數(shù)yf(x)關(guān)于所有xR,都有f(ax)f(ax)(f(2ax)f(x),那么函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線xa對稱yf(xa)是偶函數(shù)2若是函數(shù)yf(x)關(guān)于所有xR,都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x=ab（由x=(ax)(bx)確定）對稱223.若是函數(shù)yf(x)關(guān)于所有xR,都有f(ax)f(ax)2

9、b成立,那么函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱兩個函數(shù)圖像之間的對稱性（1）函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x0(即y軸)對稱；函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線y0;函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱。（2）函數(shù)yf(ax),yf(bx),的圖像關(guān)于直線xabxbx確定)對2(由a稱（3）函數(shù)yf(x)與函數(shù)yAf(x)的圖像關(guān)于直線yA對稱（由f(x)Af(x)2y2確定x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(n,m)中心對稱（4）函數(shù)yf(x)與函數(shù)ymf(n225.左加右減（對一個x而言），上加下減（對剖析式而言）：若將函數(shù)yf(x)的圖像右移a、上移b個單位，獲取

10、函數(shù)yf(xa)b的圖像；若將曲線f(x,y)0的圖像右移a、上移b個單位，獲取曲線f(xa,yb)0的圖像6.函數(shù)f(xa)(a0)的圖像是把yf(x)的圖像沿x軸向左平移a個單位獲取的；函數(shù)f(xa)(a0)的圖像是把yf(x)的圖像沿x軸向右平移a個單位獲取的；函數(shù)yf(wxa)的圖像是把yf(wxb)的圖像沿x軸向左平移ab個單位獲取的w7.定義：關(guān)于函數(shù)f(x)，若是存在一個非零常數(shù)T。使適合x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(xT)f(x)，則f(x)的最小正周期為T，T為這個函數(shù)的一個周期8.若是函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且最小正周期為TT0T，那么f()f()229.若是函數(shù)f

11、(x)所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期，若是函數(shù)f(x)的最小正周期為T則函數(shù)f(ax)的最小正周期為T，若是af(x)是周期函數(shù)，那么yf(x)的定義域無界10.關(guān)于函數(shù)的周期性的幾個重要性質(zhì)：（1）若是yf(x)是R上的周期函數(shù)，且一個周期為T，那么f(xnT)f(x)(nZ)（2）函數(shù)圖像關(guān)于xa,xb軸對稱T2(ab)（3）函數(shù)圖像關(guān)于a,0,b,0中心對稱T2(ab)（4）函數(shù)圖像關(guān)于xa軸對稱，關(guān)于b,0中心對稱T4(ab)（5）f(xa)1(f(x)0)或f(xa)1a)f(x)或f(x)(f(x)0)或f(xf(x)1f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的