愛(ài)尖子初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽專屬課2017秋季講義第10講幾何訓(xùn)練

1、聯(lián)賽幾何訓(xùn)練 2第十講例1.如圖，平行直線l1,l2 間的距離等于正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)，并且與正方形的周界相交于 E、F、G、H，證明：EG 與 FH 的夾角為45 FRE解答：設(shè) EG, FH 交于 O，過(guò) O 作正方形邊的平行線 PQ, RS ，分別交正方形邊于 P,Q 和 R, S ，再過(guò) O 作 EF 的垂線，分別交 EF,GH 于 X ,Y ，因?yàn)?PO XO RO ，且 PO OQ XO OY RO OS ，OQOYOS故 PO XO RO ，故EOF 45 PQGSH例2.在ABC 中， AB AC 任意延長(zhǎng)CA 到 P，延長(zhǎng) AB 到 Q，使 AP BQ 求證：ABC 的外

2、心 O 與 A、P、Q 四點(diǎn)共圓PA解答：OAPOBQ（SAS），故OQA OPA ，所以O(shè),Q, P,Q 共圓OBCQ例3.如圖，P 與Q 相交于 M、N 兩點(diǎn)，以 M 為圓心的第三個(gè)圓交DP 于 A、B，交Q 于 C、D，求證： AND BNC MAC解答：M 為弧 AB 的中點(diǎn)，ANM=BNMM 為弧 CD 的中點(diǎn)，DNM=CNMBQPN以上兩式相加即證XOYA例4.如圖，在ABC 中，AD 為角平分線，M、N 分別是 AB、AC 的中點(diǎn)已知MDN 1 B C 求證： BC 1 AB AC 22MN解答：設(shè)三角形 AMN 內(nèi)心為 I，則 I,M,N,D 四點(diǎn)共圓，BMD=MAD+MDA=

3、MAD+MNI= 1 A C ，BDC21 BMD 90 B ，BM=BD；同理CN CD 2例5.ABC 中， AB AC BC ，D 點(diǎn)在 BC 上，E 點(diǎn)在 BA 的延長(zhǎng)線上，且 BD BE AC ，BDE 的外接圓與 ABC 的外接圓交于 F 點(diǎn)（如圖）求證： BF AF CF B解答：FAEFCD，故 AF CD CF AE ，D定理得 BF AC AF BC CF AB ，四邊形 ABFC 中，由AC故 BF AC AF BD AF CD CF BE CF AE AF BD CF BE AF CF AC ，故結(jié)論成立EF例6.分別以銳角ABC 的邊 AB、BC、CA 為斜邊向外作等

4、腰直角DAB、EBC、FAC求證：（1） AE DF ；（2） AE DF AFD解答：設(shè) AC 中點(diǎn)為 X，則DXE 為等腰直角三角形，故由雙等腰直角旋轉(zhuǎn)全等模型，AXEFXD（SAS），故 AE DF ， AE DF BCE在ABC 中，C 30，O 為外心，I 為內(nèi)心，D、E 分別是邊 AC、BC 邊上的點(diǎn)，使得 AD BE AB 求證： OI DE ，例7.AOI DE DOI解答：連結(jié) BI 并延長(zhǎng)，交圓于 F，連結(jié) AE、OF，AE 交 BF 于 H考慮FIO 與AED，OF r AO，AF 2AH AE， AEBF、OFAC 導(dǎo)致A=F，故全等，對(duì)應(yīng)邊垂直BEC例8.如圖，過(guò)圓O

5、 外一點(diǎn) A 引圓的割線 ACD ，與點(diǎn) A 所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦 PQ 交于點(diǎn) B 證明：弦CD 被點(diǎn) A, B 調(diào)和分割，即 CB CA BDADA_C_解答：連 AO ，交 PQ 于 L ， AQ2 AC AD AL AO ， LODC 共圓，ALC CDO OCD OLD ，故CLB DLB ，LB 平分CLD ，又 AL LB ，故 LA 為外角平分線_B_PQO_D_平面直角坐標(biāo)系中，已知 A1,0, B4,0 在 x 軸上求點(diǎn) P ，使得 BP 2 ；在平面直角坐標(biāo)系中找出所有滿足 2 的點(diǎn) P ，證明：P 在以原點(diǎn)為圓心半徑為 2 的圓上AP例9.APBP：（1） P1( 2, 0) P2 (2, 0) ；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn) P(x, y) ，利用距離公式列出方程： (x4)2y22 (x1)2y2，化簡(jiǎn)得 x2y24 ，故動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡就是以原點(diǎn)為圓心，半徑為 2 的圓例10. 在三角形 ABC 中， AB 9 ， BC : CA 40 : 41求這個(gè)三角形的面積最大值解答：把 AB