湘教版 學案 三次函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)區(qū)間和極值

1、33.3 次數(shù)性：調(diào)間極1理解函最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系2會求某區(qū)間上函數(shù)的最值極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的 性質(zhì)但是我們往往更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上哪個值最大哪個值最小函數(shù)的 極值與最值有怎樣的關(guān)系？答函數(shù)的最大值最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的函數(shù)的極 值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的函數(shù)的極值可以有多個但最值只能有一 個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得；有極值的未必有最值， 有最值的未必有極值極值有可能成為最值最值只要不在端點處取得必定是極 值，所以在開區(qū)間(a，b)上若存在最值，則必是極值三次函數(shù)的導數(shù)零點與其單調(diào)區(qū)間

2、和極值設 F()2cxd(a，F(xiàn)()3ax2 填寫下表： 當 a0 ，F(xiàn)()的點 F()、(x的性質(zhì)2c(a無xxu xuv)F()的號x，u (v，時，F(xiàn)()0 F(x0 F()0 xuv時 F( )0F()的單調(diào)性F()的值在， 上遞增無在， )上遞增無在(，)上遞增；在(uv) 上遞減；在(v，)上遞增在 xu 取極大值， 在 x 處取極小值2 2 當 a0 ，F(xiàn)()的零點 F()、(x的性質(zhì)無xxu 和 xuv)F()的符號x，u (v，時，F(xiàn)()0 F(x0 F()0F()的調(diào)性F()的值在，)上遞 減無在，)上 遞減無在(，)上遞減；在 (u，上遞增；在(v，)上遞減 在 xu 取

3、極小值，在 x 處取極大值要點一求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點例 1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點：f()23x26x1；f()29x212x7.解f()6 666(1)由于 f(x恒正，f()在(，)遞增無極值點f()618x123x2)6(1)(x2)f(x在，和2)上均為負，在(為正， f(x在(，1)(2)上遞減，在(遞增， x1 函數(shù) f()極小值點，x2 為極大值點規(guī)律方法對此類題目了 (x的符號對函數(shù) (x取極值的影響，所有問題便迎刃而解，所以重要的是方法的領(lǐng)悟跟蹤演練 1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點：f()x3；f()x31 x22x5.3 23 2 3 2 2 3 3 3 3 m

4、ax3 max3 3 23 2 3 2 2 3 3 3 3 max3 max3 2a 3 3 max解f()32x124(3)(80又30f(x)0，f()為增函數(shù)； 當 x 1(x)0，f()增函數(shù)所以 f(x的遞增區(qū)間為( ， )和(，) f(x)遞減區(qū)間為 ， 根據(jù) f(x的單調(diào)性及 fx0 零點知 x1 為函數(shù) f()極小值點23為其極大值點要點二含參數(shù)的函數(shù)的最值問題例 2解已知 a 實數(shù)，函數(shù) ()( ，求 f(x在區(qū)間上的最大值 f(xxa)f)xx)2a令 f(x0解得 x0 .2a當 0即 a0 ，f()在上單調(diào)遞增， 從而 f(x) f8 a.2a當 2即 a3 ，f()在

5、上單調(diào)遞減， 從而 f(x) f0.2a當 0 ，即 0a ，f(x在 在 ，2 4a2從而 f(x) 3max3 1 2 3 max3 2 max3 2 2 43 3 3 27maxmaxmax3 1 2 3 max3 2 max3 2 2 43 3 3 27maxmax2 27 4a綜上所述，f(x) 規(guī)律方法由于參數(shù)的取值不同會導致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導致最值的變化以解決這類問題常需要分類討論結(jié)合不等式的知識 進行求解a3.在本例中，將區(qū)間改為結(jié)果如何？跟蹤演練 22解令 f(x0解得 x 0 a2當 a0即 a0 ，f()上單調(diào)遞增，從而 (x) f(0)0 2 3當

6、a1即 a 時，f()上單調(diào)遞減，從而 f(x) f(1)；2 3當1 ，即 a0 ，f(x在 a，0 f(x) f 綜上所述：f(x) 31aa ， 4 a a0 0a0.要點三函數(shù)極值的應用例 3設函數(shù) f(x22ttx，t0)求 f()的最小值 h() ；若 h()2t 對 t (0,2)恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍解f() (xt)2t3tR，t0)當 xt 時，f()取最小值 f(t)t1即 ht)t3t1.令 g()ht)2t)t33tm由 g()3t230 t1t不合題意，舍去)maxmaxmaxmax當 t 變化時 g()、gt) 變化情況如下表：t gtgt)遞增101遞減

7、對 t(0,2)，當 t1 ，gt) m ht)2t t恒成立，也就是 g()0對 成立， 只需 gt) m0m故實數(shù) m 取值范圍是(1)規(guī)律方法“恒成立 ”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型，一般地，可采用分離參數(shù)法進行轉(zhuǎn)化 f( 恒成 max； ( )成立min.對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可(2)類問題特別要小 “最能否取得 ” “等式中是否含等 ” 情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“跟蹤演練 3設函數(shù) ()2x39x2128c，若對任意的 ，都有 (x)成立，求 c 的取值范圍若對任意的 ，都有 f(x)0當 x時，f()fx時，f(x的最大值為 f(3)9

8、8c.對任意的 x，有 f()c2 成立，98c2，即 c1 或 cc 的取值范圍為(，1)(9) 由(1) f( xf (3)9，98 即 c1 c9 2 2 2 2 2 2 maxc 的取值范圍為(，19)1函數(shù) ()x2 A(2)f(3) Cf(2)，47，在 上的最大值和最小值分別是( )B(3)，f(5) Df(5)，f(3)答案解析Bf(x24當 x時，f()0故 f(x在上單調(diào)遞減，故 f(x的最大值和最小值分別是 ，f(5)2函數(shù) ()3x )A有最值，但無最小值 C無最大值，但有最小值B有最大值，也有最小值 D既無最大值，也無最小值答案解析Df(x3x23x1)(1)當 (時，f()0則函數(shù)在區(qū) 為增函數(shù)，所以 最大值為 y sin 故選 C.4 函數(shù) f() x3 x2 9 在區(qū)間上的最大值為10 ，則其最小值為_答案解析71 f(x3x2693(3)(x1)由 f(x0 x3 x1. 又 f(k76f(3)k27maxmimaxmif(k5f20.由 f(x) k510得 5 f(x) k761函數(shù)的最值時，應注意以下幾點(1)數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是對整個定義域而言，是在整體范圍內(nèi)討論問題，是一個整體性的概念閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定