常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)

1、關(guān)于常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)第1頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三2為什么要研究無窮級數(shù)是進行數(shù)值計算的有效工具(如計算函數(shù)值、出它的威力. 在自然科學和工程技術(shù)中, ?無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式.因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù),故它在積分運算和微分方程求解時,也呈現(xiàn)如諧波分析等.造函數(shù)值表).級數(shù)來分析問題,也常用無窮第2頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三3常數(shù)項級數(shù)的概念收斂級數(shù)的基本性質(zhì)柯西審斂原理 小結(jié) 思考題 第12章 無窮級數(shù)constant term infinite series12.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)第3頁，共36

2、頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三4引例 依次作圓內(nèi)接正邊形, 這個和逼近于圓的面積 A .即設(shè)a0表示內(nèi)接正三角形面積, ak表示邊數(shù)增加時增加的面積, 則圓內(nèi)接正一、常數(shù)項級數(shù)的概念用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.邊形面積為第4頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三51. 級數(shù)的定義(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項如 以上均為(常)數(shù)項級數(shù).(1)第5頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三6這樣, 級數(shù)(1)對應一個部分和數(shù)列:稱無窮級數(shù)(1)的2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散概念按通常的加法運算一項一項的加下去,為級數(shù)(1)的無窮級數(shù)定義式(1)的含義

3、是什么?也算不完,永遠那么如何計算?前n項和部分和.(1)從無限到有限, 再從有限(近似)到無限(精確)第6頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三7部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限.定義12.1則稱無窮級數(shù)并寫成即常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散).(不存在)存在當n無限增大時,部分和數(shù)列sn有極限s,如果sn沒有極限,第7頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三8對收斂級數(shù)(1),為級數(shù)(1)的余項或余和.顯然有當n充分大時,級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有極限是等價的.(1)稱差誤差為第8頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三9例而所以

4、,的部分和 級數(shù)級數(shù)發(fā)散.第9頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三10解(重要)例討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的收斂性. 級數(shù)收斂; 因為 所以第10頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三11級數(shù)發(fā)散;級數(shù)發(fā)散;級數(shù)發(fā)散. 綜上:級數(shù)變?yōu)?因為 所以 所以第11頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三12解例 判定級數(shù)的收斂性.因為所以第12頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三13其余項為即所以所以級數(shù)收斂,第13頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三14例 因為后式減前式, 得證證明級數(shù)并求其和

5、.收斂,第14頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三15故 所以, 此級數(shù)收斂,且其和為 2.第15頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三的部分和分別為 則于是也不存在極限.證性質(zhì)12.1設(shè)常數(shù)則有相同的斂散性.所以, 有相同的斂散性.結(jié)論: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), 斂散性不變.二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)16第16頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三17討論級數(shù)的斂散性.解例因為為公比的等比級數(shù),是以故級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第17頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三18性質(zhì)12.2設(shè)有兩個級數(shù)發(fā)散.收斂,

6、發(fā)散,均發(fā)散,斂散性不確定.證極限的性質(zhì)即證.級數(shù)的部分和結(jié)論: 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.第18頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三19 例都收斂.無窮遞減等比數(shù)列的和第19頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三20都發(fā)散.但級數(shù)收斂.例若兩級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.第20頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三21將級數(shù)的前 k 項去掉,的部分和為級數(shù)斂散性相同. 當級數(shù)收斂時, 其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩所得新級數(shù)性質(zhì)12.3 添加、去掉或改變有限項不影響證一個級數(shù)的斂散性.推論11

7、.2 在級數(shù)中添加、去掉或改變有限項不影響一個級數(shù)的斂散性.第21頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三22性質(zhì)11.4設(shè)級數(shù)收斂,在此收斂級數(shù)內(nèi)可以任意加(有限個或無限個)括號, 一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散, 注則原級數(shù)發(fā)散.事實上,加括后的級數(shù)就應該收斂了.設(shè)原來的級數(shù)收斂,則根據(jù)性質(zhì)11.4, 收斂 發(fā)散 一個級數(shù)加括號后收斂,原級數(shù)斂散性不確定.收斂于原級數(shù)的和所得新級數(shù)仍要強調(diào)的是,收斂級數(shù)一般不能去掉無窮多個括號;發(fā)散級數(shù)一般不能加無窮多個括號.(這個性質(zhì)也稱無窮和的結(jié)合律).第22頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三23性質(zhì)12.4

8、收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和數(shù)列 為原級數(shù)部分和數(shù)列 的一個子數(shù)列,因此必有例如證第23頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三24證此定理是級數(shù)收斂的必要條件.設(shè)則所以定理12.5則注(1) 此定理常用來判別級數(shù)發(fā)散;(3) 此定理是必要條件而不是充分條件.(2) 也可用此定理求或驗證極限為“0”的極限;即如調(diào)和級數(shù)但級數(shù)是卻是發(fā)散的.(后面將給予證明)第24頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三25例判別下列級數(shù)的斂散性級數(shù)收斂的必要條件常用判別級數(shù)發(fā)散.解題思路第25頁，共36頁，202

9、2年，5月20日，23點48分，星期三26解由于發(fā)散解由于發(fā)散第26頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三27 解而級數(shù)所以這個等比級數(shù)發(fā)散.由性質(zhì)11.1知,發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,為公比的等比級數(shù),是以收斂.由性質(zhì)11.2知,第27頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三28練習為收斂級數(shù),a為非零常數(shù),試判別級數(shù)的斂散性.解因為收斂,故從而故級數(shù)發(fā)散.級數(shù)收斂的必要條件:第28頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三29三、柯西審斂原理（柯西準則） 定理12.6(判別級數(shù)收斂性的柯西收斂原理)有證 設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為sn由判斷數(shù)列

10、收斂性的柯西準則知,對于任意正整數(shù)p,柯西收斂準則數(shù)列xn收斂的充要條件是:有數(shù)列sn收斂的充要條件是:有顯然,可改寫為當有有第29頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三30利用柯西收斂原理證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.例證考慮此級數(shù)的一段顯然,這說明:不論n多么大,調(diào)和級數(shù)的這一段的絕對值都不可能任意小,由柯西收斂原理得知,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.柯西收斂準則數(shù)列xn收斂的充要條件是:有第30頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三31利用柯西收斂原理判定級數(shù)例解的收斂性.因?qū)θ我庹麛?shù)p, 都有第31頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三32有對于任意正整數(shù)p,按柯西收斂原理,所以取正整數(shù)成立.柯西收斂準則數(shù)列xn收斂的充要條件是:有第32頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三33則下列結(jié)論正確的是研究生考題(數(shù)學三) 選擇, 4分練習(D)對 因為即所以有極限,有極限,所以(D)成立.(C) 錯因為所以即(A)錯 則則與(D)正確矛盾.同理(B)錯.第33頁，共36頁，2022年，5月20日，23點48分，星期三34常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法:(3) 按基本性質(zhì);則級數(shù)收斂;由定義,(2)則級數(shù)發(fā)散;一般項、部分和、收斂、發(fā)散及級數(shù)的