高三一輪復(fù)習2021版第二章第8講函數(shù)與方程

1、第8講函數(shù)與方程固雙基知識就理，.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y= f(x),把使f(x) = 0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.(2)三個等價關(guān)系：方程f(x) = 0有實數(shù)根？函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點？函數(shù)y = f(x)有零點.函數(shù)零點的判定如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 f(a) f(b)v0,那 么函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有零點，即存在 cC (a, b),使得f(c)= 0,這個c也就是f(x) =0的根.我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象與零點的關(guān)系

2、A 0A= 0A 0| J,|IJI . 1二次函數(shù)y= ax2 + bx /+ c(a0)的圖象nrr“一V卜產(chǎn)施#p工與x軸的交點(x1_0)te)(xi, 0)尢交點零點個數(shù)兩個一個零個基礎(chǔ)自測 TOC o 1-5 h z O判斷正誤(正確的打，錯誤的打X”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.()(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a) f(b)0.()(3)二次函數(shù) y= ax2+bx+c(aw0)在 b24ac0 時沒有零點.()(4)若函數(shù)f(x)在(a, b)上連續(xù)單調(diào)且f(a)f(b)0,則函數(shù)f(x)在a, b上有且只有一個零

3、 點.()答案：(1)X (2)X (3)V (4)V (教材習題改編)函數(shù)f(x)=ln x+2x6的零點在下列哪個區(qū)間內(nèi)()A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (3, 4)答案：C-11 x, (教材習題改編)函數(shù)f(x)=x2 2的零點個數(shù)為 ()A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B若函數(shù)f(x) =ax+b有一個零點是2,那么函數(shù)g(x)= bx2ax的零點是 .解析：因為2a+ b= 0,所以 g(x)= 2ax2 ax= ax(2x+ 1). ，一 . ， 一 1所以零點為0和一2.答案：。，2 (教材習題改編)函數(shù)f(x)=3x7+ln x的零點位于區(qū)

4、間(n, n+1)(nCN)內(nèi)，則n =解析：因為 f(2) = 6-7+ln 2 = ln 2- 10 ,又f(x) = 3x7+In x為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2, 3)內(nèi)，故n=2. 答案：2破疑婚考點|函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷第I 3 (1)函數(shù)f(x)=ln x2的零點所在的大致區(qū)間是( xA. (1, 2)C. (1, e)和(3, 4)毋類陰解化鄢疑推B. (2, 3)D . (e, + 8 )間()(0,C. (2,【解析】1)e)(1,D. (e,2)3)12(1)因為 f x)=:+70(x0),毋類陰解化鄢疑推B. (2, 3)D . (e, + 8 )間

5、()(0,C. (2,【解析】1)e)(1,D. (e,2)3)12(1)因為 f x)=:+70(x0),所以 f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增，又 f(3) = ln 3 x x2(2)h(x) = f(x)g(x)的零點等價于方程 f(x) - g(x) = 0的根，即為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象的交點的橫坐標，其大致圖象如圖，從圖象可知它們僅 有一個交點A,橫坐標的范圍為(0,1),故選(2)h(x) = f(x)g(x)的零點等價于方程 f(x) - g(x) = 0的根，即為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象的交點的橫坐標，其大致圖象如圖，從圖象可知它們僅 有一個交點A,

6、橫坐標的范圍為(0,1),故選A.【答案】(1)B(2)A睡西判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的3種方法(1)解方程法：當對應(yīng)方程f(x) = 0易解時，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給 定區(qū)間上.(2)定理法：利用函數(shù)零點的存在性定理，首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a) f(b)0,所以 f 1,1, Jf 2 =2+1og220,所以 f 4 f 22. (2019杭州市嚴州中學高三模擬 + (x- c)(x a)的兩個零點分別位于區(qū)間A. (a, b)和(b, c)內(nèi)B.(巴 a)和(a, b)內(nèi)C. (b, c)和(c, + 8)內(nèi)D.(巴 a)和(c,

7、 + 8)內(nèi)解析：選 A.因為 f(x)= (x a)(xb) + (xb)(xc)+(xc)(xa), 所以 f(a)= (a b)(a c),f(b) = (b-c)(b-a),f(c)=(c- a)(c- b),因為 ab0, f(b)0,所以f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a, b)和(b, c)內(nèi).考點2il函數(shù)零點個數(shù)的問題例ID (1)例ID (1)函數(shù) f(x)=x2+x- 2, x0的零點個數(shù)為(3C. 1(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x) = f(3x),且當xC 1 , 3)時,f(x) = ln3C. 1(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x) = f(3x),且當xC 1

8、, 3)時,f(x) = ln數(shù)g(x) = f(x) - ax有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是x,)2D. 0若在區(qū)間1, 9)內(nèi)，函ln 3A-虧ln 3C- 9,1 e12eB.D.ln 3 9,ln 39,13e ln 3x0, 或解得x= 2或x0, 或解得x= 2或x= e.1 + In x= 0,因此函數(shù)f(x)共有2個零點.法二：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點.一 E、，一 一 ,一 E、，一 一 ,x(2)因為 f(x) = f(3x) ? f(x) = f -3如圖所示，可得直線故選B.(2)B,當 x 3 , 9)時，f(x) = f

9、 | = ln,所以 f(x)= 33ln x, 1 x3,x而g(x) = f(x) ax有三個不同零點？ y= 僅)與y = ax的圖象有三個不同交點ln3, 3x9,八，判斷函數(shù)零點個數(shù)的3種方法(1)方程法：令f(x) = 0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a, b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0) , y2 = ln x(x0)的圖象由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2.2.已知函數(shù)f(x)2.已知函數(shù)f(x)是定義在(巴2|x 1|1, 0 x0時,f(x)=12f (x 2) , x2,A. 412f (x

10、 2) , x2,A. 4C. 8解析：選D.由另一半圖象即可.當則函數(shù)g(x)=4f(x)1的零點個數(shù)為()考點36D. 10f(x)為偶函數(shù)可得，只需作出xC(0, +8)上的圖象，再利用對稱性作 xC (0, 2時，可以通過y= 2x的圖象進行變換作出f(x)的圖象，當x2.，1時，f(x) = 2f(x2),即自變量差2個單位，函數(shù)值折半，進而可作出f(x)在(2, 4, (4, 6, 1 ，一一，1 ,一，的圖象，如圖所小.g(x)的零點個數(shù)即f(x) = 4的根的個數(shù)，也即f(x)的圖象與y=；4的圖象的 交點個數(shù)，觀察圖象可知，當x0時，有5個交點，根據(jù)對稱性可得當 x0時，也有

11、5個交 點，共計10個交點，故選D.函數(shù)零點的應(yīng)用(高頻考點)高考對函數(shù)零點的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).主要命題角度有:(1)利用函數(shù)零點比較大??；(2)已知函數(shù)的零點(或方程的根)求參數(shù)的值或范圍；利用函數(shù)零點的性質(zhì)求參數(shù)的范圍.口角度-利用函數(shù)零點比較大小I例叵(2019臺州模擬)已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)=ex+ x 2的零點為a,函數(shù) g(x)=ln x+x 2的零點為b,則下列不等式中成立的是()A. f(a)ff(b)B. f(a)f(b)f(1)f(1)f(a)f(b)D. f(b)f(1)0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的，而f(O)=e0+O-2=

12、- 10,所以函數(shù) f(x)的零點 aC (0, 1);1由題息，知g x)=+ 10,所以函數(shù)g(x)在(0, +)上是單倜遞增的又g(1) = ln 1 +x1-2 = - 10 ,所以函數(shù) g(x)的零點 bC(1, 2).綜上，可得0a1b2.因為f(x)在R上是單調(diào)遞增的，所以f(a)f(1) )(2)(2018高考浙江卷)已知入C R,函數(shù)f(x)=,當上2時，不等式f(x)0 x2-4x+3, x )的解集是 .若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則 入的取值范圍是 .【解析】(1)令 F(x)=0,即 g(x)f(x)m= 0.所以 m= g(x)-f(x) = log2(2x-1)

13、- log 2(2x+ 1)2Mog2 2x+1 og2 12X+1 .因為 1WxW 2,所以 3W2x+ 15.所以2 2, 1 1- -2 3 5 2x+ 1 3 32x+ 1 5. TOC o 1-5 h z 一、，12.3所以 log2 32 時，令 x-40,得 2Wx4;當 x2 時，令 x2 4x+30,得 1x2. 綜上可知，1x4,所以不等式f(x)0的解集為(1 , 4).令x4=0,解得x= 4;令x2- 4x + 3=0,解得x= 1或x=3.因為函數(shù)f(x)恰有2個零點，結(jié)合函數(shù)的圖象(圖略)可知1內(nèi)3 或Q4.【答案】 (1) 10g2；, 10g23(2)(1,

14、 4) (1, 3U(4, +00) TOC o 1-5 h z 35角度三利用函數(shù)零點的性質(zhì)求參數(shù)的范圍例同 已知函數(shù)f(x)=|ln x|,若0ab,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是()A. (2亞， +00 )B . 2 蚯 ) +)C. (3, +oo )D. 3,+8 )【解析】 先作出f(x)的圖象如圖所示，通過圖象可知，如果f(a) = f(b),則0a10),由 0a1b 可得 In a0,從而即|1n b|= tIn b= t,所以a+ 2b = 1+ 2et,而et1,又y=2x +)在(1, + 8)上為增函數(shù)所以2+4 b= et,exe(3, +8).故選

15、 c.【答案】C已知函數(shù)的零點(或方程根)的情況求 參數(shù)問題常用的三種方法【答案】C已知函數(shù)的零點(或方程根)的情況求 參數(shù)問題常用的三種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.跟蹤訓1,設(shè)函數(shù) f(x) = ex+2x4, g(x) = ln x+ 2x2-5,若實數(shù) a, b 分別是 f(x), g(x)的零點， 則()A. g(a)0f(b)B. f(b)0g(a)C. 0g(a)f(b)D.

16、f(b)g(a)0解析：選A.依題意，f(0)= 30 ,且函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù)f(x) 的零點在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，即0a1, g(1) = -30,函數(shù)g(x)的零點在區(qū)間 (1, 2)內(nèi),即1bf(1)0.又函數(shù)g(x)在(0, 1)內(nèi)是增函數(shù),因此有g(shù)(a)g(1)0, 所以 g(a)0 0,2,已知函數(shù)f(x)=右函數(shù)g(x) = f(x) m有3個手點，則實數(shù) m-x2-2x, x 0, 的取值范圍是.解析：函數(shù)g(x) = f(x) m有3個零點，轉(zhuǎn)化為f(x)m=0的根有3個，進而轉(zhuǎn)化為y = f(x), y=m的交點有3個.畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，則直線y=m與

17、其有3個公共點.又 拋物線頂點為(一1, 1),由圖可知實數(shù) m的取值范圍是(0, 1).答案：(0, 1)(2019杭州學軍中學高三質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)=|2x1|+ax5(a是常數(shù)，且aCR)恰有 兩個不同的零點，則 a的取值范圍為 .解析：由 f(x)=0,得|2x1|= ax+5.作出y=|2x- 1|和y=ax+5的圖象，觀察可以知道，當一2a0, f(3)0,B. 3個5個f(5)0,根據(jù)零點存在性定理可知，f(x)在,故函數(shù)y = f(x)在區(qū)間1, 6上的零點至區(qū)間(2, 3), (3, 4), (4, 5),故函數(shù)y = f(x)在區(qū)間1, 6上的零點至(2019溫州十校聯(lián)考

18、(一)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+ x-2,則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, 3)D, (3, 4)解析：選 B.法一：因為 f(1)=ln 1 + 1-2 = - 10 ,所以 f(1) f(2)0,因為 函數(shù)f(x)=ln x+ x 2的圖象是連續(xù)的，所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1, 2).h(x)=-.i+2法二：函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為函數(shù) g(x) = ln x, h(x) = x+ 2圖象交點的橫坐標所在的區(qū)間，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(1 , 2).x3.已知函數(shù)f(x) =

19、-cos x,則f(x)在0, 3.已知函數(shù)f(x) =A. 1C. 3解析：選C.B.D.1作出g(x)= 2所以函數(shù)f(x)在0,與h(x)= cos x的圖象如圖所示，可以看到其在2兀止的零點個數(shù)為3,故選C.0,2兀止的交點個數(shù)為 3,4.已知函數(shù)則fB.D.1作出g(x)= 2所以函數(shù)f(x)在0,與h(x)= cos x的圖象如圖所示，可以看到其在2兀止的零點個數(shù)為3,故選C.0,2兀止的交點個數(shù)為 3,4.已知函數(shù)則f的值()A.大于1C.小于0f(x) =1 x tan x e兀 兀 、2x2，右頭數(shù)Xo是函數(shù)y=f(x)的零點，且0Vtx0,B.大于0D.不大于0解析：選B.

20、1 y1= e 1 xx是減函數(shù)，,兀 兀，r 1, 一一y2=-tan x在 一萬，2上也是減函數(shù)，可知 f(x)= e tan x在 一2, 因為 0tf(x0)= 0.故選 5. (2019蘭州模擬)已知奇函數(shù) 有一個零點，則實數(shù)入的值是(71兀2上單調(diào)遞減.B.f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù) y=f(2x2+1) + f(卜x)只 )C.147一8B.D.183一8|x|x2- kx|x|x2- kx2(k R)有四個不同的零點,B. k1解析：選C.因為函數(shù)y=f(2x2+1)+f(入x)只有一個零點，所以方程f(2x2+1) + f(入一x) =0只有一個實數(shù)根，又函數(shù)f(x)是

21、定義在R上的奇函數(shù)，所以f(-x) = - f(x),所以f(2x2 + 1) + f(入一x) = 0? f(2x2+1)=f(b x)? f(2x2+ 1)=f(x- A? 2x2+1 = x入所以方程 2x2x + 1+入=0只有一個實數(shù)根，所以A=(1)24X2X(1+ 4=0,解得 入=7.故選C.8. (2019寧波市余姚中學期中檢測)已知函數(shù)f(x) =則實數(shù)k的取值范圍是()A. k0C. 0k1解析：選D.分別畫出y=-x-與y= kx2的圖象如圖所示， x+ 2當k0, x 0 時，八 一 |x|令 f(x) = kx2 = 0,x+ 2即 kx3+ 2kx2 x= 0,即

22、 x(kx2 + 2kx- 1)=0,即 x= 0 或 kx2+ 2kx 1=0,因為= 4k2+4k0,且一10時，方程有唯 k一解.即當x0時，方程有兩個解.當 k0, x0,解得k1,綜上所述k1.tan工(x1) , 0 x1,函數(shù)y=f(x) 1的零點為.tan:(x 1) , 0 x1所以 f(e)= In e= 1,f(f(e) = f(1) = tan 0=0,若 01, f(x)= 1? In x=1?x= e.答案：0 e.已知函數(shù)f(x)=；x+a的零點為1,則實數(shù)a的值為. 3解析：由已知得f(1) = 0,即二2+a = 0,解得a= 1.31+12 TOC o 1-

23、5 h z ,1答案：2 2x, x2-一 1.已知函數(shù)f(x)=1J 0 則函數(shù)g(x) = f(x) 一工的零點所構(gòu)成的集合為 .XW0,x0,解析：令g(x)=0,得f(x)=1,所以 * 1或1解得x= 1或* = 乂2或x =22x= 2110g2x|= 2，2也，故函數(shù)g(x)=f(x) 2的零點所構(gòu)成的集合為1,考,平.答案：1,考，事. (2019杭州學軍中學模擬)已知函數(shù)f(x)=|x34x|+ax2恰有2個零點，則實數(shù) a 的取值范圍為.解析：函數(shù)f(x) = |x34x|+ax2恰有2個零點即函數(shù)y= |x34x|與y= 2ax的圖象有2個不同的交點.作出函數(shù)y=|x3

24、4x|的圖象如圖，當直線y= 2 ax與曲線y =x3+4x, xC 0 , 2相切時，設(shè)切點坐標為(xo, x0+4xo), 則切線方程為 y( x3 + 4xo) = (-3x0+4)(x-xo),且經(jīng)過點(0, 2),代入解得xo=1,此日a=- 1,由函數(shù)圖象的對稱性 可得實數(shù)a的取值范圍為a1.答案：a1.設(shè)函數(shù) f(x)=ax2+bx+b-1(a*0).(1)當a=1, b= 2時，求函數(shù)f(x)的零點；(2)若對任意bC R,函數(shù)f(x)恒有兩個不同零點，求實數(shù) a的取值范圍.解：(1)當 a=1, b= 2 時，f(x) = x2-2x-3,令 f(x)=0,得 x=3 或 x

25、=1.所以函數(shù)f(x)的零點為3和一1.(2)依題意，f(x)= ax2+bx+b1 = 0有兩個不同實根，所以b24a(b1)0恒成立，即對于任意因此實數(shù)bC R, b24ab +4a0 恒成立,所以有(一4a)24X (4a)0? a2 a0,解得 0a1, a的取值范圍是(0, 1).對于任意因此實數(shù)12.已知函數(shù)f(x)=- x2-2x,x+ 12.已知函數(shù)f(x)=- x2-2x,x+ 1, x 0.(1)求 g(f(1)的值;(2)若方程g(f(x) a=0有4個實數(shù)根，求實數(shù) a的取值范圍. 解：(1)利用解析式直接求解得 g(f(1)=g(-3) = - 3+1 = - 2.(

26、2)令f(x)=t,則原方程化為g(t)=a,易知方程f(x)=t在tC(oo, 1)內(nèi)有2個不同的 解，則原方程有4個解等價于函數(shù)y= g(t)(t1)與y= a的圖象有2個不同的交點，作出函數(shù) y=g(t)(t1)的圖象(圖略)，一，5 , 一，,. 一一、，由圖象可知，當1wa4時，函數(shù)y=g(t)(t0)= ff(kx)+1+1(kw0)的零點個數(shù)的判斷正確的是()A.當k0時，有3個零點；當k0時，有4個零點；當k0 或、 , ef (kx) +1-2+ 1 = 0 lnf (kx) +1+1=01解得 f(kx) + 1 = 0 或 f(kx) + 1 = -； e，由 f(kx)

27、 + 1 = 0 得，kx0人或；ekx 2+1=0 In (kx) = 11即 x= 0 或 kx= 一；e， TOC o 1-5 h z 1年由 f(kx) + 1=,得, ekx0ekx- 2+1=1 或 In (kx) +1 = 1 ee即 ekx= 1 +1(無解)或 kx= e1 1; ee綜上所述，x= 0或kx=1或kx= e 一 1 ； e e故無論k為何值，均有3個解，故選C.(2019寧波市高三教學評估)設(shè)函數(shù)f(x)= ax2+ bx+ c(a, b, cCR且a0),則“f f 2a 0,函數(shù)f(x)開口向上，f(x)有兩個零點，最小值必然小于 0,當取 得最小值時，

28、x=今，即f * 0,令f(x) = 裊，則f(f(x)=f 點,因為f -b 0, 2a2a2a2a2a 所以f(f(x)0,所以f)必有兩個零點.同理f f會0? f 點0,開口向上，f 20,必有兩個零點所以 C選項正確. 2a2a(2019瑞安市龍翔高中高三月考)若關(guān)于x的不等式x2+|x- a|x-a|,則 00, x0)和y= |x|兩個函數(shù)圖象，將絕對彳I函數(shù)y= |x|向 左移動，當右支經(jīng)過(0, 2)點時，a=2;將絕對值函數(shù) y=|x|向右移動讓左支與拋物線y= 2-x2(y0, x0)相切時，y 0= ( x a)由，可得 x2-x+a-2= 0,y= 2-x29再由A=

29、 0解得a = 4.9數(shù)形結(jié)合可得，實數(shù)a的取值范圍是2, 4.9答案：一2, 94xg (x) , f (x) w g (x),、,4.已知函數(shù)f(x)= 7 , g(x)=log1x,記函數(shù) h(x)=則函數(shù)2f (x) , f (x) g (x),F(x)=h(x)+x5的所有零點的和為 .解析：由題意知函數(shù) h(x)的圖象如圖所示，易知函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于直線 y=x對稱， 函數(shù)F(x)所有零點的和就是函數(shù)y= h(x)與函數(shù)y= 5x圖象交點橫坐標的和，設(shè)圖象交點xi + x2xi+ xxi + x2xi+ x2的橫坐標分別為 xi, x2,因為兩函數(shù)圖象的交點關(guān)于直線y= x對稱，所以2 =5- -2 一,所以 xi + x2= 5.答案：5.已知函數(shù) f(x) = -x2+2ex+m-1, g(x)=x+ (x0). x(1)若y=g(x) m有零點，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得 g(x) f(x) = 0有兩個相異實根.解：(1)法一：因為 g(x)=x+e2Ve2=2e, x等號成立的條件是x=e,故g(x)的值域是2e, + 00),因而只需 m2e,則y= g(x) m就有零點.所以m的取值范圍是2e, +).法二：作出g(x)=x+ e7(x0)的大致圖象如圖： x可知若使y=g(x)