2022年高考數(shù)學強基計劃講義 專題6：導數(shù)的應用【解析版】

1、2022年高考數(shù)學尖子生強基計劃專題6：導數(shù)的應用真題特點分析：【2021年清華4】恰有一個實數(shù)使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD答案：B2.【2020年清華17】已知函數(shù)，則的最大值與最小值的和是（ ）A2BC3D4二、知識要點拓展一導數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若極限（*）存在，則稱函數(shù)在點可導，并稱其極限值為函數(shù)在的導數(shù)，記作。若令，則（*）式可改寫為。二導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點的導數(shù)是曲線在點處切線的斜率。若表示這個切線與軸正向的夾角，則。三基本求導法則：； ，（為常數(shù)）； 反函數(shù)導數(shù) ；復合函數(shù)導數(shù) 。四基本初等函數(shù)導數(shù)公式（為常數(shù)）； （為任何實數(shù)）；， ， ，

2、；， ；。五.原函數(shù)：設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在函數(shù)，對任意都有，則稱是的一個原函數(shù)。一個函數(shù)若存在原函數(shù)，它必定有無窮多個原函數(shù)，若是的一個原函數(shù)，則表示的全體原函數(shù).六不定積分：設(shè)是的一個原函數(shù)，則稱的全體原函數(shù)為的不定積分。記為，即。七.不定積分的性質(zhì)：； ， 。八常見積分公式， ， ， ， ，。九函數(shù)的單調(diào)性：若函數(shù)在內(nèi)可導，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是（），。三、典例精講例1已知在處可導，且，求下列極限：（1）； （2）分析：在導數(shù)定義中，增量的形式是多種多樣，但不論選擇哪種形式，也必須選擇相對應的形式。利用函數(shù)在處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形

3、式。解答：（1）（2）練習1：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，且則 的值為（ ） A B C D答案：B 解答： 練習2：（2000上海交大）已知在處可導，則 。答案：解答：由導數(shù)定義知 。例2求函數(shù)的導數(shù)。解答： 練習3.,若,則的值等于（ ） B C D答案：D 解答：例3函數(shù)的導數(shù)為_；解答： 例4求函數(shù)的導數(shù)。解答：。例5觀察，是否可判斷，可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。解答：若為偶函數(shù) 令 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)另證：例6求證下列不等式（1） （相減）（2） （相除）（3） 證明：（1） 為上 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 例7已知函數(shù)， （1）

4、證明：當時，恒有 （2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍;解答：（1）設(shè)，則= ， 當時，所以函數(shù)在（0，單調(diào)遞增，又在處連續(xù)，所以，即，所以。 （2）設(shè)，則在（0，恒大于0， ， 的根為0和即在區(qū)間（0，上，的根為0和若，則在單調(diào)遞減，且，與在（0， 恒大于0矛盾；若，在（0，單調(diào)遞增，且，滿足題設(shè)條件，所以，所以。例8利用導數(shù)求和：（1）；（2）。分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù)，利用導數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。解答：（1）當時，；當時，兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，求導得：即（2），兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，

5、求導得。令得：，即。例9已知函數(shù)，是方程的兩個根，是的導數(shù)；設(shè)，（n=1,2,） （1）求的值； （2）證明：對任意的正整數(shù)，都有；（3）記（），求數(shù)列的前項和。解答：（1），是方程f(x)=0的兩個根，； （2），=，有基本不等式可知（當且僅當時取等號），同，樣，（）， （3），而，即，同理，又四、真題訓練1.若，則（ ）A B C D2.（上海交大）設(shè)，則（ ）-2 （B）2 （C）-4 （D）43.與是定義在R上的兩個可導函數(shù)，若,滿足,則與滿足（ ）A B為常數(shù)函數(shù) C D為常數(shù)函數(shù)4.若,則等于（ ） A B CD5.若函數(shù)的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)的圖象是（ ）6.于上可導的任

6、意函數(shù)，若滿足，則必有（ ）A B. C. D. 7.函數(shù)在點處的導數(shù)是 ( ) A B C D8.設(shè)(是兩兩不等的常數(shù)),則的值是 _.9.證明下面不等式：（1）已知：，求證；（2）已知：，求證：。10.已知函數(shù)（）求函數(shù)的最大值；（）當時，求證:11.設(shè)的定義域為,的導函數(shù)為,且對任意正數(shù)均有，() 判斷函數(shù)在上的單調(diào)性； () 設(shè)，比較與的大小，并證明你的結(jié)論；（）設(shè)，若，比較與的大小，并證明你的結(jié)論. 12.設(shè)函數(shù). ()當x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項; ()對任意的實數(shù)x,證明 ()是否存在,使得an恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.真題訓

7、練答案1.D 2D由導數(shù)定義知 3.B ,的常數(shù)項可以任意4.A 5.A 對稱軸，直線過第一、三、四象限6.C 當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)，故當時取得最小值，即有得7.D 8. ， ， 證明：（1）令，由， 原不等式等價于，令，當時，有，函數(shù)在遞增即另令，則有在上遞增， 綜上得（2）由（1）令并相加得即得10.（）解： ,令得當時， 當時，又當且僅當時，取得最大值0 （）證明： 由（1）知又 11.解：()由于得，而，則，則，因此在上是增函數(shù).()由于，則，而在上是增函數(shù)，則，即，（1），同理 （2）（1）+（2）得：，而，因此 .（）證法1: 由于，則，而在上是增函數(shù)，則，即

8、， 同理 以上個不等式相加得：而證法2：數(shù)學歸納法（1）當時，由（）知，不等式成立；（2）當時，不等式成立，即成立，則當時， +再由()的結(jié)論, +因此不等式對任意的自然數(shù)均成立.12.（）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項，這項是（）證法一：因證法二：因而故只需對和進行比較。令，有由，得因為當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當時，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）對，且有又因，故，從而有成立，即存在，使得恒成立。五、強化訓練A組1. 函數(shù)的極小值、極大值分別為（ ）A.極小值0，極大值4 B.極小值-16，極大值4C.極小值-1，極大值4 D.極小值0，極大

9、值1分析：對函數(shù)求導，令是兩個駐點。因為時，；時，；時，所以對應極大值，對應極小值。時，；時，答案：A2. 設(shè)，則（ ） A. B. C. D.分析：由導數(shù)定義可得答案：D3. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_分析：對函數(shù)求導，則時，；時，；時，又函數(shù)的定義域為，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為答案：4. 若四次函數(shù)有四個根，則它的導函數(shù)有多少個根？分析： 令的四個根為，且不妨設(shè)的最高次項系數(shù)大于0，則時。所以在上，在上，在上，在上，在上。所以的導函數(shù)有3個極值點，即有3個根答案： 至多3個根5. 若方程有3個不同實根，求實數(shù)的取值范圍分析：記，有3個不同實根，則應該有2個不同實根。設(shè)，令 ，則時，有極大值，所以；

10、時，有極小值，所以。所以答案：6. 已知三次方程只有一個實根是正的，求的取值范圍分析：令，則 (1） 恒成立與題設(shè)矛盾 （2）恒成立顯然不可能 （3），因為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則答案：7. 已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)的奇偶性（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍分析：（1）對進行討論， 為偶函數(shù) ，則，為非奇非偶函數(shù) （2）由題意，在時， 所以答案：（1）時為偶函數(shù)，時為非奇非偶函數(shù)；（2）8. 已知三次曲線的圖象關(guān)于點中心對稱（1）求常數(shù) （2）若曲線與直線相切，求曲線的方程分析：（1）由題意，若在曲線上，則也在曲線上，即 由于恒成立，所以 （2）由（1）知 令是

11、的切點在該點的切線斜率為4 由， 又，所以，從而 答案：（1）；（2）B組1. 一元三次函數(shù)的三次項系數(shù)為，的解集為（1）若有兩個相等實根，求的解析式（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍分析：設(shè)，則， 。又因為的解集為，所以，對比系數(shù)可得（1），因為有兩個相等實根，所以（2），要使得在上單調(diào)遞減，只需在上恒成立即可。所以答案：（1）；（2）2. 設(shè)三次函數(shù)，在處取得極值，其圖象在處的切線的斜率為（1）求證：（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍分析：（1），由題意可得 （2）由（1）可知的，所以方程有兩 個不同實根。又。 所以，當或時，；當時， 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，即答案：（1）略；（2

12、）3. 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中，設(shè)兩曲線，有公共點，且在公共點處的切線相同（1）若，求的值（2）用表示，并求的最大值分析：（1），設(shè)與在公共點處的切線相同，由題意可知（2），設(shè)與在公共點處的切線相同，由題意可知所以令，則當，即時，當，即時，所以在的最大值為答案：（1）；（2），最大值為4. 已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為0，且，已知，求證：；分析：（1） 要使函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在內(nèi)恒大于0或恒小于0 當時，在內(nèi)恒成立 當時，要使恒成立，則 當時，恒成立 所以綜上所述， （2）根據(jù)題意得 所以 用數(shù)學歸納法證明

13、如下： 當時，不等式成立 假設(shè)當時，不等式成立，即 則當時， 所以不等式也成立。綜上所述，可得證。答案：（1）；（2）略六、參考答案A組1. 分析：對函數(shù)求導，令是兩個駐點。因為時，；時，；時，所以對應極大值，對應極小值。時，；時，答案：A2. 分析：由導數(shù)定義可得答案：D3. 分析：對函數(shù)求導，則時，；時，；時，又函數(shù)的定義域為，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為答案：4. 分析： 令的四個根為，且不妨設(shè)的最高次項系數(shù)大于0，則時。所以在上，在上，在上，在上，在上。所以的導函數(shù)有3個極值點，即有3個根答案： 至多3個根5. 分析：記，有3個不同實根，則應該有2個不同實根。設(shè)，令 ，則時，有極大值，所以；時

14、，有極小值，所以。所以答案：6. 分析：令，則 (1） 恒成立與題設(shè)矛盾 （2）恒成立顯然不可能 （3），因為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則答案：7. 分析：（1）對進行討論， 為偶函數(shù) ，則，為非奇非偶函數(shù) （2）由題意，在時， 所以答案：（1）時為偶函數(shù)，時為非奇非偶函數(shù)；（2）8. 分析：（1）由題意，若在曲線上，則也在曲線上，即 由于恒成立，所以 （2）由（1）知 令是的切點在該點的切線斜率為4 由， 又，所以，從而 答案：（1）；（2）B組1. 分析：設(shè)，則， 。又因為的解集為，所以，對比系數(shù)可得（1），因為有兩個相等實根，所以（2），要使得在上單調(diào)遞減，只需在上恒成立即可。所以答案：（1）；（2）2. 分析：（1），由題意可得 （2）由（1）可知的，所以方程有兩 個不同實根。又。 所以，當或時，；當時， 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，即答案：（1）略；（2）3. 分析：（1），設(shè)與在公共