重力學(xué)：第二章 地球正常重力場

1、第二章 地球正常重力場2.1 地球正常重力場的概念2.2 斯托克司定理（Stokes）和索米格蘭納（Somigliana）公式2.3 正常重力公式2.4 正常重力場的梯度2.1.1 正常重力概念的引入 地球重力的數(shù)值由赤道上的 978 Gal逐漸增加到兩極的 983 Gal，要研究地球重力的變化，需要建立一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即所謂“正常重力”。這個(gè)正常重力應(yīng)該反映地球形狀的特點(diǎn)以及慣性離心力的存在（如隨緯度的變化）。由于地球內(nèi)部物質(zhì)不均勻，地球表面也不光滑，準(zhǔn)確地計(jì)算地球的引力是十分困難的，但可以把地球內(nèi)部物質(zhì)分布和表面形狀理想化，即假設(shè) 地球是一個(gè)兩極壓扁的旋轉(zhuǎn)橢球體且表面光滑； 地球內(nèi)部物質(zhì)密度呈層

2、狀均勻（層面共焦點(diǎn)，層內(nèi)均勻）； 地球是一個(gè)剛性球體，內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)位置不變； 地球的質(zhì)量、自轉(zhuǎn)角速度不變。在這個(gè)假設(shè)前提下，構(gòu)造一個(gè)正常重力場。2.1 地球正常重力場的概念2.1.1 正常重力概念的引入 用質(zhì)量等于地球總質(zhì)量、以地球自轉(zhuǎn)角速度繞其極半徑旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)橢球來模擬真實(shí)地球，用這種地球模型，在其表面上和外部空間產(chǎn)生的重力場稱為地球的正常重力場。當(dāng)正常場地球模型在地球內(nèi)部定位后，地球的重力場可以分解為兩部分： 正常場地球模型在該點(diǎn)產(chǎn)生的重力場 真實(shí)地球與正常場地球模型的密度分布不同在該點(diǎn)產(chǎn)生 的重力場前者稱為地球在該點(diǎn)產(chǎn)生的正常重力場，后者稱為地球在該點(diǎn)產(chǎn)生的重力異常場。2.1 地球正常重力

3、場的概念2.1.2 矩的概念 首先我們引入幾個(gè)力學(xué)的概念矩。 在力學(xué)中常常遇到 mrk 這樣的物理量，其中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r為距離。這種質(zhì)量與距離的k 次方之乘積的物理量統(tǒng)稱為矩。當(dāng)k=0時(shí)稱為零階矩，k=1時(shí)稱為一階矩，k=2時(shí)稱為二階矩，。對于類似地球的物體而言，有 (1) 當(dāng)k=0時(shí)稱為零階矩，表示物體質(zhì)量M，即2.1 地球正常重力場的概念2.1.2 矩的概念 (2) 當(dāng)k=1時(shí)稱為一階矩，即當(dāng)r分別為dm的到直角坐標(biāo)系三個(gè)平面的距離x, y, z時(shí)，有其中x0, y0, z0表示物體質(zhì)心坐標(biāo)，當(dāng)質(zhì)心在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，上述積分均等于零。 2.1 地球正常重力場的概念2.1.2 矩的概念 (3

4、) 當(dāng)k=2時(shí)稱為二階矩，即設(shè)r為dm到原點(diǎn)的距離，即有r2=(x2+y2+z2)，稱為物體對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量（或慣性矩）。 2.1 地球正常重力場的概念2.1.2 矩的概念 設(shè)r為dm分別到直角坐標(biāo)系三個(gè)平面的距離，即x, y, z , 則有分別對應(yīng)為物體對YOZ, XOZ, XOY三個(gè)坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動慣量（或慣性矩）。2.1 地球正常重力場的概念2.1.2 矩的概念 設(shè)r為dm分別到三個(gè)直角坐標(biāo)軸的距離，即rx, ry, rz ，則有分別為物體對X, Y, Z三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量（或慣性矩）。在地球形狀理論中，通常用A, B, C表示Jx, Jy, Jz 。2.1 地球正常重力場的概念2.1.

5、2 矩的概念 在地球形狀理論中，通常用A, B, C表示Jx, Jy, Jz 。坐標(biāo)面轉(zhuǎn)動慣量與坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動慣量之間存在以下關(guān)系：2.1 地球正常重力場的概念2.1.2 矩的概念 設(shè)二階矩中r分別為xy, yz, xz，則稱分別為物體的離心矩或慣性積，通常寫成Jxy, Jyz, Jxz 。對于慣性軸與物體對稱軸重合時(shí)，慣性積等于零，即Jxy= Jyz= Jxz =0.2.1 地球正常重力場的概念2.1 地球正常重力場的概念2.1.3 正常重力位與擾動位 引力位的球函數(shù)表達(dá)式2.1 地球正常重力場的概念2.1.3 正常重力位與擾動位 引力位的球函數(shù)表達(dá)式2.1.3 正常重力位與擾動位2.1 地球正

6、常重力場的概念令則2.1.3 正常重力位與擾動位U 為正常重力位，T 為擾動位。2.1 地球正常重力場的概念2.1.3 正常重力位與擾動位 首先來看正常引力位Vnormal。2.1 地球正常重力場的概念2.1.3 正常重力位與擾動位 2.1 地球正常重力場的概念2.1.3 正常重力位與擾動位用直角坐標(biāo)系表示積分將上面坐標(biāo)變換代入Vnormal，并考慮到對稱性，化簡即得2.1 地球正常重力場的概念2.1.3 正常重力位與擾動位由于假設(shè)了地球是以Z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)橢球體，即有A=B，則2.1 地球正常重力場的概念2.1.4 地球的橢球面方程由于 = /2- ，所以2.1 地球正常重力場的概念2.1

7、.4 地球的橢球面方程當(dāng) = 0時(shí)，有r = a（赤道半徑），即其中m 表示赤道上離心力與引力之比，約為1/288。 n 與 m是同等量級的小量。將m, n 代入上式，得2.1 地球正常重力場的概念2.1.4 地球的橢球面方程為了方便討論，考慮地球扁率的一次方量級（約1/300），有則有這就意味著 p 點(diǎn)位于球面上。2.1 地球正常重力場的概念2.1.4 地球的橢球面方程 如果令U為某一常數(shù)，即上述方程即為重力等位面方程。 當(dāng) =0時(shí)，赤道處的重力位為即有則2.1 地球正常重力場的概念2.1.4 地球的橢球面方程將上式分母按1+(n+m/2 )-1泰勒展開，只保留 m, n 一次項(xiàng)，則有得到地

8、球橢球體面方程。2.1 地球正常重力場的概念2.1.4 地球的橢球面方程證明：考慮繞Z軸旋轉(zhuǎn)的標(biāo)準(zhǔn)橢球面方程為 （ a, c 分別為橢圓的長短軸）球坐標(biāo)中有 令扁率為則有 或2.1 地球正常重力場的概念2.1.4 地球的橢球面方程將(1- )-2展成級數(shù)并略去 的二級小量代入，可得再將展成級數(shù)并略去 2sin 的二級小量，即有精確到扁率量級的旋轉(zhuǎn)橢球體面方程克萊饒地球橢球比較2.1 地球正常重力場的概念2.1.4 地球的橢球面方程其扁率為若保留 (2)項(xiàng)，可得到更高精度的橢球面方程，如克拉索夫斯基橢球面方程2.1 地球正常重力場的概念2.1.5 克萊饒（Clairaut）定理 正常重力公式指的

9、是計(jì)算地球橢球在其表面上的正常重力值的公式。我們知道，將要求橢球體面上某一點(diǎn)的正常重力，只要對該點(diǎn)的正常重力位求梯度即可。重力方向就是正常重力位的梯度方向，也即是橢球面內(nèi)法線 n 的方向。從數(shù)值上說，求橢球體面上某一點(diǎn)的正常重力 就等于正常重力位 U 對位函數(shù)內(nèi)法向 n 求導(dǎo)數(shù) 2.1 地球正常重力場的概念BnpZO2.1.5 克萊饒（Clairaut）定理將 對 r 求導(dǎo) 并將 和代入得2.1 地球正常重力場的概念2.1.5 克萊饒（Clairaut）定理化簡后只保留 m，n 一次項(xiàng)，得到正常重力公式近似表達(dá)為當(dāng) = 0時(shí)，有赤道上的重力則有精確到扁率量級的，與克萊饒地球橢球?qū)?yīng)的正常重力公

10、式。2.1 地球正常重力場的概念2.1.5 克萊饒（Clairaut）定理令則在= /2處，有得到地球重力扁率由 得到克萊饒定理可以用于確定橢球的參數(shù)。2.1 地球正常重力場的概念表示正常場地球模型的重力扁率和旋轉(zhuǎn)橢球的扁率之間的關(guān)系稱為Clairaut 定理（1738） 通過建立正常重力或正常重力位的概念，我們可以得到在一個(gè)與地球基本形狀相符的旋轉(zhuǎn)橢球體表面上的重力等位面，并由此可以得到這個(gè)等位面上的重力值。這個(gè)等位面就是我們希望找到的正常重力等位面和正常重力值。這種方法又稱為“拉普拉斯方法”。 然而，當(dāng)需要更高精度的公式時(shí)，例如保留4階球函數(shù)，其所表示的球體就不再是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的旋轉(zhuǎn)橢球體，而

11、是一個(gè)在中緯度與嚴(yán)格的橢球體存在較大差異的“扁球體”。本節(jié)將通過斯托克斯定理和索米格蘭納公式的引入，討論“嚴(yán)密”公式。2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式克萊饒定理第二章 地球正常重力場2.1 地球正常重力場的概念2.2 斯托克司定理（Stokes）和索米格蘭納（Somigliana）公式2.3 正常重力公式2.4 正常重力場的梯度2.2.1 斯托克司定理（Stokes, 1849）（1）如果知道了一個(gè)等位面的形狀 （2）它內(nèi)部所包含的物質(zhì)的總質(zhì)量 M（3）以及整個(gè)物體繞某一固定軸作勻速旋轉(zhuǎn)的角速度 則這個(gè)等位面上及其外部所有點(diǎn)上的重力位都可以單值地被確定，而無需知道地球內(nèi)部質(zhì)量的具體分布情況

12、。 2.2 斯托克司定理和索米揚(yáng)那公式M逆定理：如果已知一個(gè)封閉水準(zhǔn)面上的重力值，且其外部無質(zhì)量，就可以確定這個(gè)封閉面的形狀。（參見局部重力場逼近理論和方法, pp.7）2.2.1 斯托克司定理關(guān)于斯托克司定理的應(yīng)用，必須強(qiáng)調(diào)幾個(gè)問題：1. 定理規(guī)定了大地水準(zhǔn)面以外不能有質(zhì)量存在，因此，必須將陸地物質(zhì)的產(chǎn)生的引力效應(yīng)去掉，才能應(yīng)用；2. 斯托克司問題是根據(jù)已知的大地水準(zhǔn)面形狀來求外部重力位和重力，但現(xiàn)實(shí)是我們要確定大地水準(zhǔn)面的形狀。解決辦法：首先解地球橢球的斯托克司問題，求外部正常重力位和重力值，然后利用實(shí)測的重力位與正常重力位的差值去求大地水準(zhǔn)面相對于地球橢球體面的起伏和傾斜，以此確定大地水

13、準(zhǔn)面的形狀。2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式2.2.2 索米格蘭納公式 斯托克司定理告訴我們，正常重力場公式不必采用球諧函數(shù)級數(shù)展開方法去確定，而可以通過嚴(yán)密的公式導(dǎo)出。1929年意大利學(xué)者索米格蘭納直接從旋轉(zhuǎn)橢球體面出發(fā)，導(dǎo)出一個(gè)封閉的正常重力公式。 設(shè)橢球的短鈾c與OZ軸重合。長軸a在赤道平面內(nèi)，則旋轉(zhuǎn)橢球面方程為 2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式令 旋轉(zhuǎn)橢球扁度uvz2.2.2 索米格蘭納公式用雙曲橢球坐標(biāo)表示拉普拉斯方程：雙曲橢球坐標(biāo)w,u,v與x,y,z的關(guān)系如下其中，u為改（歸）化緯度余角，v為經(jīng)度，w為橢球參數(shù)，c2=a2-b2, 且2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式2

14、.2.2 索米格蘭納公式聯(lián)立上述三式，分別消去u,v、w,v 和 w,u，可得到一簇共焦點(diǎn)橢球面一簇共焦點(diǎn)單葉雙曲面半平面（與z軸重合）可以證明，三個(gè)坐標(biāo)曲面是正交的。2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式2.2.2 索米格蘭納公式按雙曲橢球坐標(biāo)系，拉普拉斯方程可寫成代入邊界條件，經(jīng)過化簡，得引力位、重力位為2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式對重力位沿橢球面內(nèi)法線方向求導(dǎo)，化簡可得索米揚(yáng)娜公式分別令u=0和u=/2，可得赤道和兩極處正常重力，并代入可得2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式2.2.2 索米格蘭納公式考慮到2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式令 重力扁度2.2.2 索米格蘭納公式2

15、.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式2.2.2 索米格蘭納公式將后一項(xiàng)展開，若顧及二次項(xiàng)，則得若顧及則得正常重力公式的一般形式2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式2.2.2 索米格蘭納公式 需要說明的是，這里的展開與拉普拉斯方法展開不同，無論按扁率的二次方還是三次方展開，它都是一個(gè)規(guī)則旋轉(zhuǎn)橢球面上的正常重力值。 若是二次方，索米格蘭納公式是顧及扁率平方小量的正常重力公式。2.2 斯托克司定理和索米格蘭納公式第二章 地球正常重力場2.1 地球正常重力場的概念2.2 斯托克司定理（Stokes）和索米格蘭納（Somigliana）公式2.3 正常重力公式2.4 正常重力場的梯度2.3 正常重力公式

16、地球從總體上說處于流體平衡狀態(tài)，大地水準(zhǔn)面接近于旋轉(zhuǎn)橢球體面。所以假定：一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球作為真實(shí)地球的理想模型，稱為地球橢球。它產(chǎn)生規(guī)則的重力場稱為正常重力場。 橢球表面正常重力場的數(shù)學(xué)表達(dá)式便稱為正常重力公式。2.3 正常重力公式地球橢球必須滿足四個(gè)基本條件，即橢球表面為等位面(稱為正常大地水準(zhǔn)面)；它的位W0與真實(shí)地球理想大地水準(zhǔn)面的位相等；橢球中心與地球質(zhì)心重合；橢球的質(zhì)量M、慣性矩之差(C-A)以及自轉(zhuǎn)角速度都和地球的相同。2.3 正常重力公式獲得正常重力公式的兩個(gè)途徑：重力位級數(shù)展開取前面若干低階項(xiàng)化簡取與橢球面相近的等位面。例如克萊饒公式：直接對橢球面上引力位方程求解。例如索米格蘭納公

17、式：2.3 正常重力公式赫爾默特1909-1911年公式與赫爾默特公式配合使用的是克拉索夫斯基地球橢球，赫爾默特公式是精確到2量級的正常重力公式，即卡西尼1930年公式與海福特國際橢球配合使用的卡西尼正常重力公式為1979年國際地球物理和大地測量聯(lián)合會頒布的公式常用的正常重力公式我國勘探行業(yè)2008年技術(shù)規(guī)范規(guī)定實(shí)用的公式由國際大地測量協(xié)會（IAG）推薦的1980年大地測量參考系統(tǒng)中的正常重力公式計(jì)算大地水準(zhǔn)面上的重力值 ，即 基于WGS84橢球的公式2.3 正常重力公式第二章 地球正常重力場2.1 地球正常重力場的概念2.2 斯托克司（Stokes）定理和索米格蘭納（Somigliana）公

18、式2.3 正常重力公式2.4 正常重力場的梯度2.4.1 正常重力梯度 正常重力場梯度的形式：2.4 正常重力梯度2.4.2 正常重力水平梯度 通常情況下，地面直角坐標(biāo)的北向坐標(biāo)用x表示，而東向坐標(biāo)用y表示。若z（地球橢球面內(nèi)法向）方向指向地心，考慮到則2.4 正常重力梯度2.4.2 正常重力水平梯度一般水平梯度變化率很小，所以通常忽略第二項(xiàng)，則常用的水平梯度公式為 2.4 正常重力梯度2.4.3正常重力垂直梯度正常重力垂直梯度通常有兩種形式： 1. 用球體近似代替橢球體，即有則2. 用對h進(jìn)行泰勒展開，即有保留二次項(xiàng)，即有2.4 正常重力梯度2.4.3 正常重力垂直梯度 于是則一級近似二級近似 （采用赫爾默特1909年公式參數(shù)）2.4 正常重力梯度2.4.4 正常重力線的曲率 所謂重力線，就是在無如何