2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(大綱全國卷)文

1、大綱全國文科1.(2012大綱全國,文1)已知集合A=x|x是平行四邊形,B=x|x是矩形,C=x|x是正方形,D=x|x是菱形,則(). A.ABB.CBC.DCD.ADB正方形組成的集合是矩形組成集合的子集,CB.2.(2012大綱全國,文2)函數(shù)y=(x-1)的反函數(shù)為().A.y=x2-1(x0)B.y=x2-1(x1)C.y=x2+1(x0)D.y=x2+1(x1)Ay=,y2=x+1,x=y2-1,x,y互換可得:y=x2-1.又y=中x-1,y0.反函數(shù)中x0,故選A.3.(2012大綱全國,文3)若函數(shù)f(x)=sin(0,2)是偶函數(shù),則=().A.B.C.D.Cf(x)=s

2、in是偶函數(shù),f(0)=1.sin=1.=k+(kZ).=3k+(kZ).又0,2,當(dāng)k=0時(shí),=.故選C.4.(2012大綱全國,文4)已知為第二象限角,sin =,則sin 2=().A.-B.-C.D.Asin =,且為第二象限角,cos =-=-.sin 2=2sin cos =2=-.故選A.5.(2012大綱全國,文5)橢圓的中心在原點(diǎn),焦距為4,一條準(zhǔn)線為x=-4,則該橢圓的方程為().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1C焦距為4,即2c=4,c=2.又準(zhǔn)線x=-4,-=-4.a2=8.b2=a2-c2=8-4=4.橢圓的方程為:+=1.故選C.6.(2012大綱全國,文6

3、)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=().A.2n-1B.C.D.BSn=2an+1,Sn-1=2an(n2),兩式相減得:an=2an+1-2an,=.數(shù)列an從第2項(xiàng)起為等比數(shù)列.又n=1時(shí),S1=2a2,a2=.Sn=a1+=1-=.7.(2012大綱全國,文7)6位選手依次演講,其中選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講,則不同的演講次序共有().A.240種B.360種C.480種D.720種C由題意可采用分步乘法計(jì)數(shù)原理,甲的排法種數(shù)為,剩余5人進(jìn)行全排列:,總的情況有:=480種.故選C.8.(2012大綱全國,文8)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1

4、D1中,AB=2,CC1=2,E為CC1的中點(diǎn),則直線AC1與平面BED的距離為().A.2B.C.D.1D連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OE.AB=2,AC=2.又CC1=2,則AC=CC1.作CHAC1于點(diǎn)H,交OE于點(diǎn)M.由OE為ACC1的中位線知,CMOE,M為CH的中點(diǎn).由BDAC,ECBD知,BD面EOC,CMBD.CM面BDE.HM為直線AC1到平面BDE的距離.又ACC1為等腰直角三角形,CH=2.HM=1.9.(2012大綱全國,文9)ABC中,AB邊的高為CD,若=a,=b,ab=0,|a|=1,|b|=2,則=().A.a-bB.a-bC.a-bD.a-bDab=0,ab.又

5、|a|=1,|b|=2,|=,|=.|=.=(a-b)=a-b.10.(2012大綱全國,文10)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cosF1PF2=().A.B.C.D.C設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=2m,由雙曲線定義:|PF1|-|PF2|=2a,得2m-m=2,m=2.又2c=2=22=4,由余弦定理可得:cosF1PF2=.11.(2012大綱全國,文11)已知x=ln ,y=log52,z=,則().A.xyzB.zxyC.zyxD.yz1,y=log52=,且e0=1,yzx.12.(2012大綱全國,文12)正方形A

6、BCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在邊AB上,點(diǎn)F在邊BC上,AE=BF=.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng),每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角.當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí),P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為().A.8B.6C.4D.3B如圖,由題意:tanBEF=,=,X2為HD中點(diǎn),=,X3D=,=,X4C=,=,X5H=,=,X6A=,X6與E重合,故選B.13.(2012大綱全國,文13)的展開式中x2的系數(shù)為.7展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x8-r=2-rx8-2r,當(dāng)8-2r=2時(shí),r=3.x2的系數(shù)為2-3=7.14.(2012大綱全國,文14)若x,y滿足約束條件則z=3x-y的最小值為.-1由

7、題意畫出可行域,由z=3x-y得y=3x-z,要使z取最小值,只需截距最大即可,故直線過A(0,1)時(shí),z最小.zmin=30-1=-1.15.(2012大綱全國,文15)當(dāng)函數(shù)y=sin x-cos x(0 x2)取得最大值時(shí),x=.y=sin x-cos x=2=2sin.當(dāng)y取最大值時(shí),x-=2k+,x=2k+.又0 x1時(shí)有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得an=an-1.于是a1=1,a2=a1,a3=a2,an-1=an-2,an=an-1.將以上n個(gè)等式兩端分別相乘,整理得an=.綜上,an的通項(xiàng)公式an=.19.(2012大綱全國,文19)如圖,四棱錐P-ABCD中,

8、底面ABCD為菱形,PA底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一點(diǎn),PE=2EC.(1)證明:PC平面BED;(2)設(shè)二面角A-PB-C為90,求PD與平面PBC所成角的大小.解法一:(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以BDAC.又PA底面ABCD,所以PCBD.設(shè)ACBD=F,連結(jié)EF.因?yàn)锳C=2,PA=2,PE=2EC,故PC=2,EC=,FC=,從而=,=,因?yàn)?,FCE=PCA,所以FCEPCA,FEC=PAC=90,由此知PCEF.PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD,EF都垂直,所以PC平面BED.(2)在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AGPB,G為垂足.因?yàn)槎娼茿-PB-C為

9、90,所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBC=PB,故AG平面PBC,AGBC.BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA,AG都垂直,故BC平面PAB,于是BCAB,所以底面ABCD為正方形,AD=2,PD=2.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC,且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD平面PBC,A,D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等,即d=AG=.設(shè)PD與平面PBC所成的角為,則sin =.所以PD與平面PBC所成的角為30.解法二:(1)證明:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),射線AC為x軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)C(2,0,0),D(,b,0),其中b0,則P(0,0,2

10、),E,B(,-b,0).于是=(2,0,-2),=,=,從而=0,=0,故PCBE,PCDE.又BEDE=E,所以PC平面BDE.(2)=(0,0,2),=(,-b,0).設(shè)m=(x,y,z)為平面PAB的法向量,則m=0,m=0,即2z=0且x-by=0,令x=b,則m=(b,0).設(shè)n=(p,q,r)為平面PBC的法向量,則n=0,n=0,即2p-2r=0且+bq+r=0,令p=1,則r=,q=-,n=.因?yàn)槊鍼AB面PBC,故mn=0,即b-=0,故b=,于是n=(1,-1,),=(-,-,2),cos=,=60.因?yàn)镻D與平面PBC所成角和互余,故PD與平面PBC所成的角為30.20

11、.(2012大綱全國,文20)乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定:一局比賽,雙方比分在10平前,一方連續(xù)發(fā)球2次后,對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次,依次輪換,每次發(fā)球,勝方得1分,負(fù)方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中,每次發(fā)球,發(fā)球方得1分的概率為0.6,各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙的一局比賽中,甲先發(fā)球.(1)求開始第4次發(fā)球時(shí),甲、乙的比分為1比2的概率;(2)求開始第5次發(fā)球時(shí),甲得分領(lǐng)先的概率.解:記Ai表示事件:第1次和第2次這兩次發(fā)球,甲共得i分,i=0,1,2;Bi表示事件:第3次和第4次這兩次發(fā)球,甲共得i分,i=0,1,2;A表示事件:第3次發(fā)球,甲得1分;B表示事件:開始第4次發(fā)球時(shí),甲、乙的比分為1

12、比2;C表示事件:開始第5次發(fā)球時(shí),甲得分領(lǐng)先.(1)B=A0A+A1,P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=20.60.4=0.48,P(B)=P(A0A+A1)=P(A0A)+P(A1)=P(A0)P(A)+P(A1)P()=0.160.4+0.48(1-0.4)=0.352.(2)P(B0)=0.62=0.36,P(B1)=20.40.6=0.48,P(B2)=0.42=0.16,P(A2)=0.62=0.36.C=A1B2+A2B1+A2B2P(C)=P(A1B2+A2B1+A2B2)=P(A1B2)+P(A2B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B2)+P(A

13、2)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.480.16+0.360.48+0.360.16=0.307 2.21.(2012大綱全國,文21)已知函數(shù)f(x)=x3+x2+ax.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1),(x2,f(x2)的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.解:(1)f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1.當(dāng)a1時(shí),f(x)0,且僅當(dāng)a=1,x=-1時(shí),f(x)=0,所以f(x)是R上的增函數(shù);當(dāng)a0,f(x)是增函數(shù);當(dāng)x(-1-,-1+)時(shí),f(x)0,f(x)是增函數(shù).(2)由題設(shè)知,x1,x2為方程f(x)=0的兩個(gè)根,故有a0)有一個(gè)公共點(diǎn)A,且在A處兩曲線的切線為同一直線l.(1)求r;(2)設(shè)m,n是異于l且與C及M都相切的兩條直線,m,n的交點(diǎn)為D,求D到l的距離.解:(1)設(shè)A(x0,(x0+1)2).對(duì)y=(x+1)2求導(dǎo)得y=2(x+1),故l的斜率k=2(x0+1).當(dāng)x0=1時(shí),不合題意,所以x01.圓心為M,MA的斜率k=.由lMA知kk=-1,即2(x0+1)=-1,解得x0=0,故A(0,1),r=|MA|=,即r=.(2)設(shè)(t,(t+1)2)為C上一點(diǎn),則在該點(diǎn)處的切線方程為