經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件

1、經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件一、問題的提出（如下圖）一、問題的提出（如下圖）經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在 點相交分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件三、泰勒( Taylor )中值定理三、泰勒( Taylor )中值定理證明:證明:經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor

2、)公式課件拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項注意:注意:麥克勞林( Maclaurin )公式麥克勞林( Maclaurin )公式四、簡單的應用解代入公式,得四、簡單的應用解代入公式,得由公式可知估計誤差其誤差由公式可知估計誤差其誤差 常用函數(shù)的麥克勞林公式 常用函數(shù)的麥克勞林公式解解經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件若已知一系列點的函數(shù)值或導數(shù)值，或涉及到二階或三階以上的高階導數(shù)，可以考慮用泰勒公式。利用泰勒公式證明題目依題

3、意選定寫出相應的泰勒展開式由展開式推出要證明的結論若已知一系列點的函數(shù)值或導數(shù)值，或涉及到二階或三階以上的高階播放五、小結播放五、小結五、小結五、小結五、小結五、小結五、小結五、小結五、小結五、小結播放播放經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰

4、勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件思考題利用泰勒公式求極限思考題利用泰勒公式求極限思考題解答思考題解答練 習 題練 習 題練習題答案練習題答案 容易驗證仍有: 因此，工具變量法仍是Y對X的回歸，而不是對Z的回歸。 容易驗證仍有: 因此，工具變量法仍是Y對X的回歸 3. 如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量。但是，一旦工具變量選定，它們在估計過程被使用的

5、次序不影響估計結果(Why？)。4. OLS可以看作工具變量法的一種特殊情況。5. 如果1個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了廣義矩方法（Generalized Method of Moments, GMM） 3. 如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關 在GMM中，矩條件大于待估參數(shù)的數(shù)量，于是如何求解成為它的核心問題。 工具變量法是GMM的一個特例。 6. 要找到與隨機擾動項不相關而又與隨機解釋變量相關的工具變量并不是一件很容易的事 可以用Xt-1作為原解釋變量Xt的工具變量。 在GMM中，矩條件大于待估參數(shù)的數(shù)量，于是如五

6、、 案例中國居民人均消費函數(shù) 例4.4.1 在例2.5.1的中國居民人均消費函數(shù)的估計中，采用OLS估計了下面的模型： 由于：居民人均消費支出（CONSP）與人均國內生產總值（GDPP）相互影響，因此，五、 案例中國居民人均消費函數(shù) 例4.4.1 在 容易判斷GDPP與同期相關（往往是正相關），OLS估計量有偏并且是非一致的（低估截距項而高估計斜率項 ）。 OLS估計結果： (13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7 容易判斷GDPP與同期相關（往往是正相關 如果用GDPPt-1為工具變量，可得如下工具變量法估計結果： (

7、14.84) (56.04) R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5 如果用GDPPt-1為工具變量，可得如下工具變量法估 GMM是近20年計量經(jīng)濟學理論方法發(fā)展的重要方向之一。 IV是GMM的一個特例。 如果1個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了廣義矩方法（GMM）。在GMM中，矩條件大于待估參數(shù)的數(shù)量，于是如何求解成為它的核心問題。 GMM是近20年計量經(jīng)濟學理論方法發(fā)展的重要方第五章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：專門問題 虛擬變量 滯后變量 設定誤差 建模理論第五章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型

8、：專門問題 虛5.1 虛擬變量模型 一、虛擬變量的基本含義 二、虛擬變量的引入 三、虛擬變量的設置原則5.1 虛擬變量模型 一、虛擬變量的基本含義一、虛擬變量的基本含義許多經(jīng)濟變量是可以定量度量的，如：商品需求量、價格、收入、產量等。但也有一些影響經(jīng)濟變量的因素無法定量度量，如：職業(yè)、性別對收入的影響，戰(zhàn)爭、自然災害對GDP的影響，季節(jié)對某些產品（如冷飲）銷售的影響等等。為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們“量化”。一、虛擬變量的基本含義許多經(jīng)濟變量是可以定量度量的，如：商品 這種“量化”通常是通過引入“虛擬變量”來完成的。根據(jù)這些因素的屬性類型，構造只取“0”或“

9、1”的人工變量，通常稱為虛擬變量（dummy variables），記為D。例如，反映文程度的虛擬變量可取為： 1， 本科學歷 D= 0， 非本科學歷 這種“量化”通常是通過引入“虛擬變量”來完 一般地，在虛擬變量的設置中： 基礎類型、肯定類型取值為1； 比較類型，否定類型取值為0。 一般地，在虛擬變量的設置中：概念： 同時含有一般解釋變量與虛擬變量的模型稱為虛擬變量模型或者方差分析（analysis-of variance: ANOVA）模型。 一個以性別為虛擬變量考察企業(yè)職工薪金的模型：其中：Yi為企業(yè)職工的薪金，Xi為工齡， Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。概念： 同時含有一般解

10、釋變量與虛擬變量的模型二、虛擬變量的引入 虛擬變量做為解釋變量引入模型有兩種基本方式：加法方式和乘法方式。 上述企業(yè)職工薪金模型中性別虛擬變量的引入采取了加法方式。 在該模型中，如果仍假定E(i)=0，則 企業(yè)女職工的平均薪金為：1. 加法方式二、虛擬變量的引入 虛擬變量做為解釋變量引入模 企業(yè)男職工的平均薪金為：幾何意義： 假定20，則兩個函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。意即，男女職工平均薪金對教齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2。 企業(yè)男職工的平均薪金為：幾何意義： 假可以通過傳統(tǒng)的回歸檢驗，對2的統(tǒng)計顯著性進行檢驗，以判斷企業(yè)男女職工的平均薪金水平是否有顯著差異。0202

11、又例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎上，考慮個人保健支出對個人收入和教育水平的回歸。 教育水平考慮三個層次：高中以下， 高中， 大學及其以上。 這時需要引入兩個虛擬變量： 又例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎上，考慮個人保健支出對模型可設定如下： 在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大學及其以上教育水平下個人保健支出的函數(shù)：高中以下：模型可設定如下： 在E(i)=0 的初始假定下， 高中： 大學及其以上： 假定32，其幾何意義： 高中： 大學及其以上： 假定32，其幾何意義 還可將多個虛擬變量引入模型中以考察多種“定性”因素的影響。 如在上述職工薪金的例中，再引入代表學歷的虛擬變量D2：本科及以上學歷本科以下學

12、歷職工薪金的回歸模型可設計為： 還可將多個虛擬變量引入模型中以考察多種“定性”因素的女職工本科以下學歷的平均薪金：女職工本科以上學歷的平均薪金：于是，不同性別、不同學歷職工的平均薪金分別為：男職工本科以下學歷的平均薪金：男職工本科以上學歷的平均薪金：女職工本科以下學歷的平均薪金：女職工本科以上學歷的平均薪金：2. 乘法方式加法方式引入虛擬變量，考察：截距的不同。許多情況下：往往是斜率就有變化，或斜率、截距同時發(fā)生變化。斜率的變化可通過以乘法的方式引入虛擬變量來測度。2. 乘法方式加法方式引入虛擬變量，考察：截距的不同。 例：根據(jù)消費理論，消費水平C主要取決于收入水平Y，但在一個較長的時期，人們

13、的消費傾向會發(fā)生變化，尤其是在自然災害、戰(zhàn)爭等反常年份，消費傾向往往出現(xiàn)變化。這種消費傾向的變化可通過在收入的系數(shù)中引入虛擬變量來考察。如，設消費模型可建立如下： 例：根據(jù)消費理論，消費水平C主要取決于收入水平Y，但這里，虛擬變量D以與X相乘的方式引入了模型中，從而可用來考察消費傾向的變化。假定E(i)= 0，上述模型所表示的函數(shù)可化為： 正常年份： 反常年份：這里，虛擬變量D以與X相乘的方式引入了模型中，從而可用來考察 當截距與斜率發(fā)生變化時，則需要同時引入加法與乘法形式的虛擬變量。例5.1.1，考察1990年前后的中國居民的總儲蓄-收入關系是否已發(fā)生變化。 表5.1.1中給出了中國1979

14、2001年以城鄉(xiāng)儲蓄存款余額代表的居民儲蓄以及以GNP代表的居民收入的數(shù)據(jù)。 當截距與斜率發(fā)生變化時，則需要同時引入加法與乘法形式經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒(Taylor)公式課件 以Y為儲蓄，X為收入，可令：1990年前： Yi=1+2Xi+1i i=1,2,n1 1990年后： Yi=1+2Xi+2i i=1,2,n2 則有可能出現(xiàn)下述四種情況中的一種：(1) 1=1 ，且2=2 ，即兩個回歸相同，稱為重合回歸（Coincident Regressions）； 以Y為儲蓄，X為收入，可令：1990年前： Yi=1+(2) 11 ,但2=2 ，即兩個回歸的差異僅在其截距，稱為平行回歸（Paralle

15、l Regressions）;(3) 1=1 ，但22 ，即兩個回歸的差異僅在其斜率，稱為匯合回歸(Concurrent Regressions)；(4) 11，且22 ，即兩個回歸完全不同，稱為相異回歸（Dissimilar Regressions）。(2) 11 ,但2=2 ，即兩個回歸的差異僅在其 可以運用鄒氏結構變化的檢驗。這一問題也可通過引入乘法形式的虛擬變量來解決。 將n1與n2次觀察值合并，并用以估計以下回歸：Di為引入的虛擬變量： 可以運用鄒氏結構變化的檢驗。這一問題也可通過 于是有：可分別表示1990年后期與前期的儲蓄函數(shù)。 在統(tǒng)計檢驗中，如果4=0的假設被拒絕，則說明兩個時

16、期中儲蓄函數(shù)的斜率不同。 于是有：可分別表示1990年后期與前期的儲蓄函數(shù)。 具體的回歸結果為： (-6.11) (22.89) (4.33) (-2.55) 由3與4的t檢驗可知：參數(shù)顯著地不等于0，強烈示出兩個時期的回歸是相異的，儲蓄函數(shù)分別為：1990年前：1990年后：=0.9836具體的回歸結果為： (-6.11)3. 臨界指標的虛擬變量的引入 在經(jīng)濟發(fā)生轉折時期，可通過建立臨界指標的虛擬變量模型來反映。 例如，進口消費品數(shù)量Y主要取決于國民收入X的多少，中國在改革開放前后，Y對X的回歸關系明顯不同。 3. 臨界指標的虛擬變量的引入 在經(jīng)濟發(fā)生轉折則進口消費品的回歸模型可建立如下：

17、這時，可以t*=1979年為轉折期，以1979年的國民收入Xt*為臨界值，設如下虛擬變量： 則進口消費品的回歸模型可建立如下： OLS法得到該模型的回歸方程為：則兩時期進口消費品函數(shù)分別為：當tt*=1979年，當tt*=1979年， OLS法得到該模型的回歸方程為：則兩時期進口消費品函三、虛擬變量的設置原則 虛擬變量的個數(shù)須按以下原則確定： 每一定性變量所需的虛擬變量個數(shù)要比該定性變量的類別數(shù)少1，即如果有m個定性變量，只在模型中引入m-1個虛擬變量。 例。已知冷飲的銷售量Y除受k種定量變量Xk的影響外，還受春、夏、秋、冬四季變化的影響，要考察該四季的影響，只需引入三個虛擬變量即可：三、虛擬

18、變量的設置原則 虛擬變量的個數(shù)須按以下則冷飲銷售量的模型為：在上述模型中，若再引入第四個虛擬變量：則冷飲銷售量的模型為：在上述模型中，若再引入第四個虛擬變量：則冷飲銷售模型變量為：其矩陣形式為： 如果只取六個觀測值，其中春季與夏季取了兩次，秋、冬各取到一次觀測值，則式中的：則冷飲銷售模型變量為：其矩陣形式為： 如果只取六個觀 顯然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的線性組合，從而(X,D)不滿秩，參數(shù)無法唯一求出。 這就是所謂的“虛擬變量陷阱”，應避免。 顯然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的線5.2 滯后變量模型 一、滯后變量模型 二、分布滯后模型的參數(shù)估計 三、自回歸模型的參數(shù)估計四

19、、格蘭杰因果關系檢驗 5.2 滯后變量模型 一、滯后變量模型 在經(jīng)濟運行過程中，廣泛存在時間滯后效應。某些經(jīng)濟變量不僅受到同期各種因素的影響，而且也受到過去某些時期的各種因素甚至自身的過去值的影響。一、滯后變量模型 在經(jīng)濟運行過程中，廣泛存在時間滯后效應。某些 通常把這種過去時期的，具有滯后作用的變量叫做滯后變量（Lagged Variable），含有滯后變量的模型稱為滯后變量模型。 滯后變量模型考慮了時間因素的作用，使靜態(tài)分析的問題有可能成為動態(tài)分析。含有滯后解釋變量的模型，又稱動態(tài)模型（Dynamical Model）。 通常把這種過去時期的，具有滯后作用的變1. 滯后效應與與產生滯后效應

20、的原因 因變量受到自身或另一解釋變量的前幾期值影響的現(xiàn)象稱為滯后效應。 表示前幾期值的變量稱為滯后變量。 如：消費函數(shù) 通常認為，本期的消費除了受本期的收入影響之外，還受前1期，或前2期收入的影響： Ct=0+1Yt+2Yt-1+3Yt-2+tYt-1，Yt-2為滯后變量。1. 滯后效應與與產生滯后效應的原因 因變量受 產生滯后效應的原因 1. 心理因素：人們的心理定勢，行為方式滯后于經(jīng)濟形勢的變化，如中彩票的人不可能很快改變其生活方式。 2. 技術原因：如當年的產出在某種程度上依賴于過去若干期內投資形成的固定資產。 3. 制度原因：如定期存款到期才能提取，造成了它對社會購買力的影響具有滯后性

21、。 產生滯后效應的原因 1. 心理因素：人們的心理定2. 滯后變量模型 以滯后變量作為解釋變量，就得到滯后變量模型。它的一般形式為： q，s：滯后時間間隔 2. 滯后變量模型 以滯后變量作為解釋變量，就得到 自回歸分布滯后模型（autoregressive distributed lag model, ADL）：既含有Y對自身滯后變量的回歸，還包括著X分布在不同時期的滯后變量。 有限自回歸分布滯后模型：滯后期長度有限 無限自回歸分布滯后模型：滯后期無限 自回歸分布滯后模型（autoregressive dis （1）分布滯后模型（distributed-lag model） 分布滯后模型：模型中沒有滯后被解釋變量，僅有解釋變量X的當期值及其若干期的滯后值： 0：短期(short-run)或即期乘數(shù)(impact multiplier)，表示本期X變化一單位對Y平均值的影響程度。 i (i=1,2,s)：動態(tài)乘數(shù)或延遲系數(shù)，表示各滯后期X的變動對Y平均值影響的大小。 （1）分布滯后模型（distributed-lag m 如果各期的X值保持不變，則X與Y間的長期或均衡關系即為:稱為長期（long-run）或均衡乘數(shù)（total distributed-lag multiplier），表示X