高等數(shù)學方明亮 曲面及其方程

1、高等數(shù)學方明亮 曲面及其方程2022/9/81第1頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例:1:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程, 2:不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程. （Equations for a Surface)2022/9/82第2頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此

2、方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.兩個基本問題 :(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時需作圖 ). 定義12022/9/83第3頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四故所求方程為方程. 特別,當M0在原點時,球面方程為解: 設軌跡上動點為即依題意距離為 R 的軌跡表示上(下)球面 .例1 求動點到定點2022/9/84第4頁，共27頁，2022年，5月20日，21

3、點26分，星期四解: 配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.的曲面. （課本 例3） 表示怎樣半徑為的球面.球心為 例2 研究方程2022/9/85第5頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四定義2 一條平面曲線二、旋轉曲面 繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸 ,旋轉曲線叫做旋轉曲面的母線.例如 :(Surface of Revolution)2022/9/86第6頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四故旋轉曲面方程為當繞 z 軸旋轉時,若點給定 yoz 面上曲線 C:

4、 則有則有該點轉到建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:2022/9/87第7頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四求旋轉曲面方程時,平面曲線繞某坐標軸旋轉,則該坐標軸對應的變量不變,而曲線方程中另一變量寫成該變量與第三變量平方和的正負平方根.思考：當曲線 C 繞 y 軸旋轉時，方程如何？2022/9/88第8頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四的圓錐面方程. （課本 例4） 解: 在yoz面上直線L 的方程為繞z 軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方例3 試建立頂點在原點, 旋轉軸為z 軸, 半頂角為2022/9/89第9頁，共27頁，20

5、22年，5月20日，21點26分，星期四分別繞 x軸和 z 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程. 解:繞 x 軸旋轉繞 z 軸旋轉這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為例4 求坐標面 xoz 上的雙曲線(旋轉雙葉雙曲面）(旋轉單葉雙曲面）（習題6-3 5）2022/9/810第10頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四三、柱面引例 分析方程表示怎樣的坐標也滿足方程解:在 xoy 面上表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面在圓C上任取一點 其上所有點的坐標都滿足此方程

6、,(Cylinder; Cylindrical Surface)的曲面 ?2022/9/811第11頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準線, l 叫做母線.定義3 2022/9/812第12頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線 xoz 面上的曲線 l3: H(z,x)=

7、0.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1 : F(x,y)=0.母線準線 yoz 面上的曲線 l2 : G(y,z)=0.母線一般地,在三維空間2022/9/813第13頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四四、二次曲面三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項系數(shù)不全為 0 )(Quadric Surface; Surface of Second Order)2022/9/814第14頁，共27頁，202

8、2年，5月20日，21點26分，星期四橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到, 見書 P202)1. 橢圓錐面(Elliptic Cone)2022/9/815第15頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓2. 橢球面(Ellipsoid)2022/9/816第16頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四與的交線為橢圓：(4) 當 ab 時為旋轉橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當abc 時為球面.(3) 截痕:為正數(shù))2022/9/817第17頁，共

9、27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四3. 拋物面(Paraboloid)(1) 橢圓拋物面(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面） 特別,當a = b時為繞 z 軸的旋轉拋物面.xyzxyz2022/9/818第18頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四(1)單葉雙曲面(Hyperboloid of One Sheet)橢圓.時, 截痕為(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）平面 上的截痕情況:雙曲線: 4. 雙曲面(Hyperboloid)2022/9/819第19頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四虛軸平行于x 軸）時, 截痕為時, 截痕為(

10、實軸平行于z 軸;相交直線: 雙曲線: 2022/9/820第20頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線單葉雙曲面: 系數(shù)二項正,一項為負.雙葉雙曲面: 系數(shù)一項正,二項負.圖形(2) 雙葉雙曲面(Hyperboloid of Two Sheets)（a、b、c 是正數(shù)）2022/9/821第21頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四內(nèi)容小結1. 空間曲面三元方程 球面 旋轉曲面如, 曲線繞 z 軸的旋轉曲面: 柱面如,曲面表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .2022

11、/9/822第22頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四三元二次方程 橢球面 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面: 2. 二次曲面2022/9/823第23頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四課外練習P204 習題63 1；3(2)(4); 4; 6（奇數(shù)題）；7；8（2）（3）； 92022/9/824第24頁，共27頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面平行于 z 軸的平面思考與練習1. 指出