圓周率π的歷史和近似計(jì)算的發(fā)展過程市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

1、圓周率發(fā)展歷史及近似計(jì)算 -數(shù)學(xué)案例教學(xué)之八 第1頁內(nèi)容介紹一、對(duì)圓周率發(fā)展歷史介紹二、圓周率發(fā)展四個(gè)時(shí)期近似計(jì)算 方法介紹三、結(jié)合Mathematica軟件對(duì)近似計(jì)算方法 演示與比較四、對(duì)近似計(jì)算其它若干方法介紹第2頁人類是在什么時(shí)候首先發(fā)覺了圓周長是其直徑三倍多事實(shí)現(xiàn)在已經(jīng)極難追溯了,從那個(gè)難以確定時(shí)間以來,人們一直在努力地回答圓周長終究是其直徑三倍多多少問題。古往今來,從沒有哪一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)能象圓周率那樣吸引眾多學(xué)者。圓周率在各個(gè)時(shí)期文明中都像一顆閃耀明珠,它往往能夠在一定程度上折射出該文明數(shù)學(xué)發(fā)展水平。下面就讓我們回顧計(jì)算四個(gè)時(shí)期。第3頁一、經(jīng)驗(yàn)性取得時(shí)期該階段特點(diǎn)是,取得并沒有理論上依

2、據(jù),而是從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中得到, 普通說來,準(zhǔn)確度是不高。第4頁古埃及和巴比侖 屬于經(jīng)驗(yàn)性取得階段。在古埃及所留下兩批草紙之一萊登草紙上有一個(gè)例子:“ 有一塊9 凱特(即直徑為9)圓形土地,其面積多大? 今取其直徑九分之一,即1 ,則余8 ,作8 乘以8 ,得64 ,這個(gè)大小就是面積。”由此可見,他們認(rèn)為圓面積等于一個(gè)邊長為此圓直徑九分之八正方形面積,經(jīng)過簡單推算,就可得出圓周長與其直徑之比是256/ 81 ,大約是3. 1605。在巴比侖,他們把圓面積取為圓周平方十二分之一,由此似乎能夠看出,他們認(rèn)為圓周是直徑三倍,即取3。但在給出正六邊形及外接圓周長之比時(shí),實(shí)際上又用了25/ 8 即3. 125

3、 作為 值。以上時(shí)間大約是公元前 年左右。第5頁下面我們看東方情況。在中國,成書大約在一世紀(jì)周髀算經(jīng)上記述了周公和商高問答,在商高曰“數(shù)之法出于圓方”下,有趙爽(公元220 年) 注(“周三而徑一”) 。東漢科學(xué)家張衡提出 ,而在西漢緝?yōu)槎ū局袊诺鋽?shù)學(xué)名著九章算術(shù)中仍沿用周三徑一之說,其精度比不上古埃及和巴比侖,這種情況一直延續(xù)到公元三世紀(jì)魏晉時(shí)期,因?yàn)閿?shù)學(xué)家劉徽出現(xiàn)而得以改變。第6頁在古印度,宗教活動(dòng)中廟宇和祭壇等建筑設(shè)計(jì),需要用到數(shù)學(xué)知識(shí),在梵文經(jīng)典測繩法規(guī)中對(duì)此作了總結(jié),所包含內(nèi)容能夠上溯到公元前五世紀(jì)或更早年代,其中使用值往往用復(fù)雜式子表示如:顯然,這些近似值比3 強(qiáng)不了多少,而且也

4、都是經(jīng)驗(yàn)性。印度這種使用經(jīng)驗(yàn)性值年代一直延續(xù)到公元六世紀(jì)數(shù)學(xué)家阿耶波多。第7頁二、幾何推算時(shí)期從幾何上推算出圓周率近似值應(yīng)該首推古希臘Archimedes (287 - 212 BC) ,他得到圓周率是大于223/ 71 而小于22/ 7 ,他是用96邊圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形來進(jìn)行推算。第8頁從幾何上推算出圓周率近似值應(yīng)該首推古希臘Archimedes (287 - 212 BC) ,他得到圓周率是大于223/ 71 而小于22/ 7 ,他是用96邊圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形來進(jìn)行推算。需要說明是,Archimedes 并不是用我們這里代數(shù)和三角符號(hào),而是用純幾何方法推導(dǎo),而且也沒

5、有使用我們現(xiàn)在使用小數(shù)表示(小數(shù)正式使用是在十六、十七世紀(jì)事) ,所以他從a1 ,b1 出發(fā)推導(dǎo)出a6 ,b6 是極為煩瑣,計(jì)算量是驚人。半徑為1 圓,分別內(nèi)接和外切正 邊形,設(shè)它們周長二分之一分別為an 和bn , 當(dāng)n 遞增時(shí)能夠得到遞增數(shù)列a1 ,a2 , ,an , ,和遞減數(shù)列b1 ,b2 ,bn ,此二數(shù)列有相同極限。第9頁古印度在這方面情況。印度在公元500 1000 年間,出現(xiàn)了四、五個(gè)有名數(shù)學(xué)家,印度數(shù)學(xué)由此而出現(xiàn)了繁榮景象。對(duì)圓周率得出最好近似值是阿耶波多,他所得到近似值是3. 1416 ,但直到十二世紀(jì)前后印度數(shù)學(xué)家一直沒有使用過該值。在他阿耶波多書里,他是這么說:100

6、 加4 ,乘以8 ,再加6 ,結(jié)果是直徑為0 圓周近似值,這就造成了圓周率為3. 1416 ,因?yàn)闀袥]有一處地方提醒過證實(shí)方法,所以我們無從得知他是怎樣得出該結(jié)果,但從其準(zhǔn)確性上看,他應(yīng)該是經(jīng)過推算得出。第10頁下面看中國,劉徽是三世紀(jì)中國著名數(shù)學(xué)家,他是用割圓術(shù)來求圓周率。割圓術(shù)從單位圓開始，首先作單位圓內(nèi)接正六邊形，然后邊數(shù)加倍，正12邊形，正24邊形，正48邊形，正96邊形， 利用勾股定理，能夠建立邊數(shù)與面積遞推公式，進(jìn)而得到近似值.設(shè)圓內(nèi)接正n邊形邊長為 ，圓內(nèi)接正n邊形面積為 ，則邊長有以下遞推公式：第11頁面積與邊長有以下關(guān)系：圓面積S與多邊形面積 之間有以下關(guān)系：第12頁他算到

7、192 邊形時(shí)得到314. 1024 100314. 2704.劉徽用157/ 50 = 3. 14 表示圓周率,被稱為“徽率”。劉徽所建立普通公式S2n S S2n + (S2n - Sn) 能夠把圓周率計(jì)算到任意精度,它比阿基米德用內(nèi)接和外切雙方迫近方法更為簡練.第13頁我們借助于計(jì)算機(jī)利用軟件Mathematica來完成劉徽工作：第14頁令n=4，可得b(n), c(n)分別為第15頁在劉徽之后二百年,南北朝人祖沖之應(yīng)用劉徽割圓術(shù),在劉徽基礎(chǔ)上繼續(xù)推算,求出了準(zhǔn)確七位有效數(shù)字圓周率值:3. 1415926 3. 1415927。在中國科學(xué)技術(shù)史中,李約瑟博士指出:“在這個(gè)時(shí)期,中國人很快

8、趕上了希臘人,而且在公元五世紀(jì)祖沖之和他兒子祖堩計(jì)算中又出現(xiàn)了躍進(jìn),從而使他們領(lǐng)先了一千年?！弊鏇_之所得圓周率精度保持了統(tǒng)計(jì)達(dá)一千年,直到十五世紀(jì)中亞數(shù)學(xué)家al - Kashi 和十六世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家Viete 才計(jì)算出更準(zhǔn)確值,前者到第十四位,后者到第九位。到歐洲文藝復(fù)興之前,圓周率最好結(jié)果是公元1600 年Van Ceulen 所得第35 位。第16頁1593年，VieTa首次給出計(jì)算準(zhǔn)確表示式第17頁第18頁每增加兩項(xiàng)，能夠提升1位數(shù)準(zhǔn)確度.第19頁三、解析計(jì)算時(shí)期歐洲文藝復(fù)興帶來了一個(gè)嶄新數(shù)學(xué)世界,數(shù)學(xué)公式出現(xiàn)使圓周率計(jì)算進(jìn)入了一個(gè)新階段,最早公式之一是數(shù)學(xué)家Willis所得:而最著名公

9、式是Leibniz級(jí)數(shù)(1674年發(fā)覺）:第20頁我們能夠執(zhí)行以下程序來體驗(yàn)利用萊布尼茨級(jí)數(shù)計(jì)算效果：第21頁發(fā)覺其收斂速度慢，使用前1000項(xiàng)計(jì)算大約能準(zhǔn)確到百分位.第22頁歐拉于1748年發(fā)覺兩個(gè)級(jí)數(shù)：這兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂速度也很慢，所以在計(jì)算時(shí)使用價(jià)值并不大。第23頁為提升計(jì)算效率，采取基于arctanx級(jí)數(shù)一個(gè)加速方法：已知arctanx泰勒級(jí)數(shù)展開式為：若在其中取x=1,則得到就是萊布尼茨級(jí)數(shù)，其收斂速度極慢。第24頁觀察級(jí)數(shù)可知，當(dāng)x值越靠近0，級(jí)數(shù)收斂得越快.所以考慮令 ，則則有所以，非?？拷?.第25頁而即所以第26頁編制程序觀察加速效果：第27頁取級(jí)數(shù)前25項(xiàng)就能夠使準(zhǔn)確到37位

10、小數(shù)。加速效果非常顯著。第28頁依據(jù)這一原理，還可得到：第29頁四、計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)期計(jì)算機(jī)出現(xiàn),使圓周率計(jì)算進(jìn)入一個(gè)更新時(shí)期, 這可能是它最終一個(gè)時(shí)期。1949 年計(jì)算機(jī)ENIAC 用70 分鐘時(shí)間把計(jì)算到2037 位以來,到1999 年東京大學(xué)Kanada 和Takahashi 用兩臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)花費(fèi)了73 小時(shí)把計(jì)算到68 ,719 ,470 ,000 位,這期間因?yàn)橛?jì)算機(jī)運(yùn)算速度加緊,計(jì)算位數(shù)越來越多,相對(duì)使用時(shí)間越來越短。第30頁當(dāng)前，在計(jì)算時(shí)一個(gè)極其有效公式是拉馬努金公式：第31頁第32頁這個(gè)級(jí)數(shù)收斂得非?？?，級(jí)數(shù)每增加一項(xiàng)，可提升大約8位小數(shù)精度。第33頁1985年，數(shù)學(xué)家比爾.高斯帕

11、伊使用該公式在計(jì)算機(jī)上算出1750萬位小數(shù).這個(gè)神奇公式歸功于印度年輕傳奇數(shù)學(xué)家拉馬努金（18871920）.第34頁因?yàn)閱渭兊亟?jīng)過計(jì)算機(jī)去追求更高數(shù)位已經(jīng)毫無意義,計(jì)算原因,正如東京大學(xué)Kanada 所說:“我們進(jìn)行運(yùn)算主要原因是檢驗(yàn)我們計(jì)算機(jī)可靠性和對(duì)于運(yùn)算、程序和算法正確性,成為世界統(tǒng)計(jì)保持者只是它一個(gè)副產(chǎn)品而己?！钡?5頁計(jì)算其它方法介紹 1、蒙塔卡羅方法2、數(shù)值積分方法3、二分法4、迭代法第36頁1、蒙特卡洛方法求近似值 蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法,它是用概率模型來進(jìn)行近似計(jì)算方法,其思想形成于18 世紀(jì)法國學(xué)者蒲豐投針試驗(yàn)中. 伴隨計(jì)算機(jī)不停進(jìn)步,蒙特卡羅方法應(yīng)用范圍越來越廣泛.

12、它能成功處理許多不一樣類型 數(shù)學(xué)和物理問題,并在原子能技術(shù)、武器裝備論證等問題中,蒙特卡羅法有很高應(yīng)用價(jià)值. 當(dāng)然,在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中蒙特卡羅法意義也十分重大,如定積分近似計(jì)算,已經(jīng)有不少學(xué)者進(jìn)行過深入探討.第37頁 伴隨眾多數(shù)學(xué)軟件出現(xiàn),蒙特卡羅法在數(shù)學(xué)理論研究方面有了更遼闊發(fā)揮空間,不但能夠?qū)σ呀?jīng)有問題結(jié)果進(jìn)行強(qiáng)有力佐證,而且為新結(jié)論提供良好發(fā)展平臺(tái).第38頁利用單位圓與邊長為1 正方形面積之比來計(jì)算近似值. 詳細(xì)思想以下:如圖所表示,單位圓1/ 4 為一個(gè)扇形G,它是邊長為1 正方形一部分. 考慮扇形面積在正方形面積中所占百分比k , 得出其結(jié)果為/ 4 ,然后乘以4 就能夠得到值.這里怎

13、樣計(jì)算百分比k ,利用蒙特卡羅方法隨機(jī)投點(diǎn)思想. 在正方形中隨機(jī)投入很多點(diǎn),使所投點(diǎn)落在正 方形中每一個(gè)位置機(jī)會(huì)均等,然后考查有多少點(diǎn)落在扇形內(nèi). 其中落在扇形內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)m與投點(diǎn)總數(shù)n 之比就是k 近似值.第39頁第40頁于是經(jīng)過Mathematica 能夠完成對(duì)應(yīng)程序編寫. 詳細(xì)程序以下：第41頁注:以上語句執(zhí)行流程是:每投1 000 個(gè)點(diǎn)得到一個(gè)近似值,將其存放在數(shù)組p 中,一樣操作重復(fù)20 次得到20 個(gè)近似值,最終用Print 語句顯示全部近似值,并求出20 個(gè)近似值平均值. 注意程序中采取隨機(jī)數(shù)思想,故而結(jié)果不唯一.運(yùn)行程序可得結(jié)果分別為:第42頁2、數(shù)值積分方法求近似值算法原理：由計(jì)算定積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法梯形法求近似值比如：則可將積分區(qū)間【0，1】等分為n份，以每個(gè)小區(qū)間上梯形面積近似代替小曲邊梯形面積，從而得到定積分近似值，最終再乘以4就得到近似值.第43頁第44頁3、二分法求近似值算法原理：f(x)=sinx在x= 處取得零點(diǎn)，又函數(shù)在3 與4 間只有一個(gè)零點(diǎn)，可對(duì)區(qū)間3，4不停進(jìn)行二分，逐步到達(dá)。第45頁4、迭代法1989年，Borwein發(fā)覺了以下收斂于 迭代公式：第46頁運(yùn)行前去除變量！第47頁收斂速度非?？?，迭代4次就能夠準(zhǔn)確到693位小數(shù)！第48頁 自公元前人類發(fā)覺