全等三角形輔助線(xiàn)系列之二-中點(diǎn)類(lèi)輔助線(xiàn)作法大全

1、.全等三角形輔助線(xiàn)系列之二與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線(xiàn)作法大全一、中線(xiàn)類(lèi)輔助線(xiàn)作法1、遇到三角形的中線(xiàn),可以倍長(zhǎng)中線(xiàn),使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,通過(guò)全等將分散的條件集中起來(lái),利用的思維模式是全等變換中的旋轉(zhuǎn)2、遇到題中有中點(diǎn),可以構(gòu)造三角形的中位線(xiàn),利用中位線(xiàn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)移線(xiàn)段關(guān)系3、遇到三角形的中線(xiàn)或與中點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段,如果有直角三角形,可以取直角三角形斜邊的中點(diǎn),試圖構(gòu)造直角三角形斜邊的中線(xiàn),利用斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)移線(xiàn)段關(guān)系典型例題精講如圖,已知在中,是邊上的中線(xiàn),是上一點(diǎn),延長(zhǎng)交于,求證：解析延長(zhǎng)到,使,連結(jié),又,如圖,在中,交于點(diǎn),點(diǎn)是中點(diǎn),交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),交于點(diǎn),若,求證：為的角平分線(xiàn)

2、解析延長(zhǎng)到點(diǎn),使,連結(jié)在和中,而又,為的角平分線(xiàn)已知為的中線(xiàn),的平分線(xiàn)分別交于、交于求證：解析延長(zhǎng)到,使,連結(jié)、易證,又,的平分線(xiàn)分別交于、交于,利用證明,在中,如圖所示,在中,是的中點(diǎn),垂直于,如果,求證解析延長(zhǎng)至,使,連接、因?yàn)?則從而,而,故,因此,即,則,即因?yàn)?故,則為Rt斜邊上的中線(xiàn),故由此可得在中,是斜邊的中點(diǎn),、分別在邊、上,滿(mǎn)足若,則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)解析如圖、延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,聯(lián)結(jié)、由,有又,如圖所示,在中,延長(zhǎng)到,使,為的中點(diǎn),連接、,求證解析解法一：如圖所示,延長(zhǎng)到,使容易證明,從而,而,故 注意到,故,而公用,故,因此解法二：如圖所示,取的中點(diǎn),連接因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),是的中點(diǎn),

3、故是的中位線(xiàn),從而,由可得,故,從而,已知：ABCD是凸四邊形,且E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),EF交AC于M；EF交BD于N,AC和BD交于G點(diǎn) 求證：解析取AB中點(diǎn)H,連接EH、FH,EHBD,FHAC,在中,以為底作等腰直角,是的中點(diǎn),求證：且解析過(guò)作交于又,又故且如圖所示,在中,為的中點(diǎn),分別延長(zhǎng)、到點(diǎn)、,使過(guò)、分別作直線(xiàn)、的垂線(xiàn),相交于點(diǎn),設(shè)線(xiàn)段、的中點(diǎn)分別為、求證：1；2解析1如圖所示,根據(jù)題意可知且,且,所以而、分別是直角三角形、的斜邊的中點(diǎn),所以,又已知,從而2由1可知,則由可得而、均為等腰三角形,所以已知,如圖四邊形中,、分別是和的中點(diǎn),、的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn)求證：解析連接

4、,取中點(diǎn),連接、 ,同理,已知：在中,動(dòng)點(diǎn)繞 的頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),且,連結(jié)過(guò)、的中點(diǎn)、作直線(xiàn),直線(xiàn)與直線(xiàn)、分別相交于點(diǎn)、1如圖1,當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合,取的中點(diǎn),連結(jié)、,根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理和平行線(xiàn)的性質(zhì),可得結(jié)論2當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí),與有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)分別寫(xiě)出猜想,并任選一種情況證明解析圖2：,圖3：證明：在圖2中,取的中點(diǎn),連結(jié)、是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),同理,證明圖3的過(guò)程與證明圖2過(guò)程相似 如圖所示,是內(nèi)的一點(diǎn),過(guò)作于,于,為的中點(diǎn),求證解析如圖所示,取、的中點(diǎn)、,連接、,則有且,且因?yàn)楹投际侵苯侨切?故,從而, 又因?yàn)?而,且,所以,從而,故如右下圖,在中,若

5、,為邊的中點(diǎn)求證：解析如右下圖,則取邊中點(diǎn),連結(jié)、由中位線(xiàn)可得,且為斜邊上的中線(xiàn),又,即,如圖,中,是中點(diǎn),與交于,與 交于求證：,解析連結(jié),是中點(diǎn)且在與中,在ABCD中,過(guò)點(diǎn)D作,且,連接EF、EC,N、P分別為EC、BC的中點(diǎn),連接NP.1如圖1,若點(diǎn)E在DP上,EF與DC交于點(diǎn)M,試探究線(xiàn)段NP與線(xiàn)段NM的數(shù)量關(guān)系及ABD與MNP滿(mǎn)足的等量關(guān)系,請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；2如圖2,若點(diǎn)M在線(xiàn)段EF上,當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí),你在1中得到的結(jié)論仍然成立,寫(xiě)出你確定的點(diǎn)M的位置,并證明1中的結(jié)論圖1 A 圖1 A B C D P E F N M 圖2A B C D P E F N M1324PNAEFC

6、DB解析1, 2點(diǎn)M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn).證明：如圖,分別連接BE、CF. 四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,ABDC,.,.即又,由得BDECDF,.N、P分別為EC、BC的中點(diǎn),NPEB, 同理可得 MNFC,NPEB,MNFC,在RtABC中,點(diǎn)D在邊AC上不與A,C重合,連結(jié)BD,F為BD中點(diǎn)1若過(guò)點(diǎn)D作DEAB于E,連結(jié)CF、EF、CE,如圖1 設(shè),則k =；2若將圖1中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得D、E、B三點(diǎn)共線(xiàn),點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn),如圖2所示求證：；3若,點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處,將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn),求線(xiàn)段CF長(zhǎng)度的最大值解析1；2如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線(xiàn)交B

7、D于點(diǎn)G,設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q. 由題意,.D、E、B三點(diǎn)共線(xiàn),AEDB.,.F是BD中點(diǎn),F是EG中點(diǎn).在中,3情況1：如圖,當(dāng)時(shí),取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)MF和CM,且,.M為AB中點(diǎn),.M為AB中點(diǎn),F為BD中點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線(xiàn)且M在線(xiàn)段CF上時(shí)CF最大,此時(shí).情況2：如圖,當(dāng)時(shí),取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)MF和CM,類(lèi)似于情況1,可知CF的最大值為綜合情況1與情況2,可知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí),線(xiàn)段CF的長(zhǎng)度取得最大值為.課后復(fù)習(xí)如圖,中,是中線(xiàn)求證：解析延長(zhǎng)到,使,連結(jié)在和中,在中,在中,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn),且以線(xiàn)段、為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能,該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？解析延長(zhǎng)到點(diǎn),使,連結(jié)、在和中,在和中故以線(xiàn)段、為邊能構(gòu)