2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專(zhuān)題9.4雙曲線及其性質(zhì)（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、9.4雙曲線及其性質(zhì)高考理數(shù)考點(diǎn)一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.定義在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線,定點(diǎn)F1,F2叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.注意(1)設(shè)雙曲線上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值為2a,即|MF1|-|MF2|=2a,其中02a|F1F2|,則點(diǎn)M的軌跡不存在;若2a=0,則點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.(2)若將雙曲線定義中的“差的絕對(duì)值等于常數(shù)”中的“絕對(duì)值”去掉,則點(diǎn)的集合是雙曲線的一支,具體是左支(上支)還是右支(下支)視情況而定.2.標(biāo)準(zhǔn)方程(1)中心在坐

2、標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a0,b0);(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a0,b0).注意(1)焦點(diǎn)位置的判斷:在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,看x2項(xiàng)與y2項(xiàng)的系數(shù)正負(fù),若x2項(xiàng)的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上;若y2項(xiàng)的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在y軸上,即“焦點(diǎn)位置看正負(fù),焦點(diǎn)隨著正的跑”.(2)a,b,c滿足c2=a2+b2,即c最大(c為半焦距).3.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題(1)P為雙曲線上的點(diǎn),F1,F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),且F1PF2=,則=c|yP|.(2)過(guò)焦點(diǎn)F1的直線與雙曲線的一支交于A、B兩點(diǎn),則A、B與另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的ABF2的周長(zhǎng)為4a+2|A

3、B|.(3)若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.(4)P是雙曲線-=1(a0,b0)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),I為PF1F2內(nèi)切圓的圓心,則圓心I的橫坐標(biāo)恒為定值a.考向突破考向一雙曲線的定義例1(2018江西贛南五校聯(lián)考,10)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的離心率為2,左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A在雙曲線C上,若AF1F2的周長(zhǎng)為10a,則AF1F2的面積為()A.2a2B.a2C.30a2D.15a2 解析由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)A在雙曲線的右支上,由e=2,得c

4、=2a,AF1F2的周長(zhǎng)為|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a,又AF1F2的周長(zhǎng)為10a,|AF1|+|AF2|=6a,又|AF1|-|AF2|=2a,|AF1|=4a,|AF2|=2a.在AF1F2中,|F1F2|=4a,cosF1AF2=.sinF1AF2=, =|AF1|AF2|sinF1AF2=4a2a=a2.故選B.答案B考向二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(2019內(nèi)蒙古赤峰二中模擬,8)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P(2,)在雙曲線上,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則該雙曲線的方程為()A.x2-y2=1

5、B.-=1C.x2-=1D.-=1解析設(shè)|PF1|=m,|F1F2|=2c,|PF2|=n.m-n=2a.|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,4c=m+n.m=a+2c=,n=2c-a=,聯(lián)立解得a=1,c=,b2=c2-a2=1,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=1.故選A.答案A考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)考向基礎(chǔ) 焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)范圍|x|a|y|a焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)頂點(diǎn)A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)實(shí)、虛

6、軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=漸近線方程y=xy=x【常見(jiàn)結(jié)論】(1)等軸雙曲線:實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率e=兩條漸近線互相垂直.(2)共軛雙曲線的性質(zhì):它們有共同的漸近線;它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓;它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.(3)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.考向突破考向一雙曲線的漸近線例1(2019安徽宣城二模,10)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線PO交雙曲線C左支于點(diǎn)M,直線PF2交雙曲線C右支于點(diǎn)N,若|PF1|=2|PF2|,

7、且MF2N=60,則雙曲線C的漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=2xD.y=2x解析連接F1M.點(diǎn)P是雙曲線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn),|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|=2|PF2|,|PF1|=4a,|PF2|=2a,直線PO交雙曲線C左支于點(diǎn)M,由對(duì)稱(chēng)性可知,|PO|=|OM|,又|OF1|=|OF2|,四邊形PF1MF2為平行四邊形,|MF2|=|PF1|=4a.在POF2中,由余弦定理得4a2=|PO|2+c2-2c|PO|cosPOF2,在POF1中,由余弦定理得16a2=|PO|2+c2+2c|PO|cosPOF2,由+得20a2=2|PO|2+2c2,|PO|2=1

8、0a2-c2,即|PO|=,|PM|=2,又直線PF2交雙曲線C右支于點(diǎn)N,且MF2N=60,MF2P=120.在PMF2中,由余弦定理得4(10a2-c2)=4a2+16a2-22a4acos 120,即c2=3a2,又知c2=a2+b2,a2+b2=3a2,=2,=,雙曲線C的漸近線方程為y=x,故選A.答案A考向二雙曲線的離心率例2(2019新疆石河子第一中學(xué)月考,10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C:-=1(b0,a0)的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),若直線BF與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn),且=5,則雙曲線C的離心率為()A.B.C.D.2解析左焦點(diǎn)為F(-c

9、,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),直線PQ的方程為y=(x+c),與y=x聯(lián)立得P.與y=-x聯(lián)立得Q.=5,則0-=52c=3ae=.故選B.答案B考點(diǎn)三直線與雙曲線的位置關(guān)系考向基礎(chǔ)直線與雙曲線的位置關(guān)系主要是指公共點(diǎn)問(wèn)題、相交弦問(wèn)題及其他綜合問(wèn)題.解決這樣的問(wèn)題,常用下面的方法:將雙曲線方程C:-=1與直線方程l:y=kx+m聯(lián)立消去y,整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.當(dāng)b2-a2k2=0,即k=時(shí),直線l與雙曲線C的一條漸近線平行,直線l與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-a2k20,即k時(shí),設(shè)該一元二次方程根的判別式為.(1)當(dāng)0時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)公

10、共點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),則可結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,代入弦長(zhǎng)公式|MN|=求弦長(zhǎng);(2)當(dāng)=0時(shí),直線與雙曲線相切;(3)當(dāng)0,b0)上的三個(gè)不同的點(diǎn),其中A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則直線PA與PB的斜率之積為.(3)弦中點(diǎn)結(jié)論:設(shè)AB為雙曲線不平行于x軸,y軸的弦,點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)差法結(jié)論-=1(a0,b0)kABkOM=-=1(a0,b0)kABkOM=考向突破考向直線與雙曲線的位置關(guān)系例已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且AOB的面積為,求實(shí)數(shù)k的值.解題

11、導(dǎo)引 解析(1)雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則方程組有兩個(gè)不同的解,消去y整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.解得-k且k1.故當(dāng)-k|x2|時(shí),SOAB=SOAD-SOBD=(|x1|-|x2|)=|x1-x2|;當(dāng)A,B兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上且x1x2時(shí),SOAB=SOAD+SOBD=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|.綜上,SOAB=|x1-x2|=,(x1-x2)2=(2)2,即+=8,解得k=0或k=.又-k0,b0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若MAN=60,則C的離心率為.解題導(dǎo)引 解析解法一:不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線y=x上,如圖,AMN為等邊三角形,且|AM|=b,則A點(diǎn)到漸近線y=x的距離為b,