概率論與數(shù)理統(tǒng)計獨家課件4.第四章

1、課程：概率論與數(shù)理統(tǒng)計教師：沈其驊郵箱： 辦公室：2號樓306室辦公室電話：67705091百度云網(wǎng)盤： 密碼：math0310 x p(x)o f (x)xo 前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了.但在實際問題中，概率分布一般是較難確定的. 而且在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.引言 例如，評定一批燈泡的質量,主要應看這批燈泡的平均壽命和燈泡壽命相對于平均壽命的偏差平均壽命越長,燈泡的質量就越好,燈泡壽命相對于平均壽命的偏差越小,燈泡的質量就越穩(wěn)定 因此，在對隨機變

2、量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 .下面我們來學習隨機變量的數(shù)字特征一、數(shù)學期望的概念三、數(shù)學期望的性質二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望四、小結第一節(jié) 數(shù)學期望引例1 分賭本問題(產(chǎn)生背景) A, B 兩人賭技相同, 各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝, 取得全部 200 元.由于出現(xiàn)意外情況 ,在 A 勝 2 局 B 勝1 局時,不得不終止賭博, 如果要分賭金,該如何分配才算公平?一、數(shù)學期望的概念 A 勝 2 局 B 勝 1 局前三局:后二局:把已賭過的三局(A 勝2局B 勝1局)與上述結果相結合,即 A、B 賭完五局,A AA B B AB BA 勝B 勝分析假設繼續(xù)賭兩局,則結果有以

3、下四種情況:A AA B B AB BA勝B負 A勝B負 A勝B負 B勝A負 B勝A負 A勝B負 B勝A負 B勝A負 因此, A 能“期望”得到的數(shù)目應為 而B 能“期望”得到的數(shù)目, 則為故有, 在賭技相同的情況下,A, B 最終獲勝的可能性大小之比為即A 應獲得賭金的 而 B 只能獲得賭金的因而A期望所得的賭金即為X的 “期望”值,等于X 的可能值與其概率之積的累加.即為若設隨機變量 X 為:在 A 勝2局B 勝1局的前提下, 繼續(xù)賭下去 A 最終所得的賭金.則X 所取可能值為:其概率分別為: 將一枚骰子擲100次，各點數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)與頻率如下,求每次投擲的平均點數(shù)點數(shù) 1 2 3 4 5

4、次數(shù)頻率 14 21 17 22 10 16 14/ 100 21/ 100 17/ 100 22/ 100 10/ 100 16/100引例2 骰子問題試驗次數(shù)很大時,頻率會接近于概率pk點數(shù) 1 2 3 4 5 次數(shù)頻率 14 21 17 22 10 16 14/ 100 21/ 100 17/ 100 22/ 100 10/ 100 16/100 抽象出 每次投擲的平均點數(shù) 平均值 以頻率為權的加權平均 頻率和概率的關系 以概率為權 的加權平均離散型變量數(shù)學期望的定義 1. 離散型隨機變量的數(shù)學期望分賭本問題A 期望所得的賭金即為 X 的數(shù)學期望射擊問題 “平均射中環(huán)數(shù)”應為隨機變量Y

5、的數(shù)學期望關于定義的幾點說明 (3) 隨機變量的數(shù)學期望與一般變量的算術平均值不同. (1) E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同 , 它從本質上體現(xiàn)了隨機變量 X 取可能值的真正的平均值, 也稱均值. (2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量X 取可能值的平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變.隨機變量 X 的算術平均值為假設它從本質上體現(xiàn)了隨機變量X 取可能值的平均值.當隨機變量 X 取各個可能值是等概率分布時 , X 的期望值與算術平均值相等.試問哪個射手技術較好?例1 誰的技術比較好

6、?乙射手甲射手解故甲射手的技術比較好.例2 發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤 某一彩票中心發(fā)行彩票 10萬張, 每張2元. 設頭等獎1個, 獎金 1萬元, 二等獎2個,獎金各 5 千元;三等獎 10個, 獎金各1千元; 四等獎100個, 獎金各100元; 五等獎1000個, 獎金各10 元.每張彩票的成本費為 0.3 元, 請計算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤.解設每張彩票中獎的數(shù)額為隨機變量X, 則 每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行 10 萬張彩票的創(chuàng)收利潤為例3 如何確定投資決策方向? 某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某項目，預估成功的機會為 30%，可得利潤8萬元 ， 失敗的機會為70%

7、，將損失 2 萬元若存入銀行，同期間的利率為5% ，問是否作此項投資?解設 X 為投資利潤，則存入銀行的利息:故應選擇投資.常見離散型隨機變量的數(shù)學期望例4 設隨機變量 X 服從參數(shù)為 n, p 二項分布,例5 (二項分布) 設隨機變量XBn, p, 求EX.解則有其分布律為同時可得兩點分布B1, p的數(shù)學期望為 p. np例6 設隨機變量求X的數(shù)學期望E(X).解 由于，k=0,1,2,因而常見離散型分布的數(shù)學期望小結P107 在數(shù)軸上任取很密的分點 x1 x2 x3 ,則 X 落在小區(qū)間xk , xk+xk)內(nèi)的概率是 設X 是連續(xù)型隨機變量,其密度為 f (x), 由于 xk 與 xk+

8、xk 很接近, 所以區(qū)間xk , xk+xk )中的值可以用 xk 來近似代替.因此 X 取值 xk、概率為 的離散型隨機變量,它的數(shù)學期望是這啟發(fā)我們引出如下連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望定義： x1 x2 xk X pkf (x1)x1 f (x2)x2 f (xk) xk 2. 連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義定義的引出f (x)x小面積近似為定義解因此, 顧客平均等待5分鐘就可得到服務.例7 顧客平均等待多長時間? 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間 X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務的平均時間?例8 常見連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望例9 則有解例10 (正態(tài)分布)設隨機變量 ,

9、 求EX.設 , 其分布密度函數(shù)所以令因而參數(shù) 為正態(tài)分布的數(shù)學期望.常見連續(xù)型分布的數(shù)學期望小結 P107思考題：任何隨機變量數(shù)學期望都存在嗎?答：需絕對收斂.由于數(shù)學期望非絕對收斂，故數(shù)學期望不存在.數(shù)學期望不存在的離散型隨機變量例11 設隨機變量 X 密度為試證 E(X)不存在. 證明 柯西分布= + , E(X)不存在. 數(shù)學期望不存在的連續(xù)型隨機變量3. 二維隨機變量的數(shù)學期望 例12 1. 設 C 是常數(shù), 則有證明2. 設 X 是一個隨機變量,C 是常數(shù), 則有證明例如二、數(shù)學期望的性質3. 設 X, Y 是兩個隨機變量, 則有證明說明 連續(xù)型隨機變量 X 的數(shù)學期望與離散型隨機

10、變量數(shù)學期望的性質類似.例13(對比例5)解例14三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望(一) 一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 1. 問題的提出XE(X)數(shù)學期望f是連續(xù)函數(shù), f(X) 是隨機變量, 如: aX+b, X2等等.f(X)數(shù)學期望如何計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望?方法1 (定義法): f(X)是隨機變量, 按照數(shù)學期望的定義計算Ef(X).2. 一維隨機變量函數(shù)數(shù)學期望的計算關鍵: 由X的分布求出f(X)的分布.見2.5節(jié)的相關內(nèi)容難點: 一般f(X)形式比較復雜的, 很難求出其分布.方法2 (公式法):定理1、2 設X是一個隨機變量, Y f(X), 則 當X為離散型時, P(Xxk) pk , (k 1,2,);當X為連續(xù)型時, X