高數第三章不定積分課件

1、第三章一元函數積分學.第三章.3.1 不定積分.3.1 不定積分.例定義：一、原函數與不定積分的概念.例定義：一、原函數與不定積分的概念.原函數存在定理：簡言之：連續(xù)函數一定有原函數.問題：(1) 原函數是否唯一？例（ 為任意常數）(2) 若不唯一它們之間有什么聯系？.原函數存在定理：簡言之：連續(xù)函數一定有原函數.問題：(1) 關于原函數的說明：（1）若 ，則對于任意常數 ，（2）若 和 都是 的原函數，則（ 為任意常數）證（ 為任意常數）.關于原函數的說明：（1）若 任意常數積分號被積函數不定積分的定義：被積表達式積分變量.任意常數積分號被積函數不定積分的定義：被積表達式積分變量.例1 求解

2、解例2 求.例1 求解解例2 求.例3 設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設曲線方程為根據題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為.例3 設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結論：微分運算與求不定積分的運算是互逆的.顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結論實例啟示能否根據求導公式得出積分公式？結論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式.二、 基本積分表.實例啟示能否根據求導公式得出積分公式？結論既然積分運算和微分基本積分表是常

3、數);說明：.基本積分表是常數);說明：.例4 求積分解根據積分公式（2）.例4 求積分解根據積分公式（2）.證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）三、 不定積分的性質.證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）三、 不例5 求積分解.例5 求積分解.例6 求積分解.例6 求積分解.例7 求積分解.例7 求積分解.例8 求積分解說明：以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.例8 求積分解說明：以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變解所求曲線方程為.解所求曲線方程為.基本積分表(1)不定積分的性質 原函數的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關系四

4、、 小結.基本積分表(1)不定積分的性質 原函數的概念：不定積分的概念練習題.練習題.練習題答案.練習題答案.3.2不定積分的計算一、第一類換元法二、第二類換元法三、 分部積分法.3.2不定積分的計算.問題？解決方法利用復合函數，設置中間變量.過程令一、第一類換元法.問題？解決方法利用復合函數，設置中間變量.過程令一、第一類換在一般情況下：設則如果（可微）由此可得換元法定理.在一般情況下：設則如果（可微）由此可得換元法定理.實際計算時直接寫做：定理1.實際計算時直接寫做：定理1.例1 求解（一）解（二）解（三）.例1 求解（一）解（二）解（三）.例2 求解.例2 求解.例3 求解.例3 求解.

5、例4 求解.例4 求解.例5 求解.例5 求解.例6 求解.例6 求解.例7 求解.例7 求解.例8 求解.例8 求解.例9 求原式.例9 求原式.例10 求解.例10 求解.例11 求解說明當被積函數是三角函數相乘時，拆開奇次項去湊微分.例11 求解說明當被積函數是三角函數相乘時，拆開奇次項去湊例12 求解.例12 求解.例13 求解（一）（使用了三角函數恒等變形）.例13 求解（一）（使用了三角函數恒等變形）.解（二）類似地可推出.解（二）類似地可推出.解例14 設 求 .令.解例14 設 例15 求解.例15 求解.例16:求同理可得:.例16:求同理可得:.問題解決方法改變中間變量的設

6、置方法.過程令（應用“湊微分”即可求出結果）二、第二類換元法.問題解決方法改變中間變量的設置方法.過程令（應用“湊微分”即證設 為 的原函數,令則則有換元公式定理2.證設 為 第二類積分換元公式.第二類積分換元公式.例16 求解令.例16 求解令.例17 求解令.例17 求解令.例18 求解令.例18 求解令.說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數中含有可令可令可令.說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉 積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據被積函數的情況來定.說明(3)例19 求（三角代換很繁瑣）

7、令解. 積分中為了化掉根式是否一定采用三例20 求解令.例20 求解令.說明(4)當分母的階較高時, 可采用倒代換例21 求令解.說明(4)當分母的階較高時, 可采用倒代換例21 求令解例22 求解令（分母的階較高）.例22 求解令（分母的階較高）.說明(5)當被積函數含有兩種或兩種以上的根式 時，可采用令 （其中 為各根指數的最小公倍數） 例23 求解令.說明(5)當被積函數含有兩種或兩種以上的根式 .基本積分表.基本積分表.三、小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(2).三、小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、思考題求積分.思考題求

8、積分.思考題解答.思考題解答.練 習 題.練 習 題.練習題答案.練習題答案.3.2.2分部積分法.3.2.2分部積分法.問題解決思路利用兩個函數乘積的求導法則.分部積分公式一、基本內容.問題解決思路利用兩個函數乘積的求導法則.分部積分公式一、基本例1 求積分解（一）令顯然， 選擇不當，積分更難進行.解（二）令.例1 求積分解（一）令顯然， 選擇不當，積例2 求積分解（再次使用分部積分法）總結 若被積函數是冪函數和正(余)弦函數或冪函數和指數函數的乘積, 就考慮設冪函數為 , 使其降冪一次(假定冪指數是正整數).例2 求積分解（再次使用分部積分法）總結 例3 求積分解令.例3 求積分解令.例4 求積分解總結 若被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就考慮設對數函數或反三角函數為 .例4 求積分解總結 若被積函數是例