新課標(biāo)2022年版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性課件文

1、第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)習(xí)要求:1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義.2.了解周期性、最小正周期的概念和幾何意義.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的奇偶性.4.會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.必備知識(shí)整合1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有 ,那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于 對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有 ,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于 對(duì)稱(chēng)f(-x)=f(x)y軸f(-x)=-f(x)原點(diǎn)2.周期性(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有 ,那么就稱(chēng)函數(shù)y=f(x

2、)為周期函數(shù),T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期.f(x+T)=f(x)知識(shí)拓展1.奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式(1)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=1f(x)為偶函數(shù),其中f(x)0.(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0=-1f(x)為奇函數(shù),其中f(x)0.2.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)在公共定義域內(nèi)有:奇奇=奇,偶偶=

3、偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 3.函數(shù)周期性的常用結(jié)論對(duì)f(x)的定義域內(nèi)任意自變量x:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a0).(2)若f(x+a)=,則T=2a(a0).1.判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”).(1)函數(shù)y=x2在x(0,+)上是偶函數(shù).()(2)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(-x)+f(x)=0.()(3)偶函數(shù)的圖象不一定過(guò)原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn).()(4)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.()2.(新教材人教A版必修第一冊(cè)P84例6改編)函數(shù)f(x)=-x的圖象關(guān)于()A.y軸對(duì)稱(chēng)B.直線y=-x對(duì)稱(chēng)C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

4、D.直線y=x對(duì)稱(chēng)C3.已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù),那么a+b的值是()A.-B. C.D.- B4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x(-,0)時(shí), f(x)=2x3+x2,則f(2)=.125.(2019課標(biāo)全國(guó)理,14,5分)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí), f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,則a=.-36.若f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù),且f(x)=則f(a+1)的值為.2解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù),所以f(0)=f(3),所以a=0,所以f(a+1)的值為12+1+0=2.關(guān)鍵能力突破考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性 關(guān)鍵能

5、力突破典例1已知函數(shù)f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,則f(-a)的值為()A.3B.0C.-1D.-2B典例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=;(2)f(x)=log2(1+4x)-x;(3)f(x)=log2(-3x).解析(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-,0)(0,+),其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).(2)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=log2(1+4-x)+x=log2+x=log2(1+4x)-log24x+x=log2(1+4x)-x=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).(3)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)

6、=log2(+3x)=log2=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).規(guī)律總結(jié)1.判斷函數(shù)奇偶性的兩個(gè)必備條件(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域;(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系.在判斷函數(shù)奇偶性的過(guò)程中,可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)+f(-x)或f(x)-f(-x)的形式,看f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.2.利用函數(shù)的奇偶性可解決的4個(gè)問(wèn)題(1)求函數(shù)值:將待求函數(shù)值利用奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求函數(shù)值.(2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求解析式.(3)求解析式

7、中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的方程或方程組,進(jìn)而得出參數(shù)的值.(4)畫(huà)函數(shù)圖象:利用奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在另一對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的圖象.1.(2020浙江,4,4分)函數(shù)y=xcos x+sin x在區(qū)間-,上的圖象可能是()A 解析設(shè)f(x)=xcos x+sin x,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且滿足f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),排除C、D;又f()=cos +sin =-,排除B,故選A.2.若函數(shù)f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+2是定義在a,b上的偶函數(shù),則k+a+b=.13.判斷下列函數(shù)的奇偶

8、性.(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=+;(3)f(x)= 解析(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=3-x+3x=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).(2)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-,0)(0,+),其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且f(-x)=+=+, f(-x)+f(x)=0,所以f(x)為奇函數(shù).(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,0)(0,+),其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).當(dāng)x0,則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);當(dāng)x0時(shí),-x0,則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).綜上可知,對(duì)于定義域內(nèi)任意的x,總有f(-x)=-f(x),函數(shù)f(x)為奇函數(shù).考點(diǎn)二函

9、數(shù)的周期性 典例3設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x),當(dāng)x0,2時(shí), f(x)=2x-x2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)計(jì)算:f(0)+f(1)+f(2)+f(2 020).解析(1)因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的最小正周期為4.(2)f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.又因?yàn)閒(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 016)+f(2 017)+f(2

10、 018)+f(2 019)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2 020)=f(2 020)=f(0)=0.變式探究1若原題中條件變?yōu)椤癴(x+2)=”,求函數(shù)f(x)的最小正周期.解析因?yàn)閷?duì)任意xR,都有f(x+2)=,所以f(x+4)=f(x+2+2)= =f(x),所以f(x)的最小正周期為4.變式探究2若原題中條件變?yōu)椤癴(x+2)=-”,求函數(shù)f(x)的最小正周期.解析因?yàn)閷?duì)任意xR,都有f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x+2+2)=-=-=f(x),所以f(x)的最小正周期為4.變式探究3在原題條件下,求f(x)(x2,4)的解析式.解析當(dāng)x-2,0時(shí),-x0,2

11、,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x,x-2,0.又當(dāng)x2,4時(shí),x-4-2,0,所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.故x2,4時(shí), f(x)=x2-6x+8.方法技巧函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用(1)判斷:判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T0),便可得函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T(mén).(2)應(yīng)用:根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)整體的性質(zhì),在解決具體問(wèn)題

12、時(shí),要注意結(jié)論:若T是函數(shù)的周期,則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期.1.(2020湖北武漢二中模擬)函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(xR),且在區(qū)間(-2,2上, f(x)= 則f(f(15)的值為.解析f(x+4)=f(x),函數(shù)f(x)的周期為4,f(15)=f(-1)=, f=cos=,f(f(15)=f=.2.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)0 x2時(shí), f(x)=x3-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.7解析當(dāng)0 x2時(shí),令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=0,x2=1.

13、當(dāng)2x4時(shí),0 x-22,又f(x)的最小正周期為2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以當(dāng)2x4時(shí),y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3=2,x4=3.同理可得,當(dāng)4x6時(shí),y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x5=4,x6=5.當(dāng)x7=6時(shí),也符合題意.解析當(dāng)0 x2時(shí),令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=0,x2=1.當(dāng)2x4時(shí),0 x-22,又f(x)的最小正周期為2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以當(dāng)2x4時(shí),y=f(x)的

14、圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3=2,x4=3.同理可得,當(dāng)4x6時(shí),y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x5=4,x6=5.當(dāng)x7=6時(shí),也符合題意.綜上可知,共有7個(gè)交點(diǎn).考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 角度一函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合問(wèn)題典例4(1)已知偶函數(shù)f(x)在0,+)上單調(diào)遞減, f(1)=-1,若f(2x-1)-1,則x的取值范圍是()A.(-,-1B.1,+)C.0,1D.(-,01,+)(2)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x+x3,則不等式f(2x+1)+f(4-x)0的解集是()A.(2,+)B.C.D. D解析因?yàn)閒(x+2)是偶函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)

15、稱(chēng),所以由f(0)=0得f(4)=0,又f(x)在(-,2)上單調(diào)遞減,所以f(x)在2,+)上單調(diào)遞增,當(dāng)2-3x2即x0時(shí),由f(2-3x)0得f(2-3x)f(4),所以2-3x4,解得x-;當(dāng)2-3x0時(shí),由f(2-3x)0得f(2-3x)f(0),所以2-3x,綜上所述, f(2-3x)0的解集是.3.函數(shù)y=f(x)滿足對(duì)任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng), f(1)=4,則f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值為.4解析y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng),f(

16、x)為奇函數(shù).又f(x+2)=f(-x),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x),y=f(x)是以4為周期的周期函數(shù).f(2 016)=f(5044)=0, f(2 017)=f(5044+1)=f(1)=4, f(2 018)=f(5044+2)=f(2)=-f(0)=0.故答案為4.抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),也是近幾年考試中的熱點(diǎn)和重點(diǎn),尤其函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性結(jié)合的題目往往都比較難,讓人感覺(jué)無(wú)從下手.抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式,只給出它的一些特征、性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù),所以做抽象函數(shù)的題目需要有邏輯思維能力、豐富的想象力以及靈活運(yùn)用函數(shù)知識(shí)的能力.微專(zhuān)題

17、抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)科素養(yǎng)提升角度一抽象函數(shù)的單調(diào)性典例1(2020甘肅靜寧一中校級(jí)期末)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0上單調(diào)遞減,則滿足f(2x-1)f(x)的x的取值范圍是()A.1,+)B.(-,1C.1,+)D. D根據(jù)題意,結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得f(2x-1)f(x)f(|2x-1|)f(|x|)|2x-1|x|(2x-1)2x2,解得x的取值范圍.典例2(2019湖北武漢期末)若a=,b=,c=log2,定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x1,x20,+)且x1x2,都有 0,則f(a), f(b), f(c)的大小順序?yàn)?)A.f(b)f(a)f(b)f(a)

18、C.f(c)f(a)f(b)D.f(b)f(c)f(a)B根據(jù)題意,由函數(shù)單調(diào)性的定義可得f(x)在0,+)上為減函數(shù),結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),又由題意可得ab0c,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.(2020天津第二十五中學(xué)3月模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x),若函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),且f(x)對(duì)任意的x1,x22,+)(x1x2),都有 0,若f(a)f(3a+1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.-2,-1C.D. A解析因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng),因?yàn)閒(x)對(duì)任意的x1,x22,+)(x1x2),都有 0

19、,若f(1)=4,則f(2 019)+f(2 020)=()A.B.2C.D.4A根據(jù)題意,由f(x+1)=f(x)f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)f(x+3),進(jìn)而可得f(x+3)=,則有f(x+6)=f(x),即函數(shù)f(x)是周期為6的周期函數(shù),進(jìn)而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用賦值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的,滿足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且f(x)在0,1上單調(diào)遞增,若a=f(log23),b=f(),c=f(2 020),則()A.abcB.acb

20、C.cbaD.bc0,b0,又f(2 020)=f(5054)=f(0)=0,所以c=0,故bc0時(shí),h(x)=log20 x,因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng),所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),則f(3+x)=f3-(3+x)=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函數(shù),所以x=(kZ)為f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸,又因?yàn)楫?dāng)x時(shí), f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),當(dāng)x0,20時(shí), f(x),h(x)在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,可知f(x)與h(x)在0,20上有13個(gè)交點(diǎn),即g(x)在0,20上有13個(gè)零點(diǎn),又因?yàn)間

21、(x)是偶函數(shù),所以g(x)在-20,20上共有26個(gè)零點(diǎn).故選B.令h(x)=log20|x|,根據(jù)函數(shù)f(x)、h(x)為偶函數(shù),可判斷g(x)為偶函數(shù),進(jìn)而判斷出f(x)的周期為3,題目等價(jià)于f(x)的圖象與h(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),畫(huà)出0,20上的圖象即可判斷出總零點(diǎn)個(gè)數(shù).典例7已知f(x)是在R上的奇函數(shù),滿足f(x)=f(2-x),當(dāng)x0,1時(shí),函數(shù)f(x)=2x-1,函數(shù)g(x)=f(x)-logax(a1)恰有3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是()A.(1,3)B.(3,5)C.(1,5)D.(5,9)D利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,畫(huà)出函數(shù)的圖象,通過(guò)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解即可.1.(2020貴州畢節(jié)模擬)函數(shù)f(x)滿足3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y