上海市普陀區(qū)曹楊第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

1、PAGE PAGE 14上海市普陀區(qū)曹楊第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、填空題（共12小題）.1已知復(fù)數(shù)z1i，則Imz 2已知復(fù)數(shù)z滿足，且|z+i|1，則z 3已知向量（2，4），（1，1），則2 4若cos（+）1，則cos 5若向量，則 6已知an為等差數(shù)列，an的前5項和S520，a56，則a10 7已知an為等比數(shù)列，首項和公比均為，則an前10項和為 8設(shè)O為坐標(biāo)原點，A（2，0），B（3，4），則向量在上的投影為 9已知正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC3BE，若，則實數(shù)的值為 10已知數(shù)列an為等比數(shù)列，函數(shù)過定

2、點（a1，a2），設(shè)bnlog2an，數(shù)列bn的前n項和為Sn，則Sn的最大值為 11已知函數(shù)，則的值為 12已知函數(shù)f（x）sin（x）+cos（x）（0），若f（x）在（，2）內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是 二、選擇題13若復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z4，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限14已知函數(shù)f（x）2sin（x+），則“”是“f（x）為偶函數(shù)”的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分也非必要條件15已知點A（，1），B（0，0）C（，0）設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有等于（）A2BC3D16在ABC中，若BC，m0，n0

3、，且（m21）tan2B2tanB+m210，sin2C+1n2，則（）AmnBmnCmn1Dmn2三、解答題17已知點A（1，2），B（2，2），C（2，1）（1）求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；（2）求ABC的面積18已知向量（m，cos2x），（sin2x，n），設(shè)函數(shù)f（x），且yf（x）的圖象過點（，）和點（，2）（）求m，n的值；（）將yf（x）的圖象向左平移（0）個單位后得到函數(shù)yg（x）的圖象若yg（x）的圖象上各最高點到點（0，3）的距離的最小值為1，求yg（x）的單調(diào)增區(qū)間19如圖某公園有一塊直角三角形ABC的空地，其中ACB，ABC，AC長a千米，現(xiàn)要

4、在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域DEF建文化景觀區(qū)，其中D、E、F分別在BC、AC、AB上設(shè)DEC（1）若，求DEF的邊長；（2）當(dāng)多大時，DEF的邊長最小？并求出最小值20已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）（1）若一根為12i，求a，b的值；（2）若存在模為1的虛數(shù)根，求a，b滿足的條件；（3）設(shè)ab2，z0是虛數(shù)根，記z0，在復(fù)平面上對應(yīng)點分別為A，B，C，求的值21若數(shù)列an滿足“對任意正整數(shù)i，j，ij，都存在正整數(shù)k，使得akaiaj”，則稱an具有“性質(zhì)P”（1）判斷各項均等于a的常數(shù)列是否具有“性質(zhì)P”，并說明理由；（2）若公比為2的無窮等比數(shù)列an具有“性質(zhì)

5、P”，求首項a1的值；（3）證明：首項為2的無窮等差數(shù)列an具有“性質(zhì)P”的充要條件是公差d1或d2參考答案一、填空題1已知復(fù)數(shù)z1i，則Imz1解：復(fù)數(shù)z1i，Imz1，故答案為：12已知復(fù)數(shù)z滿足，且|z+i|1，則z1i解：設(shè)復(fù)數(shù)za+bi（a，bR），a+bi+abi2，a1，z1+bi，|z+i|1+（b+1）i|1，b1，z1i，故答案為：1i3已知向量（2，4），（1，1），則2（5，7）解：向量（2，4），（1，1），22（2，4）（1，1）（5，7）故答案為：（5，7）4若cos（+）1，則cos解：因為cos（+）1，所以sin（+）0，所以coscos（+）cos（+）c

6、os+sin（+）sin1+0故答案為：5若向量，則0解：向量，可得，所以1+2+45，所以0故答案為：06已知an為等差數(shù)列，an的前5項和S520，a56，則a1011解：an為等差數(shù)列，S55a320，a34，a56，a34，2da5a3642，即d1，a10a5+5d6+511故答案為：117已知an為等比數(shù)列，首項和公比均為，則an前10項和為 解：根據(jù)題意，an為等比數(shù)列，首項和公比均為，則S10；故答案為：8設(shè)O為坐標(biāo)原點，A（2，0），B（3，4），則向量在上的投影為 3解：因為 A（2，0），B（3，4），所以 ，所以 在 上的投影為 故答案為：39已知正方形ABCD的邊長為

7、3，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC3BE，若，則實數(shù)的值為 解：，所以，解得 故答案為：10已知數(shù)列an為等比數(shù)列，函數(shù)過定點（a1，a2），設(shè)bnlog2an，數(shù)列bn的前n項和為Sn，則Sn的最大值為 1解：函數(shù)過定點（a1，a2），令x20，解得x2，當(dāng)x2時，y1，所以a12，a21，由于數(shù)列an為等比數(shù)列，所以公比q，所以，則bnlog2an2n，由于b11，b20，b31，所以Sn的最大值為：S2b1+b21故答案為：111已知函數(shù)，則的值為 2020解：根據(jù)題意，函數(shù)，則f（1x）（1x）3+1（x）3+1，故f（x）+f（1x）2，則f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+

8、f（）210102020；故答案為：202012已知函數(shù)f（x）sin（x）+cos（x）（0），若f（x）在（，2）內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是 （0，解：函數(shù)f（x）sin（x）+cos（x）sinx+cosxsin（x+）（0），當(dāng)x（，2）時，x+（+，2+），f（x）在（，2）內(nèi)沒有零點，2+，或+且2+2，解得0，或綜上可得，的取值范圍是（0，故答案為：（0，二、選擇題13若復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z4，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限解：因為（2+i）z4，所以，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限故選：D14已知函數(shù)f（x）2sin（x

9、+），則“”是“f（x）為偶函數(shù)”的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分也非必要條件解：當(dāng)時，f（x）2sin（x+）2cosx，f（x）2cos（x）2cosxf（x），f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時，+k，kZ，綜上所述，是f（x）為偶函數(shù)的充分不必要條件故選：A15已知點A（，1），B（0，0）C（，0）設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有等于（）A2BC3D解：設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E，那么故選：C16在ABC中，若BC，m0，n0，且（m21）tan2B2tanB+m210，sin2C+1n2，則（）AmnBmnCmn1Dmn2解：，即，A

10、為三角形內(nèi)角，BC，（m21）tan2B2tanB+m210，（m21）（1+tan2B）2tanB0，m21+sin2B（sinB+cosB）2，sin2C+1n2，n21+sin2C（sinC+cosC）2，mn，故A選項正確，B選項錯誤，mn（sinB+cosB）（sinC+cosC）sinBsinC+sinBcosC+sinCcosB+cosBcosCsin（B+C）+cos（BC）2，故D選項錯誤，又cos（BC）cos，sin（B+C）+cos（BC），故C選項錯誤故選：A三、解答題17已知點A（1，2），B（2，2），C（2，1）（1）求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角

11、線的長；（2）求ABC的面積解：（1）因為點A（1，2），B（2，2），C（2，1），所以，則，故兩條對角線的長分別為，；（2）直線BC的方程為，即3x4y+20，故點A到直線BC的距離d，又|BC|，所以ABC的面積S18已知向量（m，cos2x），（sin2x，n），設(shè)函數(shù)f（x），且yf（x）的圖象過點（，）和點（，2）（）求m，n的值；（）將yf（x）的圖象向左平移（0）個單位后得到函數(shù)yg（x）的圖象若yg（x）的圖象上各最高點到點（0，3）的距離的最小值為1，求yg（x）的單調(diào)增區(qū)間解：（）已知：，則：msin2x+ncos2x，yf（x）的圖象過點yf（x）的圖象過點（，）和點（

12、，2）則：解得：，即：m，n1（）由（）得：，f（x）向左平移個單位得到：g（x）2sin（2x+2+），設(shè)g（x）的對稱軸xx0，最高點的坐標(biāo)為：（x0，2）點（0，3）的距離的最小值為1，則：，則：g（0）2，解得：，所以：g（x）2sin（2x+）2cos2x令：+2k2x2k （kZ）則：單調(diào)遞增區(qū)間為：（kZ）故答案為：（）m，n1（）單調(diào)遞增區(qū)間為：（kZ）19如圖某公園有一塊直角三角形ABC的空地，其中ACB，ABC，AC長a千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域DEF建文化景觀區(qū)，其中D、E、F分別在BC、AC、AB上設(shè)DEC（1）若，求DEF的邊長；（2）當(dāng)多大時，DEF的邊

13、長最??？并求出最小值解：（1）設(shè)DEF的邊長為x千米，由 得CE，AEa，AEF中，F(xiàn)EA，AEF為等邊三角形，AExa，故x，即DEF的邊長為；（2）設(shè)DEF的邊長為x千米，所以CExcos，AEaxcos，AEF中，F(xiàn)EA，A，EFA，由正弦定理得，故x，當(dāng)時x取得最小值，即DEF的邊長最小值20已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程x2+ax+b0（a，bR）（1）若一根為12i，求a，b的值；（2）若存在模為1的虛數(shù)根，求a，b滿足的條件；（3）設(shè)ab2，z0是虛數(shù)根，記z0，在復(fù)平面上對應(yīng)點分別為A，B，C，求的值解：（1）若一根為12i，則（12i）2+a（12i）+b0，a+b3（2a+

14、4）i0，（2）設(shè)模為1的虛數(shù)根為m+ni（m，nR且n0），則（m+ni）2+a（m+ni）+b0，m2n2+am+b+（2mn+an）i0，b1，a2m，m2+n21，m（1，1），a2m（2，2），b1（3）若ab2，則實系數(shù)一元二次方程為x2+2x+20，x1i，若z01+i，2i，1+3i，A（1，1），B（0，2），C（1，3），132，若z01i，2i，13i，A（1，1），B（0，2），C（1，3），132，綜上，13221若數(shù)列an滿足“對任意正整數(shù)i，j，ij，都存在正整數(shù)k，使得akaiaj”，則稱an具有“性質(zhì)P”（1）判斷各項均等于a的常數(shù)列是否具有“性質(zhì)P”，并說明

15、理由；（2）若公比為2的無窮等比數(shù)列an具有“性質(zhì)P”，求首項a1的值；（3）證明：首項為2的無窮等差數(shù)列an具有“性質(zhì)P”的充要條件是公差d1或d2【解答】（1）解：若數(shù)列an具有“性質(zhì)P”，“對任意正整數(shù)i，j，ij，都存在正整數(shù)k，使得akaiaj”，所以aa2，所以a0或1，故當(dāng)a0或1時，各項均等于a的常數(shù)列具有“性質(zhì)P”；當(dāng)a0且a1時，各項均等于a的常數(shù)列不具有“性質(zhì)P”（2）解：對任意正整數(shù)i，j，ij，都存在正整數(shù)k，使得akaiaj，即a12k1a12i1a12j1，所以a12k+1ij，令k+1ijmZ，則a12m，當(dāng)m1且mZ時，ana12n12m+n1，對任意正整數(shù)i

16、，j，ij，由akaiaj，得2m+k12m+i12m+j1，所以ki+j+m1，而i+j+m1是正整數(shù)，所以存在正整數(shù)ki+j+m1，使得akaiaj成立，數(shù)列具有“性質(zhì)P”；當(dāng)m2且mZ時，取i1，j2，則i+j+m12+m0，正整數(shù)k不存在，數(shù)列不具有“性質(zhì)P”，綜上所述，a12m，m1且mZ（3）證明：若首項為2的無窮等差數(shù)列an具有“性質(zhì)P”，則an2+（n1）d且an具有“性質(zhì)P”，所以對于任意的正整數(shù)n，存在整數(shù)k，使得aka1an成立，則d，對于任意的正整數(shù)n，存在整數(shù)k1和k2，使得a1an，a2an，兩式相減得，dan（k2k1）d，若d0，則an各項均為2，由（1）可判斷不合題意，若d0，得ank2k1，是整數(shù)，從而得到公差d也是整數(shù)，若d0，則此數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，取滿足的正整數(shù)m，解得，由amam+1a1，所以不存在正整數(shù)k使得amam+1ak成立，從而d0不成立；d是整數(shù)且d，當(dāng)k2n+1時，d；當(dāng)k2n時，d，即d1或d2，首項為2的無窮等差數(shù)列