工程彈塑性力學(xué)教學(xué)課件第十一章滑移線場理論

1、第八章 滑移線場理論第八章 滑移線場理論滑移線場理論概要1.基本假設(shè)和應(yīng)力基本方程2.滑移線概念3.應(yīng)力方程的特征線解法4.滑移線的性質(zhì)5.簡單滑移線場6.塑性區(qū)邊界條件7.基本邊值問題8.解的數(shù)值方法9.應(yīng)力間斷線10.楔受單邊壓力作用的極限荷載（鈍角）11.條形基礎(chǔ)極限承載力(Prandtl解)滑移線場理論概要1.基本假設(shè)和應(yīng)力基本方程1.基本假設(shè)和應(yīng)力基本方程基本假設(shè)： 1.土體是理想剛塑性體 2.屈服條件為莫爾庫侖屈服條件，或Tresca條件,或von Mises條件 （土體塑性變形較大，彈性變形可以忽略的情況下，按基本假設(shè)得到可靠近似解）應(yīng)力基本方程： 平衡方程：莫爾庫侖屈服條件：1

2、-1 平面應(yīng)變問題應(yīng)力方向與彈性力學(xué)應(yīng)力方向正負定義相反注意：龔曉南土塑P273圖應(yīng)力方向有誤1.基本假設(shè)和應(yīng)力基本方程基本假設(shè)： 1.基本假設(shè)和應(yīng)力基本方程不考慮土體自重，且=0，則有一般塑性力學(xué)（金屬塑性力學(xué)）滑移線場理論中的應(yīng)力基本方程：不排水條件下飽和土體 =0，屬于Tresca材料； 0的土體屬于Coulomb材料?；凭€場理論應(yīng)用：巖土工程的穩(wěn)定性問題：地基承載力問題擋土墻土壓力土坡穩(wěn)定問題Mises 屈服條件 Tresca屈服條件 1.基本假設(shè)和應(yīng)力基本方程不考慮土體自重，且=0，則有一2.滑移線的概念主應(yīng)力跡線：各點主應(yīng)力方向的線段連續(xù)的連接起來，得到的兩族正交的曲線。 滑移線

3、：各點的剪切破壞面連續(xù)的連接起來，得到的兩族曲線。（滑移線上的一點的切線方向就是相應(yīng)點的滑移面方向）Tresca材料剪切破壞面與第一主應(yīng)力方向的夾角為/4；Coulomb材料剪切破壞面與第一主應(yīng)力方向的夾角為=/4-/2?；凭€是物體在塑性狀態(tài)下剪切破壞面的跡線，應(yīng)力場不同，滑移線場也不同。Comlomb材料塑性應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓Tresca 材料塑性應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓表示法式中 p-平均應(yīng)力,R-應(yīng)力圓半徑.對Tresca材料，R=C對Coulomb材料,2.滑移線的概念主應(yīng)力跡線：各點主應(yīng)力方向的線段連續(xù)的連接起2.滑移線的概念Coulomb材料的兩族滑移線相互間夾角為2=/2- ，與主應(yīng)力跡

4、線的夾角為=/4- /2。約定：以第一主應(yīng)力1的跡線為基線，順時針方向與基線成銳角的稱為線，逆時針方向與基線成銳角的稱為線。Tresca材料兩族滑移線是正交的，與主應(yīng)力跡線的夾角為/42.滑移線的概念Coulomb材料的兩族滑移線相互間夾角為3.應(yīng)力方程的特征線解法Coulomb材料平面應(yīng)變問題的應(yīng)力基本方程+滿足屈服條件的應(yīng)力未知數(shù)p和的一階擬線性偏微分方程組可證明，該雙曲線型方程，其兩族特征線方程為：取與滑移線相重合的曲線坐標系統(tǒng)，變換，有：擬線性偏微分方程的特征線，其物理意義為滑移線3.應(yīng)力方程的特征線解法Coulomb材料平面應(yīng)變問題的應(yīng)力3.應(yīng)力方程的特征線解法 三種特殊情況下的解：

5、（1）忽略土體自重作用，取0 （2）土體的摩擦角等于零，即0代入(3.10)并積分可得: （3）0和0代入(3.10)并積分可得: 3.應(yīng)力方程的特征線解法 三種特殊情況下的解：4.滑移線基本性質(zhì)滑移線上的剪應(yīng)力等于巖土的抗剪強度兩族滑移線間的夾角與屈服準則有關(guān)對所有巖土材料,重力的存在不影響兩族滑移線間的夾角,但對其形狀有影響。對c-型巖土材料,粘聚力的存在不影響兩族滑移線的形狀和夾角。4.滑移線基本性質(zhì)滑移線上的剪應(yīng)力等于巖土的抗剪強度4.滑移線基本性質(zhì)（1）Henky第一定律：如果由一條滑移線1（或1 ）轉(zhuǎn)到另一條滑移線2 （或2），則沿任何一條族 （或族）的滑移線，線（或線）的方向與x

6、軸的夾角的變化值保持常量。如圖1，得：（2）如果族（或族）滑移線的某一曲線段（例如AB）是直線，則族（或族）滑移線所截得所有線（或族）得相應(yīng)曲線段（如DC，AB,等）均為直線（圖2）（3）如果滑移線得某些曲線段是直線，則沿著這些直線得p, C, , C以及應(yīng)力分量x,y,xy都是常數(shù)。兩族直線構(gòu)成得滑移線場為均勻應(yīng)力場。圖1圖24.滑移線基本性質(zhì)（1）Henky第一定律：如果由一條滑移4.滑移線基本性質(zhì)（4）若已知滑移線網(wǎng)絡(luò)中各點的坐標值(x,y)和值，則只要知道滑移線網(wǎng)絡(luò)中任何一點的應(yīng)力值，就可以算出場內(nèi)各處的應(yīng)力值。（5）Henky第二定律：若沿著某一滑移線移動，則在交叉點處的另外一族滑移

7、線的曲率半徑的變化為： 圖4-3圖4-4已知A點的應(yīng)力4.滑移線基本性質(zhì)（4）若已知滑移線網(wǎng)絡(luò)中各點的坐標值(x5.簡單滑移線場1.均勻應(yīng)力狀態(tài)滑移線場兩族滑移線都是直線，則由它們構(gòu)成的滑移線場范圍內(nèi)p值, 值以及各應(yīng)力分量都相等，這種滑移場稱為均勻應(yīng)力狀態(tài)滑移線場。Tresca材料，均勻應(yīng)力狀態(tài)滑移線場兩族滑移線正交；Coulomb材料，兩族滑移線相互夾角為2=/2-。2.扇形滑移線場一族是相交于一點的直線，另外一族是曲線，這種滑移線場稱為扇形滑移線場，也稱簡單滑移線場。簡單應(yīng)力狀態(tài)：同一條直線應(yīng)力狀態(tài)保持不變， 由一條直線轉(zhuǎn)到另外一條直線時，應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生變化。與均勻應(yīng)力狀態(tài)區(qū)域相鄰的必然是

8、簡單應(yīng)力狀態(tài)區(qū)域圖51 均勻應(yīng)力狀態(tài)滑移線場（a）Coulomb材料（b）Tresca材料同心對數(shù)螺線族同心圓族（5.1） 和 圖中 時的p和 值5.簡單滑移線場1.均勻應(yīng)力狀態(tài)滑移線場圖51 均勻應(yīng)力6.塑性區(qū)邊界條件1.邊界面的一般情況是已知邊界面上的法向應(yīng)力n和剪應(yīng)力n ,邊界面的法線與x軸的夾角2.對于平面應(yīng)變問題，當(dāng)物體處于塑性狀態(tài)，斜截面上的應(yīng)力公式為：arcsin應(yīng)理解為它的主值，而m是任意整數(shù).邊界上各點和p值確定以后，即得附近滑移線場. 圖6-16.塑性區(qū)邊界條件1.邊界面的一般情況是已知邊界面上的法向應(yīng)7.基本邊值問題剛塑性平面應(yīng)變問題的方程是雙曲線型的雙曲線方程有三種基本

9、邊值問題（1）Cauchy問題（2）Riemann問題（3）混合邊值問題注意：這里的邊界不僅指實際的邊界，也包括兩個不同區(qū)域的邊界線7.基本邊值問題剛塑性平面應(yīng)變問題的方程是雙曲線型的7.基本邊值問題(1) Cauchy問題（初值問題）如圖7-1設(shè)在x,y平面內(nèi)某一光滑曲線段AB上，給定函 數(shù)的 值和值，而且不與任何一條滑移線重合，相交兩次；AB上給定的函數(shù)值 及其兩 階的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，ABP區(qū)內(nèi)的解 完全可由AB上的值確定。（AB曲線段的另一 側(cè)也同樣存在一個AB線的影響區(qū)域。）自由表面上 。周界處處不與滑移線方向相重合。自由表面附近的應(yīng)力場與自由表面的形狀有關(guān)。如果自由表面是平面，其影響

10、區(qū)域?qū)⑷鐖D7-2.Cauchy 問題自由表面為平面的影響區(qū)域7.基本邊值問題(1) Cauchy問題（初值問題）Cau7.基本邊值問題(2) Riemann問題（初始特征問題）如圖7-3在滑移線段OA和OB上的 和值已知，則在曲線四邊OAPB內(nèi)（包括滑移線段PA和PB）的解是完全確定的. 蛻化的Riemann問題：如圖7-4，滑移線OB的長度和曲率半徑都無限縮小，蛻化為一點O，應(yīng)力區(qū)在O 點應(yīng)力發(fā)生間斷，只要OA上的 和值已知，以及O點的張角已知，則影響區(qū)域OAP區(qū)內(nèi)的解可確定.Riemann問題蛻化Riemann 問題7.基本邊值問題(2) Riemann問題（初始特征問題）7.基本邊值問題

11、(3) 混合邊值問題如圖7-5所示，曲線OA是滑移線，其上的 值和 值已知，曲線OB不是滑移線，其上各點值（或 值）已知，則OA線和OB線構(gòu)成的OAB區(qū)內(nèi)各點的 值和值可以確定.7-5 混合問題7.基本邊值問題(3) 混合邊值問題7-5 混合問題8.解的數(shù)值方法考慮自重影響的剛塑性體平面應(yīng)變問題的應(yīng)力方程通過數(shù)值方法求解, 應(yīng)力方程的一般表達式：滑移線方程為：在應(yīng)用數(shù)值方法求解時,三種基本邊值問題需要應(yīng)用兩種基本計算方法 8.解的數(shù)值方法考慮自重影響的剛塑性體平面應(yīng)變問題的應(yīng)力方程8.1兩種基本計算方法1.問題：如圖8-1已知A點和B點的平均應(yīng)力P值和值 ,求過A點的線和過B點線的交點P點的位

12、置,P點的平均應(yīng)力p值和值 .計算方法：(差分方程） 圖 8-18.1兩種基本計算方法1.問題：如圖8-1已知A點和B點的平8.1兩種基本計算方法2.問題：如圖8-2已知一條滑移線的位置和滑移線上各點的平均應(yīng)力p值和值 (如圖中線BC),又已知一直線OD上的值 ，求過B點的線與OD線的交點P點的位置及其值.計算方法： 由特征線的微分方程和直線OD的方程可得： 圖 8-28.1兩種基本計算方法2.問題：如圖8-2已知一條滑移線的8.2 Cauchy問題的數(shù)值方法計算方法： 由曲線AB線上的P11點和 P22點的x, y, p 和 值,運用基本計算方法1,很容易求得P12點x, y, p 和 值，

13、然后由P22和P33點可求得P23點的x, y, p 和 值，采用類似方法得到曲線AB影響區(qū)域各點的近似值.圖 8-38.2 Cauchy問題的數(shù)值方法計算方法：圖 8-38.3Riemann問題的數(shù)值方法計算方法： 運用基本計算方法1,可以由 P12點和P21點的x, y, p 和 值計算P22點的x, y, p 和 值.然后,由P22點和P31點計算P32點,用同樣的方法就可以求得其影響區(qū)域內(nèi)各點的近似值.蛻化的Riemann問題 曲線OA上的p和值,以及在頂點O處角度（相應(yīng)值）的變化是已知的.圖 8-4圖 8-5(1)可先求得P22點的值.在O點,對應(yīng) 線為 ,對應(yīng) 線為 , 可近似采用

14、下式計算：(2)求得P22點的p值.(3)由 P22點和P13點求P23點的值可應(yīng)用基本方法1.8.3Riemann問題的數(shù)值方法計算方法：圖 8-4圖 88.4 混合邊值問題的數(shù)值方法問題 如圖8-6曲線OA是滑移線,例如是線,它的位置及其上的p值和值已知,曲線OD不是滑移線,OD線的位置及其上的值(或p值)已知,求區(qū)域OAD上解.計算方法：由P12點的x, y, p 和值，O點和P22點的x, y, 值，由計算方法2，得到P22點的p值。由 P13點和P22點的x, y, p 和值,運用基本計算方法1計算 P23的x, y, p和值.再用基本計算方法2,由點P23的x, y, p和值,以及

15、P33點的值,得到P33點的p值.這樣求得區(qū)域OAD上的解.圖 8-68.4 混合邊值問題的數(shù)值方法問題圖 8-69.應(yīng)力間斷線應(yīng)力間斷線：在薄層過渡區(qū)內(nèi),應(yīng)力發(fā)生急劇的變化,造成間斷線兩側(cè)應(yīng)力發(fā)生間斷現(xiàn)象. (應(yīng)力間斷線不可能同時又是滑移線,當(dāng)滑移線通過應(yīng)力間斷線時,滑移線發(fā)生彎折.)沿著間斷線必須滿足平衡方程和屈服條件.如圖9-1：如圖9-2，由莫爾庫侖屈服條件，間斷線兩邊為同一材料時候?qū)resca材料: Tresca材料應(yīng)力間斷線兩側(cè)線方向關(guān)系式,表明應(yīng)力間斷線是兩個區(qū)域中同一族滑移線夾角平分線圖9-1圖 9-29.應(yīng)力間斷線應(yīng)力間斷線：在薄層過渡區(qū)內(nèi),應(yīng)力發(fā)生急劇的變化10.楔受單邊

16、壓力作用的極限荷載(鈍角)如圖10-1表示Coulomb材料鈍角楔體頂角 在單邊極限荷載作用下的滑移線場.ODC區(qū)為Cauchy問題,應(yīng)力狀態(tài)表示為:OCB區(qū)為蛻化的Riemann問題,OB線上的應(yīng)力狀態(tài):OBA區(qū)為混合問題,應(yīng)力狀態(tài)表示為：由圖10-3得極限荷載qf的表達式：圖 10-2圖 10-3(10.1)圖 10-1均勻應(yīng)力場10.楔受單邊壓力作用的極限荷載(鈍角)如圖10-1表示Co10.楔受單邊壓力作用的極限荷載(鈍角).Tresca材料，鈍角楔體（頂角 )在單邊極限荷載作用下得滑移線場如圖10-4所示.極限荷載的表達式為( ) Coulomb材料，當(dāng) 時,其滑移線場如圖10-5所示, 極限荷載 表達式為：圖 10-4圖 10-510.楔受單邊壓力作用的極限荷載(鈍角).Tresca材11.條形基礎(chǔ)極限承載力(Prandtl解)條形基礎(chǔ)承載力的Prandtl解是最基礎(chǔ)的課題,根據(jù)剛塑性假設(shè)導(dǎo)出的無重量介質(zhì)的極限承載力公式. Terzaghi, Meyerhof, Hansen, Vesic公式都認為是對Prandtl解的修正和發(fā)展.Prandtl解的滑移線場如圖11-1:Coulomb材料,ACD區(qū)為Cauchy問題,ABC區(qū)是蛻化Riemann問題.AAB區(qū)為混合問題,鈍角契體的頂角為時, 條形基礎(chǔ)極限承載力的計算公式:不排水條件下飽和粘土 ,