復(fù)變函數(shù)與積分變換：6-4 幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射映射

1、6.4 幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的映射 一、冪函數(shù) 二、指數(shù)函數(shù) 三、綜合舉例 一、冪函數(shù) ( 整數(shù) ) 則有 令 1. 映射特點(diǎn) 即 冪函數(shù) 擴(kuò)大頂點(diǎn)在原點(diǎn)的角形域( 或扇形域 )。 特點(diǎn) 類似地，根式函數(shù) 作為冪函數(shù)的逆映射，其映射 特點(diǎn)是縮小頂點(diǎn)在原點(diǎn)的角形域( 或扇形域 )。 2. 保形性 單值性 解析性 一、冪函數(shù) ( 整數(shù) ) (1) 在 平面上處處可導(dǎo)，且 (2) 當(dāng) 時(shí)， 在 平面上不是雙方單值的， 對(duì)于 冪函數(shù) 在 平面上除原點(diǎn)外是第一類保角映射。 結(jié)論 在角形域 上，如果 ，則冪函數(shù) 是 共形映射。比如： 取 則 解 令 則 如圖，所求的象區(qū)域 G 為： 解 P157 例6.14

2、二、指數(shù)函數(shù) (z)yxwvu(w)回顧 有 由 z 的實(shí)部得到 w 的模；由 z 的虛部得到 w 的輻角。即 xzyy令 1. 映射特點(diǎn) 指數(shù)函數(shù) 將水平帶形域變?yōu)榻切斡颉?特點(diǎn) 二、指數(shù)函數(shù) 特別有 單值性？ (?)2. 保形性 單值性 解析性 在 平面上處處可導(dǎo)，且 在 平面上不是雙方單值的， 指數(shù)函數(shù) 在 平面上是第一類保角映射。 結(jié)論 在水平帶形域 上，如果 則指數(shù)函數(shù) 是共形映射。 二、指數(shù)函數(shù) 取 比如： 則 如圖，所求的象區(qū)域 G 為： 解 令 則 解 P158 例6.15 三、綜合舉例 (1) 預(yù)處理 工具 幾種簡(jiǎn)單的分式映射、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。 目標(biāo) 使區(qū)域的邊界至多由兩

3、段圓弧(或直線段)構(gòu)成。 (2) 將區(qū)域映射為角形域( 或者帶形域 ) 另一個(gè)(交)點(diǎn) 映射為 0 。 z2 主要步驟 (一般) 方法 將區(qū)域邊界的一個(gè)交點(diǎn) 映射為 z1 工具 或者 (4) 將上半平面映射為單位圓域 工具 ( 對(duì)于角形域 ) ( 對(duì)于帶形域 ) 工具 ( 無(wú)附加條件 ) ( 由附加條件確定 ) (3) 將角形域( 或者帶形域 )映射為上半平面 三、綜合舉例 主要步驟 (一般) aiOxy(z)uOv(w)w=ez1C1C2a(z)O-ii 角形域 0argwaaa=p/2O( )上半平面(z)O1(z)單位圓內(nèi)部|z|1w=zn帶形上半平面單位圓內(nèi)部半帶形扇形半圓兩圓弧所圍區(qū)域角形區(qū)域角形區(qū)域注 從上半單位圓域到上半平面的映射為 (錯(cuò) ) ！ ！ ？ 解 P161 例6.18 解 解 將 故 得 有 再要求將 解 共形映射將 D 映射成單位圓域。 例 設(shè)區(qū)域 D 由兩個(gè)圓弧圍成(如圖所示)， 其中 求一 P160 例6.17 將 故 得 有 再要求將 解 P159 例6.16 解 解 P162 例6.19 (利用前例的結(jié)果) 例 映射將 D 映射成上半平面。 設(shè)區(qū)域 求一共形 * 解 P162 例6.20 解 例 * 設(shè)區(qū)域 D 如圖所