蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第六章《圖形的相似》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+易錯(cuò)點(diǎn)匯總

1、文檔編碼 : CD6P9L8P7T1 HN1M9I5S1J6 ZY1N5F3A8J3號(hào) 試 考-第六章圖形的相像學(xué)問點(diǎn)一：比例線段1. 比例線段： 在四條線段a,b,c,d 中,假如 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比,即a bc,那d么這四條線段a,b,c, d 叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段2. 比例的基本性質(zhì)：-線1 基本性質(zhì)：ac. ad bc；（b、d 0）bd2 合比性質(zhì)：ac.abbcdd；（b、d 0）bd3 等比性質(zhì)：ac m nkbd n 0 .ac.mk. （b+d +n 0）名 姓bdbd.n3. 平行線分線段成比例定理：（1）兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段

2、成比例. 即如以下圖,如l3 l4 l5,就AB BCDE.-封EF級(jí) 班（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長(zhǎng)線 ,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. -密即如以下圖,如AB CD,就OA ODOB.OC（3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形和原三角形相像如以下圖,如DE BC,就 ADE ABC.校 學(xué)4.黃金分割： 點(diǎn) C把線段 AB分成兩條線段AC和 BC,假如AC AB=510.618 ,那么線段2AB被點(diǎn) C黃金分割其中點(diǎn)C叫做線段 AB的黃金分割點(diǎn),AC與 AB的比叫做黃金比例 1：把長(zhǎng)為 10cm 的線段進(jìn)行黃金分割,那么較長(zhǎng)線段長(zhǎng)為 cm；學(xué)問點(diǎn)二：相像

3、三角形的性質(zhì)與判定AD5.相像三角形的判定：1 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像AAA. BCEF如圖,如 A D, B E,就ABC DEF.2 兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 如圖,如 A D,AC DFAB,就 ABC DEF.DE3 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相像如圖,如ABACBC,就 ABC DEF.DEDFEF6.相像三角形的性質(zhì)：1 對(duì)應(yīng)角 相等 ,對(duì)應(yīng)邊 成比例 2 周長(zhǎng)之比等于 相像比 ,面積之比等于 相像比的平方 3 相像三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于 相像比 例 2：1 已知 ABC DEF, ABC的周長(zhǎng)為 3, DEF的周長(zhǎng)為 2,就

4、ABC與 DEF的面積之比為 . 2 如圖, DE BC, AF BC,已知 S ADE:S ABC=1:4 ,就 AF:AG= . 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 加深明白比例的基本性質(zhì)、線段的比、 成比例線段, 熟識(shí)圖形的相像、 位似等概念和性質(zhì)2. 懂得相像圖形的性質(zhì)與判定、位似的性質(zhì)與把一個(gè)圖形放大或縮小,在同一坐標(biāo)系下感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：利用相像三角形學(xué)問解決實(shí)際的問題；位似的應(yīng)用及 在平面直角坐標(biāo)系中作位似圖形難點(diǎn)：如何把實(shí)際問題抽象為相像三角形、位似形這一數(shù)學(xué)模型 . 【學(xué)問回憶】1、相像三角形定義：_ 2、判定方法： _ 3、相像三角形性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)角相等,

5、對(duì)應(yīng)邊成比例；（2）對(duì)應(yīng)線段之比等于；（對(duì)應(yīng)線段包括哪幾種主要線段？） （3）周長(zhǎng)之比等于；（4）面積之比等于4、相像三角形中的基本圖形（1）平行型（ X 型, A 型） ; （ 2）交叉型；（3）旋轉(zhuǎn)型；（4）母子三角形 . 5、位似形的性質(zhì)： . 6、將一個(gè)圖形按確定的比例放大或縮小的步驟為： . 【綜合運(yùn)用】1. 如圖,在平行四邊形ABCD 中,過點(diǎn) A 作 AE BC,垂足為E,連接 DE,F 為線段 DE上一點(diǎn),且 AFE B. （1）求證：ADF DEC（2）如 AB4, AD3 3, AE 3, 求 AF 的長(zhǎng) . 2 如圖,在等腰三角形ABC 中,底邊 BC=60cm,高 AD

6、=40cm,四邊形 PQRS 是正方形,S,R 分別在 AB,AC 上, SR與 AD 相交于點(diǎn) E. （1） ASR 與 ABC 相像嗎？為什么？（2）求正方形 PQRS 的邊長(zhǎng) . 【矯正補(bǔ)償】如圖 1,已知矩形 ABED,點(diǎn) C 是邊 DE 的中點(diǎn),且 AB = 2AD（1）判定ABC 的形狀,并說明理由；（2）保持圖 1 中 ABC 固定不變, 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn) DE 所在的直線 MN 到圖 2 中（當(dāng)垂線段 AD、BE 在直線 MN 的同側(cè)）,摸索究線段【完善整合】AD、BE、DE 長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并賜予證明1. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有那些收成 .2. 你仍有哪些疑問？第六章圖形的相

7、像易錯(cuò)疑難易錯(cuò)點(diǎn) 1 對(duì)黃金分割的概念懂得不清而顯現(xiàn)漏解AC 的長(zhǎng)為. 1. 已知線段AB20,點(diǎn) C 是線段 AB 的黃金分割點(diǎn),就易錯(cuò)點(diǎn) 2 找不準(zhǔn)三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系2. 如圖,ACD 和ABC相像需具備的條件是 DE2,A. AC CDAB；B. CD ADBCBCACC. AC2AD AB；D. CD2AD BD易錯(cuò)點(diǎn) 3 混淆相像三角形的性質(zhì),誤認(rèn)為相像三角形的面積比等于相像比3. 如圖,如ADE:ABC, DE 與 AB 相交于點(diǎn) D ,與 AC 相交于點(diǎn) E ,BC5,SABC20,求SADE的值 . 易錯(cuò)點(diǎn) 4 不能區(qū)分“ 相像” 寫“:” 的含義4. 如圖,在矩形ABCD 中,

8、AB10,AD4,點(diǎn) P 是邊 AB 上一點(diǎn),連接PD PC ,如APD 與BPC 相像,就中意條件的點(diǎn)P 有個(gè) . 第 5 題第 4 題5. 如圖,ABC 中,C 90,BC 16 cm,AC 12 cm,點(diǎn) P 從點(diǎn) B 動(dòng)身,沿 BC 以2 cm/s 的速度向點(diǎn) C 移動(dòng), 點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 動(dòng)身, 以 1 cm/s 的速度向點(diǎn) A 移動(dòng), 如點(diǎn) P Q 分別從點(diǎn) B C 同時(shí)動(dòng)身,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ts,當(dāng)t 時(shí),CPQ 與 CBA 相像 . 疑難點(diǎn) 1 相像三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用1. 如圖是一塊含 30 角的直角三角板,它的斜邊 AB 8 8cm,里面空心 DEF 的各邊與ABC

9、的對(duì)應(yīng)邊平行,且各對(duì)應(yīng)邊間的距離都是 1 cm,那么 DEF 的周長(zhǎng)是 A. 5 cm；B. 6 cm；C. 6 3 cm；D. 3 3 cm 第 1 題 第 2 題2. 如圖,已知矩形 ABCD ,AB 2, BC 6,點(diǎn) E 從點(diǎn) D 動(dòng)身,沿 DA 方向以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng),點(diǎn) F 從點(diǎn) B 動(dòng)身,沿射線 AB 以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 時(shí),E F 兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng) .連接 BD ,過點(diǎn) E 作 EH BD ,垂足為 H ,連接 EF ,交 BD 于點(diǎn) G ,交 BC 于點(diǎn) M ,連接 CF EC .給出以下結(jié)論 : CDE : CBF ;

10、 DBC EFC ;DE HG ; GH 的值為定值 10.上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為 AB EH 5A.1 B. 2 C. 3 D. 4 疑難點(diǎn) 2 相像圖形中的規(guī)律探究3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形 AOCB 的兩邊 OA OC 分別在 x 軸和 y 軸上,且OA 2, OC 1 .在其次象限內(nèi), 將矩形 AOCB 以原點(diǎn) O 為位似中心放大為原先的 3 倍,得2到 矩 形 A OC B , 再 將 矩 形 A OC B 以 原 點(diǎn) O 為 位 似 中 心 放 大3 倍 , 得 到 矩 形2A OC B 依此類推,得到的矩形 A OC B 的對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為 . 第 3 題 第 4 題4.

11、如圖,已知正方形 ABC D 的邊長(zhǎng)為 1,延長(zhǎng) C D 到 1A ,以 A C 為邊向右作正方形AC C D ,延長(zhǎng) C D 到 A ,以 A C 2 為邊向右作正方形 A C C D 依此類推,如A C 1 2, 且 點(diǎn) A D D 2 , D 3 , D 10 都 在 同 一 直 線 上 , 就 正 方 形 A C C D 10 的 邊 長(zhǎng)是 . 疑難點(diǎn) 3 相像三角形與函數(shù)等學(xué)問的綜合5. 反比例函數(shù) y的圖象在第一象限的分支上有一點(diǎn) A（3,4）,P 為 x 軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),（1）求反比例函數(shù)解析式（2）當(dāng) P 在什么位置時(shí),OPA 為直角三角形,求出此時(shí)P 點(diǎn)的坐標(biāo)疑難點(diǎn) 4

12、 動(dòng)態(tài)問題中的相像三角形6.如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A 0,4, B 3,4, C 6,0,動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 動(dòng)身以 1 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度在 y 軸上向下運(yùn)動(dòng), 動(dòng)點(diǎn) Q 同時(shí)從點(diǎn) C 動(dòng)身以 2 個(gè)單位長(zhǎng)度 /秒的速度在 x 軸上向右運(yùn)動(dòng),過點(diǎn) P 作 PD y 軸,交 OB 于點(diǎn) D ,連接 DQ .當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) O 重合時(shí),兩動(dòng)點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng) .設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒. 1當(dāng) t 1 時(shí),求線段 DP 的長(zhǎng) ; 2連接 CD ,設(shè) CDQ 的面積為 S ,求 S 關(guān)于 t 的函數(shù)表達(dá)式,并求出 S 的最大值 ; 3運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻,使 ODQ 與 ABC 相像 .如存在

13、,請(qǐng)求出全部中意要求的 t的值 ;如不存在,請(qǐng)說明理由參考答案 例 1. 5 5 1 ；例 2. （1）9：4；（ 2）1：2 綜合運(yùn)用：1. 分析：（ 1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD BC,AB CD,即得 ADF =CED,B+ C=180 ,再由 AFE+AFD =180 , AFE =B,可得 AFD = C,問題得證；（2）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 AD BC,CD =AB=4,再依據(jù)勾股定理可求得 DE 的長(zhǎng),再由 ADF DEC 依據(jù)相像三角形的性質(zhì)求解即可 . 證明：（ 1）四邊形 ABCD 是平行四邊形AD BC,AB CD ADF= CED, B+C=180 AFE+AF

14、D =180, AFE= B AFD= C ADF DEC ；解：（ 2）四邊形 ABCD 是平行四邊形,AD BC,CD =AB=4；又 AEBC, AE AD在 Rt ADE 中, DE= ADF DEC,解得 AF = . 2. 解：（ 1）四邊形 PQRS 是正方形, SR PQ, ASR=ABC, ARS=ACB ASR ABC；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 xcm,就 SR=xcm,SR=DE=xcm,AE=40- xcm ASR ABC,AE：AD=SR：BC；BC=60cm,AD=40cm（ 40- x）： 40=x： 60 x=24cm；即正方形的邊長(zhǎng)為 24cm矯正補(bǔ)償：分析：（

15、 1）依據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理,即可判定ABC 的形狀；（2）通過證明ACD CBE,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可得線段 AD、BE、DE 長(zhǎng)度之間的關(guān)系解：（ 1） ABC 是等腰直角三角形理由如下：在 ADC 與 BEC 中, AD=BE, D= E=90 , DC =EC, ADC BEC（SAS）,AC=BC, DCA =ECB AB=2AD=DE,DC =CE, AD=DC , DCA =45 , ECB=45 , ACB=180 -DCA - ECB=90 （2）DE=AD+BE理由如下：ABC 是等腰直角三角形在 ACD 與 CBE 中, ACD =CBE=90 - BCE, A

16、DC =BEC=90 , AC=BC, ACD CBE（ AAS）, AD=CE, DC=EB DC +CE=BE+AD,即 DE=AD+BE易錯(cuò)疑難參考答案易錯(cuò)1. 10 510 或 3010 5 ； 2. C ； 3. ADE:ABC, SADEDE2SABCBCSADE42025解得 S ADE 16；4. 3；5. 4.8 或645 11疑難n n 81. B 2. C；3. 3n , 3n 1 ； 4. 372 2 25. 解：（ 1）將 A（ 3,4）代入,（1 分）得 K12,所以函數(shù)解析式為；（2 分）（2）當(dāng) OAP 90 時(shí), P（,0）,（3 分）當(dāng) OAP90 時(shí),過

17、A 作 AHx 軸于 H,由 OAH APH ,（4 分）得；即；所以, OP3+；此時(shí),點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（,0）（5 分）當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 3,0）時(shí),OPA 也是直角三角形【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了反比例函數(shù),正比例函數(shù)等多個(gè)學(xué)問點(diǎn)較強(qiáng),留意對(duì)各個(gè)學(xué)問點(diǎn)的靈敏應(yīng)用此題難度稍大, 綜合性比6. 1 由A0,4,B 3,4,C 6,0可知OA4,AB3,CO6PD/AB當(dāng)t1時(shí),AP1,就OP3； PDy 軸, ABy 軸,DP ABOP,DP3,DP9OA344t2如圖 1 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 秒,CQ2 , t APt ,OP4作 DECO 于點(diǎn) E ,就DEOP4tBOCBCOS1 CQ DE22 時(shí),S最大值412 t4tt24 tt2242當(dāng)t3分兩種情形爭(zhēng)辯 : 當(dāng) 0 t 3 時(shí),點(diǎn) Q 在 CO 上運(yùn)動(dòng) 當(dāng)t3時(shí),ODQ 不存在 AB/CO ,BOCABOABC ,易證得 BOBCBOC